材料力學(xué)梁的強(qiáng)問題實(shí)用教案

1、1 對(duì)于梁的受力彎曲，其橫截面上的應(yīng)力分布將不再均勻，如何確定梁橫截面上的應(yīng)力分布便成了首要解決的問題。 只有確定了梁上任意橫截面的應(yīng)力分布情況，才能知道“危險(xiǎn)截面” 進(jìn)而進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，考慮是否存在安全問題等。 絕大多數(shù)細(xì)長梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)力的影響是次要(cyo)的，本章將主要確定梁橫截面上正應(yīng)力以及與正應(yīng)力有關(guān)的強(qiáng)度問題。第1頁/共94頁第一頁，共95頁。27.1 工程(gngchng)中的彎曲構(gòu)件第2頁/共94頁第二頁，共95頁。37.2 與應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形的幾何(j h)性質(zhì) 不同受力形式下桿件的應(yīng)力和變形，不僅取決于內(nèi)力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫

2、截面的幾何形狀有關(guān)。因此，研究(ynji)桿件的應(yīng)力與變形，研究(ynji)失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。第3頁/共94頁第三頁，共95頁。47.2.1 靜矩、形心及其相互(xingh)關(guān)系A(chǔ)yzdASAzydAS1. 截面(jimin)一次矩 或 靜矩靜矩單位(dnwi)為m3 如果將dA視為垂直于圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對(duì)于z軸和y軸的力矩，而Sz和Sy則分別為A對(duì)z軸和y軸的力矩。第4頁/共94頁第四頁，共95頁。5圖形幾何(j h)形狀的中

3、心稱為形心(Centroid of an area) 若將面積視為垂直于圖形(txng)平面的力，則形心即為合力的作用點(diǎn)。設(shè)zc、yc為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力矩(l j)定理：cyAzS czAyS AydAASyAzcAzdAASzAyc形心坐標(biāo)與靜矩之間的關(guān)系第5頁/共94頁第五頁，共95頁。6 根據(jù)上述關(guān)于靜矩的定義以及靜矩與形心之間的關(guān)系可以看出(kn ch)：靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)，同一平面圖形對(duì)于不同的坐標(biāo)軸有不同的靜矩：對(duì)某些坐標(biāo)軸靜矩為正；對(duì)另外一些坐標(biāo)軸靜矩則可能為負(fù)；對(duì)于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)其靜矩等于零(證明見下一頁)。如果已經(jīng)計(jì)算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形

4、心在某一坐標(biāo)系中的位置，則可計(jì)算圖形對(duì)于這一坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的靜矩。第6頁/共94頁第六頁，共95頁。7yzbhCAzydAS/2/2hhbydy/22/2102hhby對(duì)于通過(tnggu)形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)其靜矩等于零.第7頁/共94頁第七頁，共95頁。8 對(duì)于組合圖形，則先將其分解為若干個(gè)簡單圖形(可以直接確定形心位置的圖形)；然后由式(72)分別計(jì)算(j sun)它們對(duì)于給定坐標(biāo)軸的靜矩，并求其代數(shù)和，即1122111221nccncniciinccncniciiyzSAzA zA zAzSA yA yA yA y第8頁/共94頁第八頁，共95頁。9再利用式子(7-3)，可以(ky)得

5、到組合圖形的形心坐標(biāo)：11niycniiiciSAzzAA11nizcniiiciSA yyAA第9頁/共94頁第九頁，共95頁。107.2.2 慣性(gunxng)矩、極慣性(gunxng)矩、慣性(gunxng)積、慣性(gunxng)半徑1) 截面(jimin)二次軸距(second moment of an area)慣性矩(moment of inertia)AydAzI2AzdAyI22) 二次極距(second polar moment of an area)極慣性矩APdArI2單位(dnwi)為m4單位為m4zyPIIIzyr222第10頁/共94頁第十頁，共95頁。113)

