第十八章勾股定理導(dǎo)學(xué)案

1、第十八章 勾股定理 河南省湯陰縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 梁舜南18.1勾股定理（一）課前準(zhǔn)備：每小組制作四個(gè)全等直角三角形引言：直角三角形三邊之間有著怎樣的關(guān)系呢？早在公元前1100年，我國(guó)勞動(dòng)人民就知道了。他們把直角三角形中短的直角邊叫做勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。若勾是三，股是四，則弦就是五。后來(lái)人們進(jìn)一步驗(yàn)證了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方-這就是著名的勾股定理。一、 閱讀課本64頁(yè)-65頁(yè)的探究，完成下列問(wèn)題：1、 如圖，等腰直角三角形中，以兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之和與以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之間有著怎樣的關(guān)系？2、 利用課本圖18.1-2的方格紙求出正方形A

2、.、B、C和正方形A、B、C的面積，并說(shuō)明求面積的方法。SA=_， SB=_，SC=_。則_+_=_SA=_，SB=_，SC=_.。則_+_=_3、 由以上兩題中的面積關(guān)系，猜想：如果直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么_二、 動(dòng)手操作：每個(gè)小組利用自制的四個(gè)全等直角三角形進(jìn)行拼圖驗(yàn)證你上面的猜想，從而體驗(yàn)勾股定理的證明方法。三、 運(yùn)用勾股定理計(jì)算：1、在RtABC中C=900， a=3,b=4, c=_; a=6,c=7 , b=_; b=40, c=41, a=_ 運(yùn)用勾股定理計(jì)算時(shí)，一定要說(shuō)明三角形是直角三角形，同時(shí)要說(shuō)明哪個(gè)角是直角。2、如圖，由于受影響，一棵樹(shù)在離地4

3、m處斷裂，樹(shù)的頂部倒在離根部3m處，這棵樹(shù)被折斷前有多高？（提示：在圖中標(biāo)出字母，寫(xiě)出解題過(guò)程。）四、 展示你的能力：1、 在RtABC中，C=900 已知：a=b=5,則c=_ 已知：a=1 c=2 b=_ 已知：c=17 b=8 a=_2、 如圖，在RtABC中，C=600 ，AC=4，求邊BC和邊AB的長(zhǎng)。 18.1勾股定理（二）一、閱讀課本66頁(yè)-67頁(yè)的探究1，思考并回答下列問(wèn)題：1、木板橫著放或者豎著放，是否能從門框內(nèi)通過(guò)？如果不能的話，請(qǐng)你想個(gè)辦法設(shè)法設(shè)把木板通過(guò)門框。2、交流探究：有一個(gè)邊長(zhǎng)為50cm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，圓的直徑至少需多長(zhǎng)？（結(jié)果保留整數(shù)）

4、二、閱讀課本67頁(yè)的探究2，思考并完成下列問(wèn)題。1、在梯子下滑的過(guò)程中，梯子長(zhǎng)度改變嗎？2、在運(yùn)算過(guò)程中，會(huì)_次用到勾股定理，可以分別求出_和_.再用_減去_，就可以求出BD的長(zhǎng)。3、如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)為2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離1.5m，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5m，求梯子頂端A下滑了多少米？4、有一個(gè)10m長(zhǎng)的梯子AB如圖放置，已知BH=8m，在B下方1m的C處有一個(gè)釘子，現(xiàn)在梯子突然下滑，幸好被釘子擋住，在HA的延長(zhǎng)線上的D處有一個(gè)花盆，已知AD=1.1m，問(wèn)：這次梯子下滑會(huì)碰到花盆嗎？為什么？18.1 勾股定理（三）一、利用勾股定理在數(shù)

5、軸上描出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)。自學(xué)課本68頁(yè)探究3，完成下列練習(xí)。1、5可以寫(xiě)成哪兩個(gè)正整數(shù)的平方和_以為斜邊的直角三角形，其直角邊長(zhǎng)度為正整數(shù)、則直角邊長(zhǎng)可以是_2、（1）在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn) （2）在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn)3、 你知道表示-和+2的點(diǎn)在哪里嗎？在數(shù)軸上把它們畫(huà)出來(lái)。二、用勾股定理解決其它非直角三角形中的問(wèn)題1、如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為6。(1)求高AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留三位小數(shù)）（2）、求這個(gè)三角形的面積（結(jié)果保留1位小數(shù)） 2、已知：如圖在ABC中，AD是BC邊上的高，且AC=,AB=,AD= 求BC的長(zhǎng)。3、已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。（要求畫(huà)出圖

6、形，標(biāo)上字母，寫(xiě)出解題過(guò)程）4、圖甲是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，在RtABC中，若直角邊AC=8，BC=6，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為8的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車外圍的周長(zhǎng)。18.2勾股定理的逆定理（一）一、根據(jù)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系判斷直角三角形閱讀課本73頁(yè)-74頁(yè)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題。1、由古埃及人畫(huà)直角的方法猜想：如果一個(gè)三角形的三邊為3、4、5，且32+42=52.那么這個(gè)三角形是_三角形。2、因?yàn)?2+82=102，所以，畫(huà)一個(gè)以6cm、8cm、10cm為邊長(zhǎng)的三角形，用量角器測(cè)量一下，看這個(gè)三角形是_三角

7、形。3、由上面的動(dòng)手操作，請(qǐng)猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c且滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是_三角形。二、閱讀課本74頁(yè)的探究，回答下列問(wèn)題：1、在A/B/C/中，你能求出A/B/與AB的關(guān)系嗎？從而得出ABC與A/B/C/有什么關(guān)系？C/與C的大小關(guān)系是什么？2、用_可以證明勾股定理的逆命題是正確的？這個(gè)定理叫_.即：若三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2,則這個(gè)三角形是_三角形（要說(shuō)清哪個(gè)角是直角）三、運(yùn)用勾股定理的逆定理求解。1、判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形： 、a=15 b=8 c=17 a=13 b=14 c=15 a=15 b=20 c=25

