專題平面向量數(shù)量積的最值的求法

1、好題集錦之平面向量系列題五一一與向量數(shù)量積有關(guān)的最值問題如何解讀平面向量的數(shù)量積？我覺得應(yīng)該從四個方面入手：1. 定義，側(cè)重于模長和夾角；2. 兒何意義，側(cè)重于從圖形入手體現(xiàn)兒何意義；3. 坐標(biāo)，依附于坐標(biāo)系建立等量關(guān)系；4. 極化恒等式，通過極化恒等式將數(shù)量積等價轉(zhuǎn)化。方法一兒何處理【例1 (2020新高考I卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABcDEF內(nèi)的一點, 則帀而的取值范圍是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(76)【答案】A【解析】因為 AP AB= APW ABcosZPAB其中I喬ICOSZp43表示麗在喬方向上的投影結(jié)合圖形可知，當(dāng)P與C重合時投影最大，當(dāng)P

2、與F重合時投影最小.乂有 ACAB = & AFAB =-2,故當(dāng)點P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運動時，AP AB(-2,6),故選A.【題后反思】該題中涉及的圖形是正六邊形，屬于規(guī)則圖形，可以通過建立直角坐標(biāo)系求數(shù)量 積的范圍。方法二基底處理/坐標(biāo)處理【例 2】如圖，在直角梯形 MCD中，BaIAD , ZW = 90o, D=4, AB = BC = 2, E 是Q的中點，AC與比交于點F, G是DF (包含DF兩端點)上任意一點，則 萬而的最小值是()D【答案】C【解析】(基底法)以AByAL)為基底，設(shè)5g = 5F(021),連接比.因為P=4, AB = BC = 2, E

3、是 AD 的中點，BCHAD , ZBAr)=90° ,所以四邊形ABCE是邊長為2的正方形所以AF = IAC-DF = DA+AF = -AD+AB+ BC) = AB-AD所以 DGAB-ADf- 1 1 3 CG = CD + DG = DG-AB+-AD = (I)AB+()AD2 2245GCG = -(-1)×4-)×16 = 10(-)2-224 2455因為O1,所以當(dāng)且僅當(dāng) = 時，而&取得最小值，為(坐標(biāo)法)以A為坐標(biāo)原點，AD, AB為X, y軸建立坐標(biāo)系則 D(4,0),C(2,2),G(3l + I-A+l)(l 0,1)所以

4、PGcU = IO2-12 + 2,0,IJ3 - -8當(dāng)且僅當(dāng)2 = j時，(DGCG)min=-g【題后反思】在解題時，坐標(biāo)系比較容易建立，基底也好選擇，但是大家可以嘗試?yán)脭?shù)量積 的兒何意義解題，即向量CG在向量DG上的投影與DG的模的乘積來分析最值。方法三：極化恒等式【例3】（2020天津）如圖，在四邊形ABCz）中，ZB = 6B = 3, BC = 6 ,且AD = BC , AD AB = -則實數(shù)的值為，若M, N是線段Be上J = l62的動點，且IWl=1,則而而 的最小值為一 【答案】1； 126 2【解析】依題意得AD/BC9 ZBAP = I20。，由 ADAB =

5、IABIADlCOSZBAz)=取MN的中點E ,連接QE,則而麗=1（而+麗）2（而一麗F =萬E'一丄麗7' =D0 一丄4 44線段MN在線段BC上運動時，DE的最小值等于點D到直線BC的距離, 因此DEl-的最小值為芹j =，即曲測 的最小值為【題后反思】極化恒等式在處理向量數(shù)量積的最值時有很大的便利，結(jié)合三角形相關(guān)知識，可 以快速求最值。關(guān)注更多高考?？荚囶}，盡在公眾號“木木數(shù)語”【題口】已知邊長為2的正方形ABCD的頂點A, B分別在兩條互相垂直的射線OP, OQ上滑動，則龍而的最大值為.答案及解法賞析【答案】8【解析】解法一：坐標(biāo)法建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)ZoAB

6、= e,由于 43 = 2,則 QA = 2cos&,OB = 2sin<9所以 XD =2cos8 + 2sin . y D =2 COS Q,W OD = (2cos+ 2sin lcos),同理得 OC = (2sin&、2sin& + 2cos&)所以荒D=4 + 4sin28,故龍而的最大值為8解法二：基底法OCD = (B + BC)(A+BC) = AB + BC(A+5)+4設(shè) BC中點為 E ,則 c D = 2E+4 = 4cos<BC,E>48解法三：極化恒等式如圖，固定正方形ABCD,由于頂點A, B分別在兩 條互相垂直的射線OP, OQ上滑動，則點0的軌跡 是以AB為直徑的圓設(shè)CD中點為M,結(jié)合圖象可得OC oD =-(0C + OD)2 -(OC一OD)2 = -(40M2-4)-(4×32-4) = 8444題后感值得一提的是最后一個解法是課堂上學(xué)生提出來的，上一期（好題集錦之平面向 量系列題五一一與向量數(shù)量積有