不定方程及整數(shù)解

1、智康教育www.ndluij Rcom好學(xué)者智，善思者康400-810-26805-2-4不定方程及整數(shù)解題庫學(xué)生版page 8 of 6不定方程及整數(shù)解:1'h!-中考要求內(nèi)容基本要求略咼要求較咼要求例題精講我們曾經(jīng)學(xué)過一元一次方程，例如2x -5，解這個方程可得 x = 一4 .如果未知數(shù)的個數(shù)不只一個，而是二個或更多個，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如x y =4就是一個二元一次方程.這個方程有無數(shù)多組解.比如xT， x = 4， x =6.5等.Jy =3y = 8Jy - -2.5這類未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）初中范圍內(nèi)通常

2、只討論這類方程（組）的正整數(shù)解或整數(shù)解.不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數(shù)解或解的個數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的 方法，求出全部整數(shù)解.（1）不定方程解的判定如果方程的兩端對同一個模m（常數(shù)）不同余，顯然,這個方程必?zé)o整數(shù)解.而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩種，因而可以在奇偶分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無整數(shù)解（2）不定方程的解法不定方程沒有統(tǒng)一的解法，常用的特殊方法有：配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余 數(shù)分析法.對方程進行適當(dāng)?shù)淖冃?，并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路 定理1 ：若二元一次不定方程 ax by二c，整數(shù)a和b的最大公約

3、數(shù)不能整除 c，則方程沒有整數(shù)解.定理2:若整數(shù)a, b互質(zhì)，則方程ax by =1有整數(shù)解，同時方程 ax，by二c也有整數(shù)解若x0, y0是方程 ax by =1的一個整數(shù)解，則 ex。， cy°是方程ax - by =c的一個整數(shù)解.定理3 :整系數(shù)方程ax by = a, b有整數(shù)解.定理2和定理3都是“裴蜀定理”的內(nèi)容定理4:如果x二人是滿足整系數(shù)方程 ax by =c的一組整數(shù)解，則x二人，bu （其中口為任意整數(shù)）也是ly=y°ly = y°au滿足上式的整數(shù)解.這表明，滿足方程的整數(shù)解有無窮組，并且在ab 0時，可選擇x為正（負）數(shù)，此時 y為相應(yīng)

4、的為負（正）數(shù).這個結(jié)論可以通過把這組解直接代入已知方程進行證明.x =4 5ky =1_4k由這個定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數(shù)解，就可以得到它的全部整數(shù)解.f x 二 4 例如，方程4x，5y=21的一組解為，則此方程的所有整數(shù)解可表示為：）=1板塊一 不定方程的整數(shù)解【例1】求方程11x15y =7的整數(shù)解.【鞏固】求37x 107y =25的整數(shù)解.【鞏固】求方程的整數(shù)解：72x - 157y =1 ;103x _90y =5 .9【例2】求7x 19213的所有正整數(shù)解.Jr 【鞏固】求方程5x 3y =22的所有正整數(shù)解.J【鞏固】求6x 22y =90的非負整數(shù)解.f

5、 X* f【例3】求2x 3y 734的整數(shù)解.【鞏固】求9x - 24y _5z =1000的整數(shù)解.f *，【例4】5x 亠7y 亠9z =52求方程組的正整數(shù)解.、3x +5y +7z=36【例5】求不定方程2(x yxy 7的整數(shù)解.【例6】求方程x y =x -xy y2的整數(shù)解.【例7】 第35屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）滿足聯(lián)立方程ab 亠 be 二 44ac bc =23的正整數(shù)（a,b,c）的組數(shù)是（).(A) 0(B) 1(C) 2( D) 3(E) 4【例8】（第33屆美國數(shù)學(xué)競賽題）滿足方程（A）0 （ B）1（C） 2（D）無限個x2亠y2 =x3的正整數(shù)對（x, y）的個

6、數(shù)是E）上述結(jié)論都不對【例9】 求不定方程 mn nr mr =2 m n r的正整數(shù)解 m, n, r的組數(shù).【例10】求方程x2 4xy - 5y2 =169的整數(shù)解.【例11】（原民主德國1982年中學(xué)生競賽題）已知兩個自然數(shù)b和c及素數(shù)a滿足方程a2bc2.證明：這時有a : b 及 b 1 = c.> t I I “、板塊二 證明不定方程無整數(shù)解【例12】下列不定方程(組)A. 3x 15y =02x -3y =4 C.y 2z=3中，沒有整數(shù)解的是（D.x 2y 3z =12xy 2z =3B. 9x - 11y =1【例13】證明方程2x2 _5y2 =7無整數(shù)解.【例14

7、】（第14屆美國數(shù)學(xué)邀請賽題）不存在整數(shù)x,y使方程x23xy_2y2=122成立。【例15】求證：方程xx yy =zz uu沒有各不相同的正整數(shù)解.板塊三不定方程的應(yīng)用【例16】某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貸款，有多少種不同的方法?【例17】大約1500年以前，我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在他編寫的張丘建算經(jīng)里，曾經(jīng)提出并解決了百錢買百雞”這個有名的數(shù)學(xué)問題：今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只.用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？【例18】小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分.小明共套10次, 每次

8、都套中了，每個小玩具都至少被套中一次.小明套10次共得61分，問：小雞至少被套中幾次？【例19】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例20】今有濃度為5%、8%、9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為 60克、60克、47克.現(xiàn)要配制成濃度為7% 的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？【例21】甲、乙兩個糧庫原來各存有整數(shù)袋的糧食如果從甲庫調(diào)90袋到乙?guī)?，則乙?guī)齑婕Z是甲庫的2倍;如果從乙?guī)煺{(diào)若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓?倍問甲庫原來最少存糧多少袋？【例22】有一種體育競賽

9、共含 M個項目，有運動員A、B、C參加，在每個項目中，第一、二、三名分別得pi、 P2、P3分，其中Pi、P2、P3為正整數(shù)且Pl> P2> P3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米 賽中取得第一求 M的值，并問在跳高中誰取得第二名？【例23】有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，購買一把價值為18元的雨傘，不同的付款方式共有（）A. 1種B. 2種C.3種D.4種【例24】旅游團一行50人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天 30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了 20間客房，問三種 客房各住幾間？怎樣消費最低？【例25】把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，那么，共有 只猴子，共有 顆花生.【例26】試證明存在自然數(shù)a，使得21a的后三位數(shù)字是241 .【例27】某自然數(shù)與13的和是5的倍數(shù)，并且與13的差是6的倍數(shù)，求這樣的自然數(shù)中最小的3個.