6、 慣性(gunxng)積 (Product of inertia)AyzyzdAI4) 慣性(gunxng)半徑 (radius of gyration )yyIiA單位(dnwi)為m4定義zzIiA慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置的不同，可能為正，可能為負(fù)。三者的單位均為m4。第11頁/共94頁第十一頁，共95頁。12對(duì)于(duy)圓形橫截面： 此時(shí)坐標(biāo)軸通過(tnggu)橫截面的形心，得到極慣性矩為：APdArI2drrdArA22RPrdrrI02232244dR類似的得到圓環(huán)截面對(duì)于(duy)圓環(huán)中心的極慣性矩為：DdDIP44132第12頁/共94頁第十二頁，共95

7、頁。13 當(dāng)坐標(biāo)軸通過某圓形橫截面的中心，則該圓形橫截面對(duì)其中任意(rny)兩根軸具有相同的慣性矩。其數(shù)值均為：644dIIIzy類似的，對(duì)于(duy)圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：DdDIIIzy44164第13頁/共94頁第十三頁，共95頁。14當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)位于矩形(jxng)橫截面的中心，則其慣性矩分別為：123hbAydAzI2hdzdA222bbyhdzzI123bhIz第14頁/共94頁第十四頁，共95頁。157.2.3 慣性(gunxng)矩與慣性(gunxng)積的移軸定理dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?ba21112yyzzyzyzI

8、IIIb Aa AabAII的正負(fù)號(hào)有關(guān)。，的增加與否，與總是增加的。、baIIIyzzy111移軸定理要求(yoqi)坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。第15頁/共94頁第十五頁，共95頁。162222112yIz dAzb dAzzbb dA222z dAb zdAb dA22yb AIb zdA22yyb AbSI第16頁/共94頁第十六頁，共95頁。177.2.4 慣性(gunxng)矩與慣性(gunxng)積的轉(zhuǎn)軸定理dAzyyzoz1y1y1z1yzzyIII111yzzyIII?2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIII

9、IIIIIIIIIIIII轉(zhuǎn)軸定理不要求(yoqi)坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。第17頁/共94頁第十七頁，共95頁。187.2.5 主軸(zhzhu)與形心主軸(zhzhu)、主慣性矩與形心慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應(yīng)的坐標(biāo)軸就可以得到某個(gè)如果圖形對(duì)于過一點(diǎn)的一對(duì)(y du)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這一對(duì)(y du)坐標(biāo)軸為過這一點(diǎn)的主軸(principal axis)。圖形對(duì)于主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。 22minmax4212xyzyz

10、yzoyoIIIIIIIII主慣性矩為：第18頁/共94頁第十八頁，共95頁。19AyzyzdAIhdzdA 822yhbyzhdzIboyz822yhbyzhdzIobyz第19頁/共94頁第十九頁，共95頁。20第20頁/共94頁第二十頁，共95頁。21第21頁/共94頁第二十一頁，共95頁。22niiniciizcAyAASy11212211AAyAyAcc第22頁/共94頁第二十二頁，共95頁。23第23頁/共94頁第二十三頁，共95頁。24第24頁/共94頁第二十四頁，共95頁。25小結(jié)(xioji)dAyzzyrAdAA面積(min j)：AyzdASAzydAS截面(jimin)

11、一次矩(靜矩)截面二次矩(慣性矩)AydAzI2AzdAyI2截面二次極矩(極慣性矩)APdArI2截 面 二 次 矩(慣性積)AyzyzdAI慣性半徑AIiyyAIizz是對(duì)原點(diǎn)而言下標(biāo)軸而言是對(duì)下標(biāo)軸而言是對(duì)下標(biāo)r)3zzyy)2) 1zyPIII第25頁/共94頁第二十五頁，共95頁。26特點(diǎn)(tdin)：靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是對(duì)某一指定坐標(biāo)系而言。其中靜矩和慣性積可正可負(fù)，也可以為零。慣性矩、極慣性矩、慣性半徑都是大于零的正值，且它們的值隨不同坐標(biāo)系變化而變化。慣性半徑的量綱是長度(chngd)的一次方，面積的量綱是長度(chngd)的二次方，靜矩的量綱是長度(c

12、hngd)的三次方，其余的(慣性矩、慣性積、極慣性矩)量綱是長度(chngd)的四次方。第26頁/共94頁第二十六頁，共95頁。27靜矩和形心位置(wi zhi)的確定AydAASyAzcAzdAASzAyc niciicnncczniciicnnccyyAyAyAyASzAzAzAzAS1221112211單個(gè)圖形(txng)的情況：組合圖形(txng)的情況：第27頁/共94頁第二十七頁，共95頁。28注意(zh y)幾點(diǎn)：I平面圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸，則形心必定位于兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)(jiodin)上。I平面圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則形心必定必在這一條對(duì)稱軸上，只需確定其具體位置即可。第28頁/共94

