23-基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的定價(jià)技術(shù)[金融計(jì)算與建模]

1、第第23章章 基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的定價(jià)基于動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的定價(jià)技術(shù)技術(shù)利用均衡模型對浮動(dòng)利率債券定價(jià)利用均衡模型對浮動(dòng)利率債券定價(jià)Vasicek和CIR單因子模型都是經(jīng)典的均衡利率模型。是通過對短期利率運(yùn)動(dòng)趨勢的描述推導(dǎo)出的即期利率期限結(jié)構(gòu)模型，從而能夠?yàn)楦鞣N利率型金融工具進(jìn)行定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理。利用這兩種利率期限結(jié)構(gòu)，可以解決浮動(dòng)利率債券定價(jià)的問題。 設(shè) 為剩余到期期限為 年的貼現(xiàn)債券的當(dāng)前價(jià)格。于是有， 時(shí)間點(diǎn) 的即期利率 連續(xù)復(fù)合利率一年期遠(yuǎn)期利率一年期連續(xù)復(fù)合遠(yuǎn)期利率 ( )P11( )1( )RPln( )( )PR( )( )1(1)PfP(1)( )ln( )PfP 純預(yù)

2、期理論將遠(yuǎn)期利率視為對未來利率的預(yù)測，因此在這些均衡模型中，一年期遠(yuǎn)期利率可以用來替代浮動(dòng)利率債券未來的基礎(chǔ)利率，從而確定未來的現(xiàn)金流。利用現(xiàn)金流折現(xiàn)原理得到浮動(dòng)利率債券的定價(jià)公式1(23.1)(1)(1)innittiinCCFPRR其中：P為市場價(jià)格； 為第期貼現(xiàn)率，即第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)的即期利率； 為第i期票息；CF為最后一期返還的面值； 為從目前時(shí)點(diǎn)到以后第i個(gè)計(jì)息日的時(shí)間長度（以年為單位）；n為債券剩余付息次數(shù)。iRiCit在本章中將國債的折現(xiàn)利率提高0.4%作為金融債的折現(xiàn)利率 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)目前，對Vasicek和CIR這兩種均衡模型的參數(shù)估計(jì)方法主要有三類：純時(shí)間序列數(shù)據(jù)方法（Pu

3、re Time-Series Data Method）純截面數(shù)據(jù)方法（Pure Cross Sectional Data Method）混合時(shí)間序列/截面數(shù)據(jù)方法（Joint Time-Series/Cross Sectional Data Method）。CIR模型模型 理論價(jià)格( , )( )exp( ) )ttP rABr市場價(jià)格 *,.ln()ln( ( )exp( ) )tttPABr其中： 是市場上觀察到的貼現(xiàn)債券價(jià)格； 是服從正態(tài)分布的殘差項(xiàng)， ， 對于不同的 值是獨(dú)立同分布的； 是待估參數(shù)；*, tP. t2.(0,)tN. t2312211exp()( )(exp() 1)A

4、 1211exp() 1( )(exp() 1)B2221213()2,()/2,2/ CIR模型的離散狀態(tài)形式為， （23.3）其中： 為時(shí)間間隔，這里取為一天； 為服從正態(tài)分布的殘差， 是待估參數(shù)。因此，連同風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) ，總共有5個(gè)待估參數(shù)。1()tttrrt tt21(0,)ttNrt, 和由于假設(shè)了這些殘差都是服從正態(tài)分布的，因此可以采用極大似然法來估計(jì)這些參數(shù)。假設(shè)有T天的短期利率樣本數(shù)據(jù)（即每天的 ），以及第T天的M個(gè)貼現(xiàn)債券價(jià)格數(shù)據(jù)，估計(jì)第T1天的參數(shù)值時(shí)，構(gòu)造CIR模型的對數(shù)似然函數(shù)如下，tr211221111222*,11ln(2 )ln()ln()222()11 ln()22

5、1 ln(2 )ln()ln()ln( ()exp() )222kTiiTTiiiiiii iMtkkTkTTLrrrttt rMMPABr 假設(shè)只以時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)（即第一類方法），這時(shí)，似然函數(shù)變?yōu)椋?2112211111ln(2 )ln()ln()222()11 ln()22TiiTTiiiiiii iTTLrrrttt r 計(jì)算環(huán)境計(jì)算環(huán)境2003年8月13日作為計(jì)算時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。計(jì)算數(shù)據(jù)集：基準(zhǔn)利率數(shù)據(jù)集ResDat.B2W（七日回購利率兩周指數(shù)加權(quán)平均）；銀行間浮動(dòng)利率金融債券信息數(shù)據(jù)集ResDat.floatbond?；鶞?zhǔn)利率數(shù)據(jù)集B2W變量說明：Date日期；Ir基準(zhǔn)利率。銀行

