信號與系統(tǒng)三四單元總結(jié)1

1、信號與系統(tǒng) -三四五單元總結(jié)2012051306劉冰第三章1、 LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應1、一個LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應也是一個復指數(shù)信號，不同的是在幅度上變化2、連續(xù)時間： 離散時間：3、H(S)、H（z）復振幅因子4、 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù) 復振幅因子H(s)，H(z) 系統(tǒng)的特征值 5、連續(xù)時間離散時間輸入輸出6、 s= j ，z= 時，即分別以 、為基函數(shù)傅立葉分析 2、 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示1、 成諧波關(guān)系的復指數(shù)信號的線性組合成諧波關(guān)系的復指數(shù)信號集： k=0，其線性組合：也是周期的，基波周期 的兩項基波頻率為 基波分量或一次諧波分量 的兩項基波頻率為 N次諧波

2、分量上式即為周期信號的傅立葉級數(shù)2、 -分析公式 -綜合公式 傅立葉級數(shù)系數(shù)/頻譜系數(shù)，常為復數(shù)反映 x（t）中每一個諧波分量的相對大小直流分量 三、傅里葉級數(shù)的收斂A、 一個周期內(nèi)能量有限的信號,即 就能保證ak是有限值B、 狄里赫利條件： 條件1：在任何周期內(nèi)，x(t)絕對可積，即 條件2：在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)具有有限個起伏變化. 條件3：在x(t)的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個不連續(xù)點，且在不連續(xù)點上函數(shù)值有限 滿足這組條件的信號x(t)，在連續(xù)點上x(t)的值等于其傅立葉級數(shù)表示，而在不連續(xù)點上，傅立葉級數(shù)收斂于不連續(xù)點兩邊值的平均值 4、 傅里葉函數(shù)的近似A、用有限項的線性組合組

3、合來表示原信號 按均方誤差最小準則，得 傅立葉級數(shù)系數(shù)與無限項組合的系數(shù)相同，且與所取項數(shù)目無關(guān)B、吉伯斯現(xiàn)象： 存在“超量”，且與項數(shù)無關(guān) 項數(shù)M越大， 越接近原信號：上升沿和下降沿越來越陡，峰值位置越接近原信號的不連續(xù)點含有更多的高頻分量4、 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)1、 線性若x(t),y(t)周期均為T, 2、時移若3、 時間反轉(zhuǎn)若 則 偶函數(shù) 奇函數(shù) 4、 時域尺度變換 周期改變：x(t)周期為T， 則 ( 為正實數(shù))周期為 傅立葉系數(shù)沒有改變，但傅立葉級數(shù)表示改變，因基波頻率改變 5、 相乘若x(t)、y(t)周期都為T，且則乘積的周期仍為T，且有： （卷積）6、 共軛及共軛對稱性若

4、 則實信號 實偶信號ak=a-k=ak* 實奇信號ak=-a-k*7、 連續(xù)時間周期信號的帕斯瓦爾定理 k次諧波的平均功率物理意義：總平均功率=所有諧波的平均功率之和 5、 離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示1、成諧波關(guān)系的復指數(shù)信號的線性組合 周期信號：xn=xn+N.基波頻率 考慮 （1）諧波信號 （2）只有N個信號是不同的 的線性組合： <N>表示僅需在連續(xù)N個整數(shù)上取值 -離散時間傅立葉級數(shù) -傅立葉級數(shù)系數(shù) /頻譜系數(shù) 六、離散時間傅里葉級數(shù)性質(zhì)1、 相乘 周期卷積2、 一次差分 xn-xn-1 3、 離散時間周期信號帕斯瓦爾定理周期信號的平均功率 = 所有諧波分量平均功率

5、之和 7、 傅里葉級數(shù)與LIT系統(tǒng)LTI系統(tǒng)輸入 輸出特征值（系統(tǒng)函數(shù)）連續(xù)離散 頻率響應A、連續(xù)時間，輸入x(t)為周期信號： LTI系統(tǒng)單位沖激響應h(t),則輸出： B、離散時間，輸入xn為周期信號，LTI系統(tǒng)單位沖激響應hn，則輸出：結(jié)論：對LTI系統(tǒng)，若輸入是周期的，則輸出也是周期的，且周期相同；輸出的傅立葉級數(shù)系數(shù)=輸入的傅立葉級數(shù)系數(shù)對應頻率點上的頻率響應值 或 第四章一一、非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換1、 非周期信號傅里葉變換的導出 得傅里葉變換對： 反變換（綜合公式） 傅里葉變換（積分） 成為x（t）的頻譜2、 有限持續(xù)期信號（對應頻譜 ）經(jīng)周期延拓，得周期信號（對應