13、頁第二十八頁，共95頁。29I在工程中求平面圖形形心時(shí)，往往不用積分方法求靜矩，而盡量采用組合圖形求靜矩。I對(duì)同一平面圖形選取(xunq)不同的參考坐標(biāo)系，其形心位置的坐標(biāo)也會(huì)不同。但形心在平面圖形中的位置是不變的。I平面圖形對(duì)通過其形心的坐標(biāo)軸的靜矩為零，因此若平面圖形對(duì)某個(gè)軸的靜矩為零，則該坐標(biāo)軸必通過平面圖形的形心。yzhb02222bbAAyzhzhdzzdAS02212bbAAzybybdyydAS第29頁/共94頁第二十九頁，共95頁。30平行(pngxng)移軸公式dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?baAbzdAbdAzdAbzdAzIAAAAy

14、2222112AbbSIyy22如果(rgu)參考坐標(biāo)系oyz的原點(diǎn)位于形心，則：0yS第30頁/共94頁第三十頁，共95頁。31dAzyyzoz1y1y1z1轉(zhuǎn)軸公式(gngsh)的幾點(diǎn)說明：角從原坐標(biāo)軸y量起，以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。對(duì)于(duy)同一坐標(biāo)原點(diǎn)的任意兩個(gè)坐標(biāo)系yoz和y1o1z1存在下列關(guān)系：11zyzyPIIIII第31頁/共94頁第三十一頁，共95頁。32主軸(zhzhu)與形心主軸(zhzhu)、主慣性矩與形心慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應(yīng)的坐標(biāo)軸就可以得到某個(gè)如果圖形對(duì)于(duy)過一點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這一對(duì)

15、坐標(biāo)軸為過這一點(diǎn)的主軸(principal axis)。圖形對(duì)于(duy)主軸的慣性矩稱為主慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有極大值或極小值的特征。 22minmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主慣性矩為：zyyzoIII22tan第32頁/共94頁第三十二頁，共95頁。33644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz幾個(gè)(j )簡單平面圖形的形心主慣性矩圓形截面(jimin)環(huán)形(hun xn)截面矩形截面第33頁/共94頁第三十三頁，共95頁。347.3 平面彎曲(wnq)時(shí)梁橫

16、截面上的正應(yīng)力7.3.1 平面彎曲(wnq)和純彎曲(wnq)的概念 對(duì)稱(duchn)面：梁的橫截面具有對(duì)稱(duchn)軸，所有相同的對(duì)稱(duchn)軸組成的平面，稱為梁的對(duì)稱(duchn)面(symmetric plane) 梁的橫截面沒有對(duì)稱軸，但是都有通過橫截面形心的形心主軸，所有相同的形心主軸組成的平面，稱為梁的主軸平面(plane including principal axis)。由于對(duì)稱軸也是主軸，所以對(duì)稱面也是主軸平面；反之則不然。以下的分析和敘述中均使用主軸平面。 第34頁/共94頁第三十四頁，共95頁。35平面彎曲：所有(suyu)外力(包括力、力偶) 都作用梁的同一

17、主軸平面內(nèi)時(shí)，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎 曲稱為平面彎曲(plane bending)。第35頁/共94頁第三十五頁，共95頁。36純彎曲：一般情形(qng xing)下，平面彎曲時(shí)，梁的橫截面上一般將有兩個(gè)內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面上只有彎矩一個(gè)內(nèi)力分量，這種平面彎曲稱為純彎曲(pure bending) 純彎曲情形下，由于(yuy)梁的橫截面上只有彎矩，因而，便只有垂直于橫截面的正應(yīng)力。 僅在AB段 區(qū) 間(q jin)第36頁/共94頁第三十六頁，共95頁。37 橫向彎曲：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，其橫截面上將同時(shí)(tngsh)產(chǎn)

