任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 知識點與題型歸納

1、 1 高考明方向高考明方向 1.1.了解了解任意角的概念任意角的概念 2.了解了解弧度制的概念弧度制的概念，能進(jìn)行，能進(jìn)行弧度與角度的互化弧度與角度的互化 3.理解理解任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定義的定義. 備考知考情備考知考情 1.1.三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等相結(jié)合，三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等相結(jié)合， 考查三角函數(shù)求值考查三角函數(shù)求值問題問題 2.2.三角函數(shù)的定義與向量等知識相結(jié)合，三角函數(shù)的定義與向量等知識相結(jié)合， 考查三角函數(shù)定義考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用的應(yīng)用 3.主要主要以選擇題、填空題為主，屬中低檔題以選擇題、填空題為主，屬中低檔

2、題. 一、知識梳理一、知識梳理名師一號名師一號P P4747 知識點一知識點一 角的角的概念概念 (1)分類分類 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角正角、負(fù)角負(fù)角、零角零角.按終邊位置不同分為按終邊位置不同分為象限角象限角和和軸線角軸線角. (2)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角：所有與角 終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合 S|k 360 ，kZ. 名師一號名師一號P P47 47 對點自測對點自測 1 1、2 2 2 注意：注意： 1 1、 名師一號名師一號P P48 48 問題探究問題探究 問題問題 1 1、2 2 相等的角終邊相同

3、，終邊相同的角也一定相等嗎？相等的角終邊相同，終邊相同的角也一定相等嗎？ 相等的角終邊一定相同相等的角終邊一定相同， 但終邊相同的角卻不一定相但終邊相同的角卻不一定相等等， 終邊相同的角有無數(shù)個， 它們之間， 終邊相同的角有無數(shù)個， 它們之間相差相差 360 的整數(shù)倍的整數(shù)倍 角的表示形式是唯一的嗎？角的表示形式是唯一的嗎？ 角的集合的表示形式不是唯一的角的集合的表示形式不是唯一的，如：終邊在，如：終邊在 y 軸的軸的負(fù)半軸上的角的集合可以表示為負(fù)半軸上的角的集合可以表示為x|xk 360 90 ，kZ，也可以表示為，也可以表示為x|xk 360 270 ，kZ ( (補充補充) ) 2 2、

4、正角正角 零角零角 負(fù)角負(fù)角 3、下列概念應(yīng)注意區(qū)分下列概念應(yīng)注意區(qū)分 小于小于 90 的角；銳角；第一象限的角；的角；銳角；第一象限的角；0 90 的角的角 4 4、(1)(1)終邊落在坐標(biāo)軸上的角終邊落在坐標(biāo)軸上的角 1 1）終邊落在）終邊落在 x 軸非負(fù)半軸上的角軸非負(fù)半軸上的角 x|x2k，kZ 2 2）終邊落在）終邊落在 x 軸非正半軸上的角軸非正半軸上的角 x|x2k+，kZ 終邊落在終邊落在 x 軸上的角軸上的角 x|xk，kZ 3 3）終邊落在）終邊落在 y 軸非負(fù)半軸上的角軸非負(fù)半軸上的角 x|x2k+2，kZ 4 4）終邊落在）終邊落在 y 軸非正半軸上的角軸非正半軸上的角

5、 x|x2k+32，kZ 3 終邊落在終邊落在 y 軸上的角軸上的角 x|xk+2，kZ (2)(2) 象限角象限角 （自己課后完成）（自己課后完成） 知識點二知識點二 弧度的定義和公式弧度的定義和公式 (1)定義：長度等于定義：長度等于半徑長半徑長的弧所對的圓心角的弧所對的圓心角 叫做叫做 1 弧度的角，弧度記作弧度的角，弧度記作 rad. (2)公式：公式：弧度與角度的換算：弧度與角度的換算： 360 2 弧度；弧度；180 弧度；弧度； 弧弧長公式：長公式：l|r； 扇形面積公式：扇形面積公式：S扇形扇形12lr 和和12|r2. 關(guān)鍵：關(guān)鍵：基本公式基本公式180rad 名師一號名師一