6、間浮動(dòng)利率金融債券信息數(shù)據(jù)集floatbond變量說明：Bdcd債券代碼Bdnm債券名稱Couprt票面利率Freq年付息頻率Matdt到期日Maturity到期期限ResDat.Floatbond創(chuàng)建過程：/* 第一步，利用數(shù)據(jù)集Resdat.bdinfo選出銀行間浮動(dòng)利率金融債券，共31只。*/data a;set Resdat.bdinfo;if Couptp=1 and trdmktflg=3 and Bdtype=3 and Issdt13Aug2003d;keep bdcd bdnm couprt freq matdt maturity; /* 票息類型Couptp=1為浮動(dòng)利率債

7、券；交易地點(diǎn)標(biāo)識trdmktflg=3為銀行間債券市場；Bdtype=3為金融債券 */run;/* 第二步，通過分析2003年浮動(dòng)利率債券的交易信息和報(bào)價(jià)信息，挑選出交易和報(bào)價(jià)頻繁、且在定價(jià)日有合理價(jià)格的8只浮動(dòng)利率債券，債券代碼分別為：020211，020212，020306，030206，000201，000202，000210，000213。*/data ResDat.Floatbond;set a;if bdcd in (020211 020212 020306 030206 000201 000202 000210 000213);run;/* 2003年8月13日銀行間貼現(xiàn)金融債

8、券共10只。代碼分別為：020304 020209 020216 030204 030207 030208 030209 030210 030212 030211 */data b;set Resdat.bdinfo;if Intmd=0 and trdmktflg=3 and Bdtype=3 and Issdt13Aug2003d;keep bdcd bdnm couprt freq matdt maturity;run;data discountbd030813;set resdat.cbdqttn;if bdcd in (020304 020209 020216 030204 0302

9、07 030208 030209 030210 030212 030211) and date=13Aug2003d;price=Cldirpr;keep bdcd bdnm date price Yrstmat ;labelprice=交易價(jià)格;run;proc print data=discountbd030813 label noobs;run;挑選出在定價(jià)日有交易價(jià)格的4只貼現(xiàn)債券如表23.1所示。 表23.1 貼現(xiàn)債券信息（2003年8月13日）債券代碼|債券名稱日期剩余期限交易價(jià)格02021602國開162003-08-132.20274094.6503020703國開072003

10、-08-130.88083798.0203020803國開082003-08-130.40542799.0503021103國開112003-08-130.68138398.40數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理/* 對原始數(shù)據(jù)及加工整理*/data B2W;set Resdat.B2W;where 05jan2001d=date=13aug2003d;run;data floatbond;set Resdat.floatbond;run;data B2W;set B2W;dir=dif(ir);lagir=lag(ir);ivir=1/ lagir;if dir=. then delete;run; /*

11、 B2W共656個(gè)觀測值 */* 將數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成矩陣*/proc iml;reset deflib=work;use B2W;list;list all;read all var lagir into ir;read all var dir into dir;read all var ivir into ivir;print ir dir ivir;store ir dir ivir;run;quit;CIR模型利率期限結(jié)構(gòu)擬合模型利率期限結(jié)構(gòu)擬合/* 計(jì)算常數(shù)（這些常數(shù)用于直接代入似然函數(shù)中進(jìn)行最優(yōu)化計(jì)算）*/proc iml;reset deflib=work;load ir di

12、r ivir;c1=sum(dir#2#365#ivir); /* ，注意， */c2=-2#sum(dir#ivir); c3=2*sum(dir); c4=sum(1/365)#ivir); c5=-2*656/365; c6=sum(ir#(1/365); print c1 c2 c3 c4 c5 c6;quit;/*結(jié)果顯示：C1 C2 C3 C4 C5 C60.0352866 0.3776176 -0.008852 82.768353 -3.594521 0.0392739*/211Tiii irt r1365it /* 純時(shí)間序列估計(jì)純時(shí)間序列估計(jì)*/* 其中f就是極大似然函數(shù) *