18、生剪力和彎矩。這時(shí)，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力。這種彎曲稱為橫向彎曲，簡稱橫彎曲(transverse bending)。 7.3.2 純彎曲(wnq)時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力分析v分析梁橫截面上的正應(yīng)力，就是要確定(qudng)梁橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關(guān)系。v由于橫截面上的應(yīng)力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應(yīng)力又和變形有關(guān)，因此，可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上 的正應(yīng)力分布。 第37頁/共94頁第三十七頁，共95頁。381. 平面假定與應(yīng)變(yngbin)分布 在伸長層與縮短(sudun)層交界處的那一層，既不伸長也不縮短(sudun)，該層稱為中

19、性層或中性面(neutral surface)。中性(zhngxng)層與橫截面的交線，稱為中性(zhngxng)軸(neutral axis) 中性軸垂直于加載方向，對(duì)于具有對(duì)稱軸的橫截面梁，中性軸垂直于橫截面的對(duì)稱軸。 第38頁/共94頁第三十八頁，共95頁。39變形(bin xng)前變 形 ( b i n xng)后整體(zhngt)變形效果假設(shè)OO為中性層，并建立如圖所示的坐標(biāo)OXY?；A=dy弧OO=dx=d dxy ddyd 那么弧AA的絕對(duì)伸長量為：那么弧AA的相對(duì)伸長量為：1 xdxydydxdx1ddx第39頁/共94頁第三十九頁，共95頁。40 (2) 物理物理(wl)

20、方方程程假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力(yngl)(yngl)狀態(tài)。狀態(tài)。 (7-24) xxEyECyxxF橫截面上的彎曲正應(yīng)力沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈線性分布。F該式子還只是給出了正應(yīng)力分布情況，但是還不能具體求出數(shù)值。主要因?yàn)?yn wi)：y坐標(biāo)是從中性軸開始計(jì)算的，而中性軸的位置還沒有確定；中性軸的曲率半徑也沒有確定。第40頁/共94頁第四十頁，共95頁。41M(3) 純彎曲情況純彎曲情況(qngkung)下的靜力學(xué)下的靜力學(xué)關(guān)系：關(guān)系：ddd0NzAAAEyEEFAAy AS0 zSyzx0NF

21、中心(zhngxn)軸Z通過截面形心，并且垂直于對(duì)稱軸，所以，中心(zhngxn)軸的位置就是確定截面的形心位置。 純彎曲時(shí)，在任何一個(gè)橫截面上只能(zh nn)有彎矩一個(gè)內(nèi)力分量，軸力必須等于零。第41頁/共94頁第四十一頁，共95頁。42(d )zdd0yAAyzAEyEEyzMAAAzI因?yàn)閥軸為橫截面的一個(gè)(y )對(duì)稱軸，所以其截面的慣性積等于0。2(d )ddzzAAzAEyEEyyMAy AMAI1zzMEIyzx0yMzzMM1xxEyEEy zxzM yI (7-34)(7-29)(3) 純彎曲純彎曲(wnq)情況下的靜力學(xué)關(guān)系：情況下的靜力學(xué)關(guān)系：在橫截面上：第42頁/共94

22、頁第四十二頁，共95頁。435. 最大正應(yīng)力(yngl)公式與彎曲截面模量mmaxaxzzzzyMMIWmax其中zzIWy圓形截面(jimin)環(huán)形(hun xn)截面矩形截面644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz122bhhIWzz323dWWWzyDdDWWWzy43132zzxM yIWz稱為彎曲截面模量第43頁/共94頁第四十三頁，共95頁。446. 梁彎曲后其軸線(zhu xin)的曲率公式zzIMCECzzEIM1稱為梁的彎曲剛度。zEI 這一結(jié)果表明：梁的軸線(zhu xin)彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。第44頁/共94頁第四十

