文科一輪學(xué)案98(3)定點(diǎn)、定值、探索性問題

1、第九章 解析幾何學(xué)案9.8(3) 定點(diǎn)、定值、探索性問題考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破題型一定點(diǎn)問題例1已知橢圓1(a>0，b>0)過點(diǎn)(0,1)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)變式訓(xùn)練(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長為2.(1) 求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否

2、存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由題型二定值問題例2已知橢圓C：1 (a>b>0)的離心率是，其左，右頂點(diǎn)分別為A1，A2，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，A1BA2的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：x2與x軸交于D，P是橢圓C上異于A1，A2的動(dòng)點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：|DE|·|DF|為定值變式訓(xùn)練如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F(，0)，直線l：x，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQFP，PQl.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(1,0)，且圓心M在曲線C

3、上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長|TS|是否為定值？請說明理由題型三探索性問題例3(2015·湖北)一種畫橢圓的工具如圖1所示O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DNON1，MN3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點(diǎn)若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在

4、，求出該最小值；若不存在，說明理由變式訓(xùn)練已知橢圓E：1(a>b>0)以拋物線y28x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與直線x4相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得·為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及·的值；若不存在，請說明理由鞏固提高案 日積月累 提高自我1(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且·1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)

5、是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由2已知橢圓C：1 (a>b>0)的兩焦點(diǎn)在x軸上，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)S的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由3已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2，0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程

6、；若不存在，請說明理由4已知直線l：yx，圓O：x2y25，橢圓E：1(a>b>0)的離心率e，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等(1)求橢圓E的方程；(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值5(2014·福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2.(1)求曲線的方程；(2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論課時(shí)3定點(diǎn)

7、、定值、探索性問題題型一定點(diǎn)問題例1已知橢圓1(a>0，b>0)過點(diǎn)(0,1)，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列直線l與x軸正半軸和y軸分別交于Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足1，2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若123，試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)解(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以橢圓的方程為y21.(2)由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由題意y10，

8、11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，聯(lián)立得(t23)y22mt2yt2m230，由題意知4m2t44(t23)(t2m23)>0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由題意mt<0，mt1，滿足，得l方程為xty1，過定點(diǎn)(1,0)，即Q為定點(diǎn)變式訓(xùn)練(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長為2.(1) 求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的

9、坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點(diǎn)(，1)在橢圓E上，因此解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有1，即|QC|QD|，所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，則M，N的坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)，由，有，解得y01或y02，所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0,2)，下面證明：對任意直線l，均有，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx1，A、B的坐標(biāo)分別為(x1

10、，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k，易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)，又kQAk，kQBkk，所以kQAkQB，即Q，A，B三點(diǎn)共線，所以，故存在與P不同的定點(diǎn)Q(0,2)，使得恒成立題型二定值問題例2已知橢圓C：1 (a>b>0)的離心率是，其左，右頂點(diǎn)分別為A1，A2，B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，A1BA2的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：x2與x軸交于D，P是橢圓C上異于A1，A2的動(dòng)點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：|DE|·|

11、DF|為定值(1)解由已知，可得解得a2，b.故所求橢圓方程為1.(2)證明由題意可得A1(2,0)，A2(2,0)設(shè)P(x0，y0)，由題意可得2<x0<2，直線A1P的方程為y(x2)，令x2得y，即|DE|，同理，直線A2P的方程為y(x2)，令x2，得y，即|DF|，所以|DE|·|DF|×，將y代入上式，得|DE|·|DF|3，故|DE|·|DF|為定值3.變式訓(xùn)練如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F(，0)，直線l：x，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQFP，PQl.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(

12、1,0)，且圓心M在曲線C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長|TS|是否為定值？請說明理由解(1)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQFP，RQ是線段FP的垂直平分線點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，|PQ|QF|，又|PQ|是點(diǎn)Q到直線l的距離，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y22x(x>0)(2)弦長|TS|為定值理由如下：取曲線C上點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d|x0|x0，圓的半徑r|MA|，則|TS|22，因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線C上，所以x0，所以|TS|22，是定值題型三探索性問題例3(2015·湖北)一種畫橢圓的工具如圖1所示O

13、是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DNON1，MN3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點(diǎn)若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由解(1)因?yàn)閨OM|MN|NO|314，當(dāng)M，N在x軸上時(shí)，等號成立；同理|OM|MN|NO|312，當(dāng)D，O重合，即M

14、Nx軸時(shí)，等號成立所以橢圓C的中心為原點(diǎn)O，長半軸長為4，短半軸長為2，其方程為1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x4或x4，都有SOPQ×4×48.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由可得P；同理可得Q.由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|·d|m|xPxQ|·|m|·.將代入得，SOPQ8.當(dāng)k2>時(shí)，SOPQ88>8；當(dāng)

15、0k2<時(shí)，SOPQ88.因0k2<，則0<14k21，2，所以SOPQ88，當(dāng)且僅當(dāng)k0時(shí)取等號所以當(dāng)k0時(shí)，SOPQ的最小值為8.綜合可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得最小值8.變式訓(xùn)練已知橢圓E：1(a>b>0)以拋物線y28x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與直線x4相交于Q點(diǎn)，P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，試問在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得·為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及·的值；若不存在，請說明理由解(1)拋物線y28x的焦點(diǎn)為橢圓

16、E的頂點(diǎn)，即a2.又，故c1，b.橢圓E的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x1x2，y1y2)，聯(lián)立得(4k23)x28kmx4m2120.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，y1y2k(x1x2)2m.將P代入橢圓E的方程，得1，整理，得4m24k23.設(shè)T(t,0)，Q(4，m4k)，(4t，m4k)，.即·.4k234m2，·.要使·為定值，只需2為定值，則1t0，t1，在x軸上存在一點(diǎn)T(1,0)，使得·為定值.鞏固練習(xí)案 典例剖析 考點(diǎn)突1(2015·四川)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸

17、CD上，且·1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，從而，··x1x2y1y2x1x2(y11

18、)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時(shí)，23，此時(shí)··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.2已知橢圓C：1 (a>b>0)的兩焦點(diǎn)在x軸上，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)S的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一

19、個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，bc.又斜邊長為2，即2c2，故cb1，a，橢圓方程為y21.(2)當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為x22；當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為x2y21.由得故若存在定點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0,1)下面證明Q(0,1)為所求：若直線l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(918k2)x212kx160，144k264(918k2)>0，x1x2，x1x2，(x1，y11)，(x2，y21)，·x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2

20、)(1k2)··0，即以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q(0,1)3已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2，0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以(3t)24×

21、3×(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t±2.由于±24，4 ，所以符合題意的直線l不存在4已知直線l：yx，圓O：x2y25，橢圓E：1(a>b>0)的離心率e，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等(1)求橢圓E的方程；(2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值(1)解設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d，則l被圓O截得的弦長為2，所以b.由題意得又b，a23，b22.橢圓E的方程為1.(2)證明設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為yy0k(xx0)整理得ykxy0kx0，聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程消去y，得2kx(y0kx0)