13、/proc iml;reset deflib=work;start F_BETTS(x); /* 定義似然函數(shù)模塊 */f=-(656/2)*log(x1*2)-1/2*(x1*(-2)*(0.0352866416+(0.3776176352)*x2*x3+(-0.008852)*x2+(82.768352682)*x2*x2*x3*x3+(-3.594520548)*x2*x2*x3+(0.0392739233)*x2*x2);/* x1表示 x2表示 , x3表示 。且有：-(656/2)#log(x1#2)= ; 剩余部分= */return(f);finish F_BETTS;con=

14、0 0 0 ,1 50 1; /* 規(guī)定參數(shù)取值范圍的條件矩陣con */x=0.6 8 0.03; /* 規(guī)定參數(shù)初值 */optn=1 3; /* 輸出選項(xiàng), 1最大化，0最小化，3輸出結(jié)果選擇項(xiàng) */call nlpnra(rc,xres,F_BETTS,x,optn,con);store xres;quit;2112211111ln(2 )ln()ln()222()11 ln()22TiiTTiiiiiii iTTLrrrttt r 2ln()2T22111()12Tiiiii irrtt r /* 估計(jì)結(jié)果： Optimization Results Parameter Estima

15、tes Gradient Objective N Parameter Estimate Function 1 X1 0.007244 0.002212 2 X2 1.317201 0.000013169 3 X3 0.019982 0.005146Value of Objective Function = 2904.4708579*/時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)估計(jì)時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)估計(jì)/* 估計(jì)結(jié)果： Optimization Results Parameter Estimates Gradient ObjectiveN Parameter Estimate Function 1 X1 0.00725

16、2 0.0003032 X2 1.849163 0.0005143 X3 0.020520 0.0025724 X4 0.018324 0.0010195 X5 -1.799739 0.000632 */* 根據(jù)CIR模型的參數(shù)估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)*/data cirrate;sigma=0.007252;a=1.849163;u= 0.020520;lemda=-1.7997399;gamma=(a+lemda)*2+2*sigma*2)*(1/2);r1=0.021027;do t=0 to 30 by 0.05;P=(2*gamma*exp(a+lemda+gamma)*t/2)/(a+le

17、mda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma)*(2*a*u/(sigma*2)*exp(-(2*(exp(gamma*t)-1)/(a+lemda+gamma)*(exp(gamma*t)-1)+2*gamma)*r1);p1=(2*gamma*exp(a+lemda+gamma)*(t+1)/2)/(a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1)-1)+2*gamma)*(2*a*u/(sigma*2)*exp(-(2*(exp(gamma*(t+1)-1)/(a+lemda+gamma)*(exp(gamma*(t+1)-1)+2*gamma)*

18、r1);R=-1/t*log(P); /* 連續(xù)復(fù)合利率 */R=(1/P)*(1/t)-1; /* 即期利率 */fr=log(P)-log(P1); /* 一年期連續(xù)復(fù)合遠(yuǎn)期利率 */fr=(P/P1)-1; /* 一年期遠(yuǎn)期利率 */output;end;run;為浮動(dòng)利率債券定價(jià)為浮動(dòng)利率債券定價(jià)程序略結(jié)果分析結(jié)果分析用極大似然法，通過Newton-Raphson非線性最優(yōu)化方法分別估計(jì)出兩個(gè)模型的參數(shù)如下。表23.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果（2003年8月13日當(dāng)天的參數(shù)）模型模型估計(jì)方法估計(jì)方法Vasicek純時(shí)間序列1.3198940.0199860.001071時(shí)間序列/截面1.5982

19、980.0203520.001073-200.014609CIR純時(shí)間序列1.3172010.0199820.007244時(shí)間序列/截面1.8491630.0205200.007252-1.7997390.018324從兩個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果來看，用純時(shí)間序列數(shù)據(jù)以及混合使用時(shí)間序列和截面數(shù)據(jù)兩種方法的估計(jì)結(jié)果存在一定的差異。而且純時(shí)間序列估計(jì)方法得不到風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)參數(shù)的估計(jì)值，只能作為外生變量事先給定，從而有一定的人為主觀性。這兩種方法的差異說明了在參數(shù)估計(jì)過程中引入更多有效的信息確實(shí)能夠提高參數(shù)的準(zhǔn)確性和有效性。在得出這些參數(shù)之后，將它們代入到原模型中可以模擬短期利率的變動(dòng)過程。模型模擬利率過