23、四頁，共95頁。457.3.3 梁的彎曲(wnq)正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣需要注意(zh y)幾個(gè)問題Y首先是關(guān)于正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)：決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。確定正應(yīng)力正負(fù)號(hào)比較簡單的方法是：首先確定橫截面上彎矩的實(shí)際方向，確定中性軸的位置；然后根據(jù)所要求(yoqi)應(yīng)力的那一點(diǎn)的位置，以及“彎矩是由分布正應(yīng)力合成的合力偶矩”這一關(guān)系。就可以確定這一點(diǎn)的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力(圖7-17)。 Y其次是關(guān)于最大正應(yīng)力計(jì)算：Y 如果梁的橫截面具有一對(duì)相互垂直的對(duì)稱軸，并且加載方向與其中一根對(duì)稱軸一致時(shí)，則中性軸與另一對(duì)稱軸一致。此時(shí)最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值相等，由式(7-30)計(jì)算。第45頁

24、/共94頁第四十五頁，共95頁。46如果梁的橫截面只有一根對(duì)稱軸，而且加載方向與對(duì)稱軸一致，則中性軸通過截面形心并垂直對(duì)稱軸。這時(shí)，橫截面上最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力，可由絕對(duì)值不相等(xingdng)，下列二式分別計(jì)算：)()(maxmaxmaxmax壓拉zbczbczbzbIyMIyM第46頁/共94頁第四十六頁，共95頁。47 此外還要注意的是，某一個(gè)橫截面上的最大正應(yīng)力不一定就是梁內(nèi)的最大正應(yīng)力，應(yīng)該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應(yīng)力的那些截面，這些截面稱為危險(xiǎn)截面；然后比較所有(suyu)危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力，其中最大者才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力。保證梁安全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證

25、這種最大正應(yīng)力不得超過允許的數(shù)值。 2. 純彎曲正應(yīng)力可以推廣到橫向彎曲 以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式。對(duì)于非純彎曲，也就是橫截面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細(xì)長桿，也是近似適用的。理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面在梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，這種翹曲對(duì)正應(yīng)力分布(fnb)的影響是很小的。對(duì)細(xì)長梁更小，通常都可以忽略不計(jì)。 第47頁/共94頁第四十七頁，共95頁。487.4 平面彎曲(wnq)正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例第48頁/共94頁第四十八頁，共95頁。49第49頁/共94頁第四十九頁，共95頁。50 xM02xFxqxMRAxqlqxM22128,22q

26、lMlx第50頁/共94頁第五十頁，共95頁。51第51頁/共94頁第五十一頁，共95頁。52第52頁/共94頁第五十二頁，共95頁。53第53頁/共94頁第五十三頁，共95頁。54第54頁/共94頁第五十四頁，共95頁。557.5 梁的強(qiáng)度(qingd)計(jì)算7.5.1 梁的失效(sh xio)判據(jù) 與拉伸(l shn)或壓縮桿件失效類似。對(duì)于韌性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的屈服點(diǎn)時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效；對(duì)于脆性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的抗拉強(qiáng)度時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效。即 maxmaxb()()s韌性材料脆性材料第55頁/共94頁第五十五頁，共95頁

27、。567.5.2 梁的彎曲強(qiáng)度(qingd)計(jì)算準(zhǔn)則 ssnmax bbnmax根據(jù)上述強(qiáng)度條件，同樣可以解決三類強(qiáng)度問題(wnt)：強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、確定許用載荷。 第56頁/共94頁第五十六頁，共95頁。577.5.3 梁的彎曲強(qiáng)度(qingd)計(jì)算步驟 根據(jù)梁的彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算的一般步驟為：根據(jù)梁約束性質(zhì)(xngzh)，分析梁的受力，確定約束力。畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險(xiǎn)截面。 根據(jù)應(yīng)力分布和材料的拉伸與壓縮強(qiáng)度性能是否相等，確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn): 對(duì)于拉、壓強(qiáng)度相同的材料(如低碳鋼等)，最大拉應(yīng)力作用點(diǎn)與最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)具有相同的危險(xiǎn)性，通常不加以區(qū)

28、分； 對(duì)于拉、壓強(qiáng)度性能不同的材料(如鑄鐵等脆性材料)最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)和最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)都有可能是危險(xiǎn)點(diǎn)。 秘笈第57頁/共94頁第五十七頁，共95頁。58Y應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算：Y對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度相等(xingdng)的材料，應(yīng)用強(qiáng)度條件式(7-38)和式(7-39)；Y對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度不相等(xingdng)的材料，強(qiáng)度條件式 (7-38)和式(7-39)可以改寫為 bbmaxbbnbcbcmaxbcbcn抗拉許用應(yīng)力(yngl)抗拉強(qiáng)度(kn l qin d)第58頁/共94頁第五十八頁，共95頁。59第59頁/共94頁第五十九頁，共95頁。60第60頁/共94頁第六十頁，共95