6、頻譜系數(shù) ） 與 的關(guān)系即 可利用 的等間隔采樣求得，采樣間隔=3、 傅里葉級數(shù)的收斂 1 平方可積/能量有限 2 狄里赫利條件(1 2 3) 若引入沖激函數(shù)，則又擴大至非絕對可積，又非平方可積的無限持續(xù)期內(nèi)的信號4、傅里葉變換模和相位的表示 A、通常傅氏變換為復數(shù)值：實部與虛部； 模與相位 模相表示：B、x(t)是不同頻率的復指數(shù)之和 描述了組成 x(t)的各復指數(shù)信號的相對振幅幅度譜 提供了這些復指數(shù)信號的相對相位相位譜，對x(t)的屬性具有顯著影響5、 常見信號的傅里葉變換 A、單邊指數(shù)信號 ，a>0，a為實數(shù) 幅度譜 相位譜 B、雙邊指數(shù)信號 ， 實偶函數(shù) 也為實偶函數(shù)C、單位沖

7、激函數(shù) 時間域無限窄，頻率域無限寬 D、矩形脈沖信號 -和周期方波傅氏級數(shù)的關(guān)系E、 傅里葉變換對偶性 sa函數(shù) sinc函數(shù) 2、 連續(xù)時間傅里葉級數(shù)性質(zhì) 1、線性 2、時移 3、時間與頻率的尺度變換 推論 物理現(xiàn)象解釋：磁帶快放，音調(diào)高？ 時域與頻域的相反關(guān)系： 增加周期，頻率下降 頻帶w寬，時間持續(xù)短 4、共軛及共軛對稱性 推論：對于實函數(shù)x(t)， 的實部和模是的偶函數(shù)；虛部和相位是的奇函數(shù)。 x(t)實偶，則 也為實偶；x(t)為實奇，則 為虛奇。實函數(shù)x(t)的偶部對應 的實部； 奇部對應于 的虛部。 5、微分與積分 6、對偶性 時間函數(shù)有某些特性對應頻域的某些特性 時域存在對偶的

8、特性頻率函數(shù)有同樣的特性 頻域微分 頻移 頻域積分7、 帕斯瓦爾定理 時域能量=頻域能量，稱為x(t)的能譜密度 3、 卷積性質(zhì) 即h(t)的傅立葉變換，稱為LTI系統(tǒng)的頻率響應 可在頻域控制輸入的傅立葉變換復振幅的變化 稱為系統(tǒng)的增益 稱為系統(tǒng)的相移 幅度和相位的改變-失真LTI系統(tǒng)存在頻率響應的條件：若一個LTI系統(tǒng)是物理上或?qū)嶋H上有意義的，且是穩(wěn)定的，那么其一定存在頻率響應可利用 方便的定義某些系統(tǒng)，如濾波器等4、 相乘性質(zhì) 應用：幅度調(diào)制 s(t)調(diào)制p(t)的振幅五、周期信號的傅里葉變換引入沖激函數(shù),則傅氏變換收斂范圍擴大至非絕對可積,又非平方可積的無限持續(xù)期內(nèi)的信號-周期信號 設(shè)周

9、期信號x(t)可表示為:=即周期信號的傅里葉變換為出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù),面積為2ak 6、 由線性常系數(shù)微分方程表征的LTI系統(tǒng) 第五章1、 頻率響應的模和相位表示 稱為系統(tǒng)的增益 稱為系統(tǒng)的相移改變輸入信號中各分量之間的相對相位關(guān)系 2、 線性與非線性相移 1、線性相移 線性相位 結(jié)論: 線性相移輸出為輸入的時移，斜率-時移 2、非線性相移【307頁例子】 3、群時延 A、 將延時概念推廣到非線性相位特性的情況： 設(shè)LTI系統(tǒng)的輸入為一個帶限信號 ， 的中心頻率為 若 的頻帶足夠小，則該系統(tǒng)的相位特性在此頻帶內(nèi)可用線性關(guān)系表示： 因此有： B、該系統(tǒng)對于 的影響： 幅度乘以

10、 相位：乘以恒定項 和線性相移項 稱為在 的群時延 C、物理意義：以為 中心頻帶內(nèi)的公共延時 3、 波特圖 傅里葉變換(或頻率響應)的表示方法： 波特圖（僅對連續(xù)信號） 橫坐標頻率取對數(shù)： 模取分貝（dB）： 相位不變 實信號變換模是的偶函數(shù)，相位是的奇函數(shù)，僅畫 >0即可 好處：模：相乘關(guān)系對數(shù)相加 動態(tài)范圍大4、 理想頻率選擇性濾波器的時域特性（低通） 1、連續(xù)時間理想低通濾波器的頻率響應： 具有好的頻率特性：通常內(nèi)無衰減 阻帶內(nèi)全阻掉 無相位失真（零相位） 若線性相位 將引入時延 對應單位沖激響應 2、時域特性的特點： 的主瓣寬度反比于 階躍響應有超量（9%）,且有振蕩 階躍響應上