20、程與實(shí)際利率過程的比較見圖23.1。圖23.1 模型模擬利率過程與實(shí)際利率過程（藍(lán)色：CIR模擬利率過程；黑色：Vasicek模擬利率過程；紅色：真實(shí)利率過程）在估計(jì)出兩個(gè)短期利率模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合前文給出的零息票債券理論價(jià)格公式，可以推導(dǎo)出利率期限結(jié)構(gòu)。 圖23.2 Vasicek模型的利率期限結(jié)構(gòu) （藍(lán)色：遠(yuǎn)期利率；黑色：即期利率） 圖23.3 CIR模型的利率期限結(jié)構(gòu) （藍(lán)色：遠(yuǎn)期利率；黑色：即期利率）為了分析對浮動(dòng)利率債券定價(jià)是否合理，需要將浮動(dòng)利率債券的理論價(jià)格與市場的實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對照，并分析其中的差異。 表23.3 Vasicek模型的浮動(dòng)利率債券定價(jià)結(jié)果（2003年8月14日

21、）債券代碼債券代碼債券名稱債券名稱日期日期理論全價(jià)理論全價(jià)交易全價(jià)交易全價(jià)誤差誤差00020100國開012003-08-14102.160102.6853-0.5248600020200國開02.101.032.00021000國開102003-08-14102.366102.33770.0278400021300國開132003-08-14101.694101.9602-0.2666602021102國開112003-08-14103.539103.11480.4246802021202國開122003-08-14104.157103.49730.6601402030602進(jìn)出06.103

22、.786.03020603國開06.100.875.表23.4 CIR模型的浮動(dòng)利率債券定價(jià)結(jié)果（2003年8月14日）債券代碼債券代碼債券名稱債券名稱日期日期理論全價(jià)理論全價(jià)交易全價(jià)交易全價(jià)誤差誤差00020100國開012003-08-1498.094102.6853-4.5908800020200國開02.96.706.00021000國開102003-08-14100.288102.3377-2.0501700021300國開132003-08-1499.286101.9602-2.6740002021102國開112003-08-14101.538103.1148-1.5764102

23、021202國開122003-08-14101.822103.4973-1.6750702030602進(jìn)出06.101.013.03020603國開06.106.717.利用套利模型為可贖回利用套利模型為可贖回/可回售債券定價(jià)可回售債券定價(jià)可贖回債券和可回售債券定價(jià)原理可贖回債券和可回售債券定價(jià)原理可贖回債券和可回售債券均可以被拆分為一個(gè)不含權(quán)債券和一個(gè)期權(quán)；買入一個(gè)可贖回債券，相當(dāng)于買入一個(gè)不含權(quán)債券，同時(shí)賣出一個(gè)債券看漲期權(quán)。買入一個(gè)可回售債券，相當(dāng)于買入一個(gè)不含權(quán)債券，同時(shí)買入一個(gè)債券看跌期權(quán)。拆分以后，就可以通過分別為不含權(quán)債券和附息債券歐式期權(quán)定價(jià)，然后將兩個(gè)價(jià)格相加（或相減），來為

24、可贖回債券和可回售債券定價(jià)。 附息債券歐式期權(quán)定價(jià)原理附息債券歐式期權(quán)定價(jià)原理 考慮一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為X、到期日為T的附息債券的歐式看漲期權(quán)。假設(shè)債券在期權(quán)到期后共提供n次現(xiàn)金流，設(shè)第i次現(xiàn)金流為 ，且發(fā)生在時(shí)間 。定義： ：在時(shí)間T使得附息債券價(jià)格等于執(zhí)行價(jià)格的短期利率 的值。 ：在時(shí)間T當(dāng) 時(shí)，在時(shí)間 支付單位1的貼現(xiàn)債券的價(jià)值。該期權(quán)的收益是：其中， 是時(shí)間 到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間T的價(jià)格。ic(1;)iisin sT *TriX*TTrrTris1max0,( ,)niiic B T sX( ,)iB T sis由于所有的利率都是與短期利率 正相關(guān)的，因此所有債券的價(jià)格都是與 負(fù)相關(guān)的。這意