29、頁。61第61頁/共94頁第六十一頁，共95頁。62第62頁/共94頁第六十二頁，共95頁。632. 根據(jù)危險(xiǎn)(wixin)截面上的正應(yīng)力分布確定可能的危險(xiǎn)(wixin)點(diǎn)第63頁/共94頁第六十三頁，共95頁。643. 計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，進(jìn)行(jnxng)強(qiáng)度校核 上述(shngsh)結(jié)果表明：梁上所有危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度都是安全的。第64頁/共94頁第六十四頁，共95頁。65lxFFPAlxlFFPB)( 第65頁/共94頁第六十五頁，共95頁。66kNlxFFPA200kNlxlFFPB150)(由此解出：mkNmkNx667. 23004200mkNmkNmx230041504于是

30、得到了Fp加在輔助(fzh)梁上作用點(diǎn)的范圍為：mxm667. 22第66頁/共94頁第六十六頁，共95頁。672. 確定輔助梁所需要(xyo)的工字鋼型號(hào)第67頁/共94頁第六十七頁，共95頁。68第68頁/共94頁第六十八頁，共95頁。697.6 斜彎曲(wnq)當(dāng)外力施加在梁的對(duì)稱面(或主軸平面)內(nèi)時(shí)，梁將產(chǎn)生平面彎曲(wnq)。所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面不是對(duì)稱面(或主軸平面)，梁也將會(huì)產(chǎn)生彎曲(wnq)，但不是平面彎曲(wnq)，這種彎曲(wnq)稱為斜彎曲(wnq)(skew bending)。還有一種情形也會(huì)產(chǎn)生斜彎曲(wnq)。這就是所有外力都作用于對(duì)稱面(或主軸

31、平面)內(nèi)，但不是同一對(duì)稱面(梁的截面具有兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)稱軸)或主軸平面內(nèi)。第69頁/共94頁第六十九頁，共95頁。707.3 斜彎曲(wnq) 為了確定斜彎曲時(shí)梁橫截面上的應(yīng)力(yngl)，在小變形的條件下，可以將斜彎曲分解成兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)(或主軸平面)的平面彎曲，然后將兩個(gè)平面彎曲引起的同一點(diǎn)應(yīng)力(yngl)的代數(shù)值相加。便得到斜彎曲在該點(diǎn)的應(yīng)力(yngl)值。 zzyybWMWMmaxzzyybcWMWMmax第70頁/共94頁第七十頁，共95頁。71 上式不僅對(duì)于矩形截面，而且對(duì)于槽形截面、工字形截面也是適用的。因?yàn)檫@些截面上由兩個(gè)主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應(yīng)力(yngl)和最大壓

32、應(yīng)力(yngl)都發(fā)生在同一點(diǎn)。 對(duì)于圓截面，上述(shngsh)計(jì)算公式是不適用的。這是因?yàn)?，兩個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應(yīng)力不發(fā)生在同一點(diǎn)，最大壓應(yīng)力也不發(fā)生在同一點(diǎn)。 對(duì)于圓截面，因?yàn)檫^形心的任意軸均為截面的對(duì)稱軸，所以當(dāng)橫截面上同時(shí)作用有兩個(gè)彎矩時(shí)，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對(duì)稱軸分布，合彎矩的作用面仍然與對(duì)稱面一致，所以平面(pngmin)彎曲的公式依然適用。于是，圓截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力計(jì)算公式為 WMMWMzyb22maxWMMWMzybc22max第71頁/共94頁第七十一頁，共95頁。72 此外還可以(ky)證明，斜彎曲情

33、形下，橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心，但不垂直于加載方向，這是斜彎曲與平面彎曲的重要區(qū)別。 max第72頁/共94頁第七十二頁，共95頁。73yzFP第73頁/共94頁第七十三頁，共95頁。744sin4)(maxlFlFFMPPzPz4cos4)(maxlFlFFMPPyPy3. 計(jì)算兩個(gè)(lin )平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力第74頁/共94頁第七十四頁，共95頁。75第75頁/共94頁第七十五頁，共95頁。76具有(jyu)很強(qiáng)的工程意義！第76頁/共94頁第七十六頁，共95頁。777.7 彎矩與軸力同時(shí)作用(zuyng)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 當(dāng)桿件同時(shí)承受垂直于軸線(