6、號P47 P47 對點自測對點自測 3 3 注意：注意： 1 1、 名師一號名師一號P48 P48 問題探究問題探究 問題問題 3 3 在角的表示中角度制和弧度制能不能混合應(yīng)用在角的表示中角度制和弧度制能不能混合應(yīng)用？ 不能不能在同一個式子中，采用的度量制度是一致的在同一個式子中，采用的度量制度是一致的， 不可混用不可混用 2 2、弧長公式與扇形面積公式、弧長公式與扇形面積公式 （扇形的圓心角為（扇形的圓心角為弧度弧度，半徑為，半徑為r） 4 弧長公式弧長公式|lr 扇形面積公式扇形面積公式12Slr ( (補充補充) )（將扇形視為曲邊三角形，記（將扇形視為曲邊三角形，記l為底，為底，r為高

7、）為高） 知識點三知識點三 任意角的三角任意角的三角函數(shù)函數(shù) (1)定義：定義：設(shè)設(shè) 是一個任意角，它的是一個任意角，它的終邊與單位圓交終邊與單位圓交于點于點 P(x，y)，則，則 sin ，cos ，tan (x0) ( (補充補充) ) 1 1、廣義的三角函數(shù)定義廣義的三角函數(shù)定義 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義讓角讓角的頂點與原點的頂點與原點O O重合，始邊與重合，始邊與x x軸的軸的非負(fù)半軸重合，在角非負(fù)半軸重合，在角的終邊上任取一點的終邊上任取一點 ，則，則角角的三角函數(shù)值如下：的三角函數(shù)值如下：220OrPrxy22sinyyrxy22cosxxrxytan0yxx特別地，當(dāng)特別地，

8、當(dāng)時時221OPrxysinycosxtan0yxx 2 2、各象限角的三角函數(shù)值符號規(guī)律：各象限角的三角函數(shù)值符號規(guī)律： ( (補充補充) )關(guān)鍵：關(guān)鍵：立足定義立足定義 正弦一二正，正弦一二正，橫為零橫為零 余弦一四正，余弦一四正，縱為零縱為零 5 正切一三正，正切一三正，橫為零，縱不存在橫為零，縱不存在 3 3、特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值（自己課后完成）（自己課后完成） 知識點三知識點三 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) (2)幾何表示：幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦線的起點都在示正弦線的起點都在 x 軸上，余弦線的起點

9、都是原點，軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是正切線的起點都是(1,0) 如圖中有向線段如圖中有向線段 MP，OM，AT 分別叫做角分別叫做角 的的 正弦線，余弦線和正切線正弦線，余弦線和正切線 名師一號名師一號P47 P47 對點自測對點自測 6 6 注意：注意： 名師一號名師一號P48 P48 問題探究問題探究 問題問題 4 4 如何利用三角函數(shù)線解不等式如何利用三角函數(shù)線解不等式 及比較三角函數(shù)值的大??？及比較三角函數(shù)值的大??？ (1)先找到先找到“正值正值”區(qū)間，即區(qū)間，即 02 間滿足條件的范圍，間滿足條件的范圍，然后再加上周期然后再加上周期 (2)先作出角，再作出相應(yīng)的三角

10、函數(shù)線，最后進(jìn)行比較先作出角，再作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，最后進(jìn)行比較 6 大小，應(yīng)注意三角函數(shù)線的有向性大小，應(yīng)注意三角函數(shù)線的有向性 也可以利用相應(yīng)圖象求解也可以利用相應(yīng)圖象求解 二、二、例題分析：例題分析： （一一) ) 角的表示及象限角的判定角的表示及象限角的判定 例例 1 1. .名師一號名師一號P P48 48 高頻考點高頻考點 例例 1 1 (1)寫出終邊在直線寫出終邊在直線 y 3x 上的角的集合；上的角的集合； (2)已知已知 是第三象限角，求是第三象限角，求2所在的象限所在的象限 【思維啟迪】【思維啟迪】 (1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解

11、(2)把把 寫成集合的形式，從而寫成集合的形式，從而2的集合形式也確定的集合形式也確定 解：解：(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時，角的集合為當(dāng)角的終邊在第一象限時，角的集合為 |2k3，kZ， 當(dāng)角的終邊在第當(dāng)角的終邊在第三象限時，角的集合為三象限時，角的集合為 |2k43，kZ， 故所求角的集合為故所求角的集合為 |2k3，kZ|2k43，kZ 7 |k3，kZ (2)2k2k32(kZ)， k22k34(kZ) 當(dāng)當(dāng) k2n(nZ)時，時，2n222n34， 2是第二象限角，是第二象限角， 當(dāng)當(dāng) k2n1(nZ)時，時，2n3222n74， 2是第四象限角，是第四象限角， 綜上知，當(dāng)綜上知，當(dāng)