25、味著，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，在時(shí)間T附息債券的價(jià)值大于X,應(yīng)當(dāng)執(zhí)行。又，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，構(gòu)成附息債券的在時(shí)間 到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間T的值大于 。因此，期權(quán)的收益為trtr*TTrr*TTrrisiic X1max0, ( ,)niiiicB T sX這說明，附息債券歐式期權(quán)是n個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的總和，其中，第i個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為 ，到期日為T，其基礎(chǔ)債券的到期日為 。于是，附息債券歐式期權(quán)的定價(jià)方法為：附息債券歐式期權(quán)的價(jià)格等于這n個(gè)基于貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)的價(jià)格的和。 iXis貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)定價(jià)公式貼現(xiàn)債券的歐式期權(quán)定價(jià)公式 在連續(xù)時(shí)間形式的Ho-Lee模型中，基于貼現(xiàn)債券

26、的歐式期權(quán)有如下定價(jià)公式：在時(shí)間0，時(shí)間T到期的基于到期日為s的貼現(xiàn)債券（ ）的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價(jià)格分別為 sT(0, )( )(0, )()PCLBs N hXBT N h(0, )()(0, )()PPXBT NhLBs Nh ( , )( , )exp()tB t TA t TR Tt2(0, )(0,)1ln( , )lnln()()(0, )(0, )2BTTtBttA t Tt TtTttBttBt1(0, )ln(0, )2PPLBshXBT()PsTT其中：L是該債券的面值，X是它的執(zhí)行價(jià)格；。 在Hull-White模型中 (0, )( )(0, )()PCLBs

27、 N hXBT N h(0, )()(0, )()PPXBT NhLBs Nh 12( , )( , )exp( , )tB t TA t TA t T R222( , )( , )( ,)A t TA t TtA t tt12222222ln( , )( , )(0, )(0,)1lnln(1)( , )( , )( ,)(0, )( ,)(0, )4atA t TA t TBTBtteA t TA t TA t ttBtA t ttBta()21( , )a T teA t Ta1(0, )ln(0, )2PPLBshXBT2()112aTa s TPeeaa其中：L是該債券的面值，X是它

28、的執(zhí)行價(jià)格；計(jì)算環(huán)境計(jì)算環(huán)境本章選擇2005年1月31日作為計(jì)算可贖回債券和可回售債券價(jià)格的時(shí)間點(diǎn)。 取2005年1月31日之前發(fā)行，2005年1月31日之后到期的可贖回/可回售政策性金融債，共16支，其發(fā)行單位全部為國家開發(fā)銀行，其中有一支包含的是延期選擇權(quán)。 為了計(jì)算方便，本章僅考慮只包含一次選擇權(quán)的可贖回/可回售債券；本章的重點(diǎn)考察對象是期權(quán)，因此選擇2005年1月31日之后行權(quán)的債券，共13支。 如果某支債券在2005年1月這一個(gè)月內(nèi)既不存在報(bào)價(jià)，又不存在成交價(jià)格，也就是說在這一個(gè)月內(nèi)完全無法得到有關(guān)這支債券的任何價(jià)格信息，在這種情況下，這支債券在2005年1月31日這一天的價(jià)格，即使

29、可以由以前的價(jià)格求得“合理價(jià)格”（假設(shè)債券的到期收益率不變計(jì)算的價(jià)格），也是沒有可比性的。因此，本章選擇在2005年1月有價(jià)格的9支債券作為樣本債券。然后根據(jù)債券在過去三個(gè)月內(nèi)的報(bào)價(jià)頻數(shù)和成交頻數(shù)之和，將這9支債券按流動(dòng)性排序，選擇用流動(dòng)性較高的前5支債券（0302020，0302150，0402020，040211，040216）來擬合模型，再用擬合的結(jié)果為剩下的4支債券（020205，0302130，0302160，040224）定價(jià)。計(jì)算數(shù)據(jù)集：計(jì)算數(shù)據(jù)集：價(jià)格頻數(shù)前五的含權(quán)債券數(shù)據(jù)集Resdat.optionbond1，用來計(jì)算模型參數(shù)；價(jià)格頻數(shù)非前五的含權(quán)債券數(shù)據(jù)集Resdat.optionbond2，用來計(jì)算合理價(jià)格（定價(jià)研究）；利用Nelson-Siegel Svensson擴(kuò)展模型擬合銀行間市場的固定利率政策性金融債券，得到的利率期限結(jié)構(gòu)模型參數(shù)Resdat.Nelson。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2具體生成過程見習(xí)題1。Resdat.optionbond1及Resdat.optionbond2變量說明：Bdcd債券代碼Bdnm債券名稱Par債券面值Putflg回