34、zhu xin)的橫向力和沿著軸線(zhu xin)方向的縱向力時(shí)，桿件的橫截面上將同時(shí)產(chǎn)生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。 如果作用在桿件上的縱向(zn xin)力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為偏心加載。這時(shí)如果將縱向(zn xin)力向橫截面的形心簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產(chǎn)生軸力和彎矩。 第77頁/共94頁第七十七頁，共95頁。78第78頁/共94頁第七十八頁，共95頁。79AFWMNbmaxAFWMNbcmax max第79頁/共94頁第七十九頁，共95頁。80第80頁/共94頁第八十頁，共95頁。812. 確定危險(xiǎn)截面并計(jì)算(j sun)最

35、大應(yīng)力第81頁/共94頁第八十一頁，共95頁。82第82頁/共94頁第八十二頁，共95頁。837.8 結(jié)論(jiln)與討論7.8.1 關(guān)于彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用(yngyng)條件平面彎曲正應(yīng)力公式只能(zh nn)應(yīng)用于平面彎曲情形。對(duì)于截面有對(duì)稱軸的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對(duì)稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生平面彎曲。對(duì)于沒有對(duì)稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。 只有在彈性范圍內(nèi)加載，橫截面上的正應(yīng)力才會(huì)線性分布，才會(huì)得到平面彎曲正應(yīng)力公式。平面彎曲正應(yīng)力公式是在純彎情形下得到的，但是，對(duì)于細(xì)長桿，由于剪力引起的切應(yīng)力比彎曲正應(yīng)力小得多，對(duì)強(qiáng)度的影響很小，通

36、常都可以忽略。 由此，平面彎曲正應(yīng)力公式也適用于橫截面上有剪力作用的情形。也就是對(duì)于細(xì)長梁純彎曲的正應(yīng)力公式也適用于橫彎曲。 第83頁/共94頁第八十三頁，共95頁。847.8.2 彎曲切應(yīng)力(yngl)的概念X當(dāng)梁發(fā)生橫向彎曲時(shí)，橫截面上一般都有剪力存在，截面上與剪力對(duì)應(yīng)的分布內(nèi)力在各點(diǎn)的強(qiáng)弱(qin ru)程度稱為切應(yīng)力，用希臘字母表示。X切應(yīng)力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截面內(nèi)，如圖7-30所示。X彎曲切應(yīng)力在截面上的分布(fnb)是不均勻的，分布(fnb)狀況與截面的形狀有關(guān)，一般情形下最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面中性軸上的各點(diǎn)。 第84頁/共94頁第八十四頁，共95頁。85對(duì)于

37、(duy)寬度為b、高度為h的矩形截面，最大切應(yīng)力為:hbFQ23max對(duì)于直徑為d的圓截面(jimin)，最大切應(yīng)力為:AFQ34max42dA對(duì)于(duy)內(nèi)徑為d、外徑為D的圓環(huán)截面，最大切應(yīng)力為:AFQ 2max422dDA第85頁/共94頁第八十五頁，共95頁。867.8.3 關(guān)于(guny)截面的慣性矩 橫截面對(duì)于某一軸的慣性矩，不僅與橫截面的面積大小有關(guān)，而且還與這些(zhxi)面積到這一軸的距離的遠(yuǎn)近有關(guān)。同樣的面積，到軸的距離遠(yuǎn)者，慣性矩大；到軸的距離近者，慣性矩小。為了使梁能夠承受更大的力，我們當(dāng)然希望截面的慣性矩越大越好。 對(duì)于圖7-31a中承受均布載荷的矩形截面(jimin)簡支梁，最大彎矩發(fā)生在梁的中點(diǎn)。如果需要在梁的中點(diǎn)開一個(gè)小孔，請(qǐng)讀者分析：圖7-31b、c中的開孔方式，哪一種最合理? 3331212zba hbhahI3333()12