12、 是第三象限角時，是第三象限角時， 2是第二或第四象限角是第二或第四象限角 注意注意: 名師一號名師一號P P48 48 高頻考點高頻考點 例例 1 1 規(guī)律方法規(guī)律方法 (1)若要若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為是先將角化為 2k(02)(kZ)的形式的形式， 然后再根據(jù)， 然后再根據(jù) 所在的象限予以判斷所在的象限予以判斷 (2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角角，方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合，然，方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)后

13、通過對集合中的參數(shù) k 賦值來求得所需角賦值來求得所需角 8 （二二) ) 弧度制的定義和公式弧度制的定義和公式 例例 1 1. .名師一號名師一號P P48 48 高頻考點高頻考點 例例 2 2 (1)已知扇形周長為已知扇形周長為 10，面積是，面積是 4，求扇形的圓心角，求扇形的圓心角 (2)已知扇形周長為已知扇形周長為 40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時， 才使扇形面積最大？才使扇形面積最大？ 解：解：(1)設(shè)圓心角是設(shè)圓心角是 ，半徑是，半徑是 r， 則則 2rr1012 r24 r1，8(舍舍)， r4，12 故扇形圓心角為故扇形圓心角為12. (2)設(shè)圓心

14、角是設(shè)圓心角是 ，半徑是，半徑是 r，則，則 2rr40. S12 r212r(402r)r(20r) (r10)2100100， 當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng) r10 時，時，Smax100，2. 所以當(dāng)所以當(dāng) r10，2 時，扇形面積最大時，扇形面積最大 名師一號名師一號P47 P47 對點自測對點自測 4 4 注意：注意： 名師一號名師一號P48 高頻考點高頻考點 例例 2 規(guī)律方法規(guī)律方法 9 1.弧度制下弧度制下 l| r，S12lr，此時，此時 為弧度為弧度 在角度制下在角度制下，弧長，弧長 lnr180，扇形面積，扇形面積 Snr2360， 此時此時 n 為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系為角度

15、，它們之間有著必然的聯(lián)系 2在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理 應(yīng)用圓心角所在的三角形應(yīng)用圓心角所在的三角形 （三三) ) 三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的定義及應(yīng)用應(yīng)用 例例 1 1. .名師一號名師一號P P48 48 高頻考點高頻考點 例例 3 3 (1)已知角已知角 的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為 x 軸的正半軸，軸的正半軸，若若 P(4，y)是角是角 終邊上一點，且終邊上一點，且 sin2 55， 則則 y_. 解：解：(1)r x2y216y2，且，且 sin2 55， 所以所以 sinyry16y22 55， 所以所以 為第四

16、象限角，解得為第四象限角，解得 y8. 名師一名師一號號P P47 47 對點自測對點自測 5 5 (3)(2015 日照模擬日照模擬)已知點已知點 P(sincos，2cos)位于第三象位于第三象限，則角限，則角 是第是第_象限角象限角 10 解：解：(3)因為點因為點 P(sincos，2cos)位于第三象限，位于第三象限， 所以所以 sincos0,2cos0，cos0， 所以所以 為第二象限角為第二象限角 (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一單位圓的圓心中，一單位圓的圓心的初始位置在的初始位置在(0,1)，此時圓上一點，此時圓上一點 P 的位置在的位置在(

17、0,0)，圓在，圓在x 軸軸上沿正向滾動當(dāng)圓滾動到圓心位于上沿正向滾動當(dāng)圓滾動到圓心位于(2,1)時，時，OP的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為_ 解：解： (2)如圖，連接如圖，連接 AP，分別過，分別過 P，A 作作 PC， AB 垂直垂直 x 軸于軸于 C，B 點，過點，過 A 作作 ADPC 于于 D 點，點， 由題意知由題意知 BP 的長為的長為 2. 11 圓的半徑為圓的半徑為 1，BAP2. 故故DAP22. DPAP sin 22cos2. PC1cos2，DAAPcos 22sin2. OC2sin2，故，故OP(2sin2,1cos2) 注意：注意： 名師一號名師一號P48 高頻考點高頻考點

