中考數(shù)學(xué)解題思路之三_2

1、a c b p q 圖（ 1）中考數(shù)學(xué)解題思路之三分類思想與討論方法東格致中學(xué)郁強所謂“分類討論”就是在研究數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)把研究對象進(jìn)行分類，然后按類進(jìn)行討論。分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)中的基本邏輯方法，初中數(shù)學(xué)中分類思想的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生逐步建立邏輯思維能力較為有效的載體。初中四年，是學(xué)生由形象的接受知識到抽象的感知知識的階段。學(xué)生通過對分類思想的建立和研究，培養(yǎng)了學(xué)生思維的條理性和縝密性，提高了學(xué)生全面周密地分析問題和解決問題的能力。分類是討論的前提，討論是分類的延續(xù)，在建立了合理的分類后，只有找到正確的討論方法，才能認(rèn)為是完整的解決了問題。分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)與屬性的

2、相同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)分類思想須滿足兩點要求： （1）對稱性，即保證分類的對象既不重復(fù)又不遺漏。（2）同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。初中數(shù)學(xué)分類思想的研究主要體現(xiàn)在以下三個基本的層面：一、數(shù)學(xué)知識點定義下的分類。具體的體現(xiàn)在等腰三角形的底角和頂角的分類；等腰三角形的腰和底邊的分類；不確定的相似三角形中對應(yīng)頂點的分類等等。此類問題的主要特點是由于數(shù)學(xué)知識點在定義時自身產(chǎn)生了分類，而問題的提問方式?jīng)]有對該定義的分類內(nèi)容進(jìn)行解釋，題意本身要求學(xué)生在解題的時候，根據(jù)定義的分類要求進(jìn)行合理的分類討論。例 1、如圖（ 1） ，在直角三角形 abc中，直角邊

3、 ac=3cm,bc=4cm. 設(shè) p，q分別為 ab ，bc上的動點，在點p自點 a沿 ab方向向點 b作勻速移動的同時，點q自點 b沿 bc方向向點 c作勻速移動，它們移動的速度均為每秒 1cm ，當(dāng) q點到達(dá) c點時， p點就停止移動設(shè)p，q移動的時間 t 秒（1）當(dāng) t 為何值時，pbq為等腰三角形？（2）pbq能否與直角三角形abc 相似？若能，求 t 的值；若不能，說明理由（2008年黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷第24題）此題是典型的根據(jù)定義分類討論的問題，第一小題要求確定pbq為等腰三角形，但是題目中未確定哪兩條邊相等，所以根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，為了在討論中不重?fù)和不

4、遺漏，對三條邊 bp 、pq 、bq兩兩相等進(jìn)行了組合分類討論，分成了(1)bp=pq ；(2)pq=bq ；(3)bp=bq三種不同的情況。第二小題要求確定pbq使其與abc相似，但是題目中未確定相似三角形的對應(yīng)頂點，所以根據(jù)相似三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，而本題根據(jù)圖形特點存在公共角，則若pbq與abc，存在 (1)bcbqabbp；(2)abbqbcbp兩種不同的情況。這類問題的分類思想還是明確的，學(xué)生也是容易掌握分類和討論的方法，相對的難點在于分類后的解題方法會有一些困難，需要學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練和總結(jié)。二、數(shù)學(xué)問題中圖形形狀及位置不確定情況下的分類。如不確定的三角形銳角、鈍角與直角的分類

5、；不確定三角形的高存在外高和內(nèi)高的分類；圓中兩條平行弦在圓心同側(cè)和異側(cè)的分類；兩圓相切存在內(nèi)切和外切的分類；兩圓相交兩圓心在公共弦同側(cè)和異側(cè)的分類等等。此類問題較多也較為復(fù)雜和隱蔽，很多情況下的分類是學(xué)生意想不到的。例 2、若等腰三角形一腰上的高與該腰所對底角平分線的夾角是10，則此三角形的頂角是多少度. 例 3、半徑為 25的圓 o中的兩條平行弦， ab=40 ，cd=48 ，求兩弦之間的距離？此兩題并不是很難理解，對于例2，學(xué)生很快會告訴我答案為3144度，我告訴他們答案不完整，還存在另一個解3220度，很多學(xué)生的疑惑是“另一解是如何產(chǎn)生的？”“此題我為什么不知道要分類？” 。由于問題中沒

6、有給出具體的圖形，所以要求我們自己進(jìn)行畫圖，學(xué)生思維的習(xí)慣性會畫出圖(2) ，而很多人會忽略了圖(3) 的情況，即不確定的一個三角形的同一條邊所對的高和角平分線存在兩種不同的位置關(guān)系。同樣分析例3，學(xué)生也是想不到畫兩條弦時有在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種不同情況的分類。對于這類問題，學(xué)生不是不會做，而是分類思想是學(xué)生在解題時不容易想到，對于這類問題一方面在平時不斷的積累，不斷的總結(jié)，使再次遇上同類型問題時有分類的意識。其次是在分析題目時要不斷的問自己（特別是未給出圖形，自己畫圖時） ，是否有其他情況存在的可能性。三、數(shù)學(xué)運動型問題中不同情況下的分類。具體體現(xiàn)在點在線段、射線、直線及折線上運動時在不同的

7、位置產(chǎn)生的分類；圖形運動中構(gòu)成相應(yīng)圖形不同情況下的分類等等。此類問題的主要特點是點或是圖形在運動，由于運動產(chǎn)生了不同的情況。例 4、如圖（ 4） ，acb 與dfe是全等的兩個直角三角形，其中acb= dfe=900，ac=df=4 ，bc=ef=3 ，點 d、c、f、b在同一條直線上，點 e在邊 ac上，dfe沿著直線 db向右平移的過程中，設(shè)平移過程中的平移距離為x，dfe與acb 的公共部分的面積為y，在70 x移動過程中，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域. 此題的題意非常清楚，我們通過觀察，發(fā)現(xiàn)dfe在移動過程中與acb的公共部分分成了四種情況：(1)如圖(5) 圖形構(gòu)成梯形， 此時 x 的范圍為430 x；(2) 如圖(6) 圖形構(gòu)成五邊形， 此時 x 的范圍為343x；(3)如圖(7) 圖形構(gòu)成四邊形，此時x 的范圍為43x；(4) 如圖(8) 圖形構(gòu)成三角形，此時x 的范圍為74x。此類問題涉及點或圖形的運動，一方面要仔細(xì)分析題意，對題中的字詞引起重視（如邊、線段、射線和直圖 (4) b e a c （f）d 圖(5) b e a c d f 圖 (6) b e a cd f ce a 圖(7) b d f e a 圖(