8、 2、在ABC中，AB=13cm,AC=24cm ,中線BD=5cm,求證：ABC是等腰三角形。（畫(huà)出圖形，寫(xiě)出證明過(guò)程）3、若ABC的三邊a、b、c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷ABC的形狀。4、如圖，某工廠A前面有一條筆直的公路，原來(lái)有兩條路AB、AC可以從工廠A到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量AB=6千米，AC=8千米，BC=10千米，現(xiàn)要修建一條公路，使工廠A到公路的距離最短，請(qǐng)你幫工廠設(shè)計(jì)一種方案，并求出最短公路的長(zhǎng)。18.2 勾股定理的逆定理 （二）一、知道原命題和逆命題的關(guān)系，會(huì)寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題。1、_叫命題。命題由_和_兩部分組成，_是已知項(xiàng)，_是由已知項(xiàng)推

9、出的事項(xiàng)。2、如果_成立，那么_一定成立的命題叫_；如果_成立時(shí)，不能保證_一定成立的命題叫_。3、命題的正確性經(jīng)過(guò)推理證實(shí)是_的真命題叫做_.。4、命題有_,有_；_一定是真命題。二、閱讀73頁(yè)-74頁(yè)課文，完成下列問(wèn)題。1、若兩個(gè)命題的_、_正好相反，則這兩個(gè)命題叫做_命題。2、寫(xiě)出下列命題的逆命題，并說(shuō)明這些命題的逆命題成立嗎?兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； 到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。3、一般地，如果一個(gè)定理的_經(jīng)過(guò)證明是_，它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理_.三、用勾股定理的逆定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題：1、一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩

10、折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你判斷這個(gè)三角形的形狀。2、古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾經(jīng)指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m,b=m2-1,c=m2+1，那么a、b、c為勾股數(shù)你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么?你能利用這個(gè)結(jié)論找一些勾股數(shù)嗎？3、在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?00。問(wèn)甲巡邏艇的航向？4、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC,求證：AF

11、EF.18.2 勾股定理的逆定理（三）一、會(huì)靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解題1、在RtABC中，C=900，a=8,b=15；則C=_在RtABC中，B=900，a=3,b=4；則C=_在RtABC中，C=900，c=10,a：b=3:4 ，則a=_,b=_已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)2、 已知x-6+(z-10)2=0，則由x、y、z的長(zhǎng)為三邊的三角形是_三角形。、三角形的三邊為3、4、5；則其面積為_(kāi).、ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm,求AC的長(zhǎng)。二、加深勾股定理與逆定理之間的關(guān)系1、如圖，在四邊形ABCD中，B=900，AB=1

12、，BC=1，DC=,AD=，試求DCB的大小。2、若ABC的三邊a、b、c滿足a：b：c=1:1：，試判斷ABC的形狀。3、已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長(zhǎng)方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(10，0),C（0,4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)。18章 勾股定理全章復(fù)習(xí)一、選選、算算、填填1.下圖陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為 _cm22下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（  ）    A6，7，8    B5，6，7 

13、;   C4，5，6    D3，4，53一個(gè)三角形的三邊的比為51213，它的周長(zhǎng)為60cm，則它的面積是cm24若等邊ABC的邊長(zhǎng)為2cm，那么ABC的面積為（  ）    Acm2    B2 cm2   C3 cm2     D4cm25、直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm；其中斜邊上的高為（）A6cm B85cm Ccm Dcm6.已知一個(gè)RtABC的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是_ ；7.在Rt

14、ABC中， a，b，c分別是三條邊，B=90°，已知a=6，b=10，求邊長(zhǎng)c談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)收獲二、學(xué)以致用1. 有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，已知門寬4尺求竹竿高與門高2. 如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長(zhǎng)16m，你能求出旗桿在離底部什么位置斷裂的嗎？請(qǐng)你試一試8mOBBAA3.如圖所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A,使梯子的底端A到墻根O的距離為3m，同時(shí)梯子的頂端B下

15、降到B，那么BB也等于1m嗎?勾股定理檢測(cè)題1. ABC的三邊分別為AB=，BC=，AC=（8分）（1）探究這個(gè)三角形是不是直角三角形 （2）如果是直角三角形，分析哪個(gè)是直角.2.甲、乙兩艘輪船于上午8時(shí)同時(shí)從A碼頭分別向北偏東23°和北偏西67°的方向出發(fā)，甲輪船的速度為每小時(shí)24海里，乙輪船的速度為每小時(shí)32海里，則下午1時(shí)兩船相距多少海里？（8分）3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)在第二象限，OP與軸的正半軸的夾角為30°，OP=2.求P點(diǎn)的坐標(biāo).（8分）4、.過(guò)直線l外的點(diǎn)A、B作l的垂線，垂足分別為M、N，已知AM+BN=12,MN=5.若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，爬到直線l上的某點(diǎn)迅速向終點(diǎn)B爬行.求螞蟻爬行的最短距離 .（8分）5、.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以AE為折痕使點(diǎn)D落在AC上F處，求DE的長(zhǎng).（10分）6、.在等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，已知PA=3，PB=4，PC=5.現(xiàn)將APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，連PQ，猜想PQC的形狀，并論證你的猜想(10分).7如圖，ABC中，C90º，AD是角平分線，CD1.5，BD2.5求AC的長(zhǎng)（10分）（第7題）8今有一個(gè)水面邊長(zhǎng)為10尺的正方形水池，在正中央有一