18、 例例 2 規(guī)律方法規(guī)律方法 1.利用定義求三角函數(shù)值利用定義求三角函數(shù)值在利用三角函數(shù)的定義求在利用三角函數(shù)的定義求角角 的三角函數(shù)值時， 若角的三角函數(shù)值時， 若角 終邊上點的坐標(biāo)是以參數(shù)的終邊上點的坐標(biāo)是以參數(shù)的形式給出的， 則要形式給出的， 則要根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)根據(jù)問題的實際及解題的需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論行分類討論 任意角的三角函數(shù)值僅與角任意角的三角函數(shù)值僅與角 的終邊位置有的終邊位置有關(guān)，而與角關(guān)，而與角 終邊上點終邊上點 P 的位置無關(guān)的位置無關(guān) 2三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷已知一角已知一角的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值(sin，

19、cos，tan)中任意兩個的符號，可中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置， 二者的交集即為該角分別確定出角終邊所在的可能位置， 二者的交集即為該角的終邊位置，的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況 3與向量等問題形成的交匯問題，抓住問題的實質(zhì)，與向量等問題形成的交匯問題，抓住問題的實質(zhì)，尋找相應(yīng)的角度，然后通過解三角形求得解尋找相應(yīng)的角度，然后通過解三角形求得解 12 練習(xí)：練習(xí)： 若一個角若一個角 的終邊的終邊在直線在直線3 yx上，上， 求求310sincos 的值。的值。 答案：答案：0 0 注意：注意：立足定義是根本！立足定義是根本！ 三角函

20、數(shù)的定義是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)的定義是三角函數(shù)的基礎(chǔ)， 由三角函數(shù)的定義可得同角三角函數(shù)的基本關(guān)系由三角函數(shù)的定義可得同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 及及各象限角的三角函數(shù)值符號等。各象限角的三角函數(shù)值符號等。 利用利用三角函數(shù)的定義解題時應(yīng)三角函數(shù)的定義解題時應(yīng) 先確定點的坐標(biāo)及點的位置。先確定點的坐標(biāo)及點的位置。 （四）（四）以三角函數(shù)的定義為載體的創(chuàng)新問題以三角函數(shù)的定義為載體的創(chuàng)新問題 名師一號名師一號P49 特色專題特色專題 三角函數(shù)的概念是考查三角函數(shù)的重要工具三角函數(shù)的概念是考查三角函數(shù)的重要工具， 在高考， 在高考命題中很少單獨考查，但常結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識、三命題中很少單獨考查

21、，但常結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識、三角恒等變換和向量等知識綜合考查，涉及的知識點較多，角恒等變換和向量等知識綜合考查，涉及的知識點較多，且難度不大且難度不大 13 【典例】典例】 如圖所示，質(zhì)點如圖所示，質(zhì)點 P 在半徑為在半徑為 2 的圓周上逆時針運動，其初始位置為的圓周上逆時針運動，其初始位置為 P0( 2， 2)，角速度為，角速度為 1，那么點，那么點 P 到到 x 軸的距離軸的距離 d 關(guān)于時間關(guān)于時間 t 的函數(shù)的函數(shù) 圖象大致為圖象大致為( ) A B C D 【規(guī)【規(guī)范解答】范解答】 用用 t 表示出表示出 OP 與與 x 軸正方向所成的軸正方向所成的角，然后利用三角函數(shù)的定義得到角，然后利用三角函數(shù)的定義得到 d 的函數(shù)表達(dá)式即可的函數(shù)表達(dá)式即可 P0( 2， 2)，P0Ox4. 按逆時針轉(zhuǎn)時間按逆時針轉(zhuǎn)時間 t 后，得后，得POP0t，POxt4. 由三角函數(shù)定義，知點由三角函數(shù)定義，知點 P 的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為 2sin t4. 因此因此 d2 sin t4. 14 令令 t0，則，則 d2 sin 4 2，當(dāng)，當(dāng) t4時，時，d0， 故選故選 C. 【名師點評】【名師點評】 解決