11、升時間= ，反比于帶寬 升時間反映系統(tǒng)對信號的響應時間；要求時域有陡峭的上升沿和下降沿，則要求濾 波器寬帶寬 非因果的 非理想 5、 相乘性質(zhì)的應用 1、幅度調(diào)制與解調(diào) A、正弦幅度調(diào)制： s(t)調(diào)制p(t)的振幅 s(t)調(diào)制信號，含信息； p(t)載波信號 已知調(diào)制信號s(t)的頻譜 而 如圖，R（j）是S（j）移位加權(quán)，而S（j）原有信息全部保留。B、2、正弦幅度調(diào)制的解調(diào)（同步解調(diào)）：設(shè)調(diào)制后的信號為令 ，其中 再通過低通濾波器 則可恢復 （除幅度差異 ） 六、帶有可變中心頻率的帶通濾波器 欲使帶通的中心頻率可調(diào)，直接改變元件值（電容、電阻、運放）難度很大 辦法：正弦/復指數(shù)調(diào)制頻譜

12、搬移正弦調(diào)制時，可使實的輸入產(chǎn)生實的輸出 七、采樣 等時間間隔采樣連續(xù)時間信號 樣本（離散時間信號） 恢復 條件：采樣定理1、 采樣（抽樣）信號的頻譜 采樣：利用采樣脈沖序列 從連續(xù)信號中“抽取”一系列的離散樣值，稱為“采樣 （抽樣）信號”，記為 通常做均勻采樣等時間間隔采樣，即 為周期信號， 為采樣周期， 為采樣頻率 其中 以采樣頻率 為間隔周期重復，加權(quán)pk-傅氏級數(shù)2、沖激串采樣 采樣函數(shù) 為周期沖激串，周期T為采樣周期， 的頻率 稱為采樣頻率 時域：頻域 ： 是 的周期函數(shù)，是 的移位疊加，幅度變?yōu)楫?時，移位的 之間無重疊。因而當 時，可用一個低通濾波器從 中得到 ，從而無失真的恢復

13、 。該低通濾波器的參數(shù)：增益T，截止頻率 而< 當 時（圖d），即 ， 的移位將發(fā)生重疊，因而無法無失真的恢復3、采樣定理 采樣：設(shè) 為一帶限信號，當 時， 0。如果 ， 其中 ，那么 就能唯一地由其樣本 ，n0，±1，±2所確 定。 重建 的方法：產(chǎn)生一周期沖激串，周期為T，沖激幅度為各樣本值；將該沖激 串通過一個增益為T，截止頻率> 而< 的理想低通濾波器，輸出為 奈奎斯特頻率： （無失真采樣要求的最小頻率） 奈奎斯特間隔： （無失真采樣要求的最大間隔）4、 零階保持采樣 沖激串采樣得到的采樣信號近似于沖激信號-寬度窄，幅度大。產(chǎn)生和傳輸這樣的信號都很

14、困難，因此引入零階保持采樣對 瞬時采樣，并保持這一樣本值直至下一個樣本被采樣為止。 實現(xiàn)原理： 沖激串采樣 具有矩形單位沖激響應的LTI系統(tǒng)：為從 重建 ，加入LTI系統(tǒng) ，將采樣與重建過程級聯(lián)，若希望 則應使 與 級聯(lián)的特性相當于理想低通濾波器由于 不可實現(xiàn)， 也不可真正實現(xiàn)。5、利用內(nèi)插由樣本重建新號 （1）、內(nèi)插：用一連續(xù)信號對一組樣本值進行擬合。 利用內(nèi)插可由樣本值來重建原連續(xù)信號近似或完全準確 簡單的內(nèi)插: A零階保持 B線性內(nèi)插 （2）、 復雜的內(nèi)插: 由采樣定理,若對帶限信號的采樣足夠密,就能由理想低通濾波器無失真地恢復信號 從時域看,即利用低通濾波器實現(xiàn)無失真內(nèi)插 重建信號 內(nèi)插公 （時移的內(nèi)插函數(shù)的加權(quán)和） （3）、理想低通 利用理想低通濾波器的內(nèi)插稱為帶限內(nèi)插可以真正重建，但內(nèi)插函數(shù)太復雜 0tT 其它 (4 )、零階保持內(nèi)插的內(nèi)插函數(shù) 其它 非理想低通 輸出不連接續(xù) （5）、線性內(nèi)插的內(nèi)插函數(shù) 輸出連續(xù)但是一階導數(shù)不連續(xù)，也稱一階保持 同理可采