2010年江蘇高考數(shù)學試題(含答案詳解

1、2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學全解全析數(shù)學試題注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）。本卷滿分160分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，請將本卷和答題卡一并交回。2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與您本人是否相符。4.請在答題卡上按照晤順序在對應的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效。作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆。請注意字體工整，筆跡清楚。5.

2、如需作圖，須用2b鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。6.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。參考公式：錐體的體積公式: v錐體=sh，其中s是錐體的底面積，h是高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應的位置上.1、設集合a=-1,1,3，b=a+2,a2+4,ab=3，則實數(shù)a=_.解析 考查集合的運算推理。3b, a+2=3, a=1.2、設復數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_.解析 考查復數(shù)運算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i與3+2 i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只

3、白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知識。4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_根在棉花纖維的長度小于20mm。解析考查頻率分布直方圖的知識。100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、設函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xr)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=_解析考查函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=1。6、在平面直角坐標系

4、xoy中，雙曲線上一點m，點m的橫坐標是3，則m到雙曲線右焦點的距離是_解析考查雙曲線的定義。，為點m到右準線的距離，=2，mf=4。7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出s的值是_解析考查流程圖理解。輸出。8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得，所以。9、在平面直角坐標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_解析考查圓與直線的位置關系。 圓半徑為2，圓心（0，

5、0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為p，過點p作pp1x軸于點p1，直線pp1與y=sinx的圖像交于點p2,則線段p1p2的長為_。解析 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段p1p2的長即為sinx的值，且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得sinx=。線段p1p2的長為11、已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_。解析 考查分段函數(shù)的單調(diào)性。12、設實數(shù)x,y滿足38，49，則的最大值是 。解析 考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。，的最大值是27。13、在銳角三角形abc，

6、a、b、c的對邊分別為a、b、c，則=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角a、b和邊a、b具有輪換性。當a=b或a=b時滿足題意，此時有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則s的最小值是_。解析 考查函數(shù)中的建模應用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，s的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當時，s的最小值是。二、解

7、答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15、（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xoy中，點a(1,2)、b(2,3)、c(2,1)。(1) 求以線段ab、ac為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設實數(shù)t滿足()·=0，求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14分。（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為d，兩條對角線的交點為e，則:e為b、c的中點，e（0，1）又e（0，1）為a、d的中點，所以d（1，4） 故

8、所求的兩條對角線的長分別為bc=、ad=；（2）由題設知：=(2,1)，。由()·=0，得：，從而所以?；蛘撸?，16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求證：pcbc；(2) 求點a到平面pbc的距離。解析 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。（1）證明：因為pd平面abcd，bc平面abcd，所以pdbc。由bcd=900，得cdbc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc平面pcd。因為pc

9、平面pcd，故pcbc。（2）（方法一）分別取ab、pc的中點e、f，連de、df，則：易證decb，de平面pbc，點d、e到平面pbc的距離相等。又點a到平面pbc的距離等于e到平面pbc的距離的2倍。由（1）知：bc平面pcd，所以平面pbc平面pcd于pc，因為pd=dc，pf=fc，所以dfpc，所以df平面pbc于f。易知df=，故點a到平面pbc的距離等于。（方法二）體積法：連結(jié)ac。設點a到平面pbc的距離為h。因為abdc，bcd=900，所以abc=900。從而ab=2，bc=1，得的面積。由pd平面abcd及pd=1，得三棱錐p-abc的體積。因為pd平面abcd，dc平

10、面abcd，所以pddc。又pd=dc=1，所以。由pcbc，bc=1，得的面積。由，得，故點a到平面pbc的距離等于。17、（本小題滿分14分）某興趣小組測量電視塔ae的高度h(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿bc的高度h=4m，仰角abe=，ade=。(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出h的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？解析 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。（1），同理：，。

11、adab=db，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度h是124m。（2）由題設知，得，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，-最大。故所求的是m。18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為a、b，右焦點為f。設過點t（）的直線ta、tb與橢圓分別交于點m、，其中m>0,。（1）設動點p滿足,求點p的軌跡；（2）設，求點t的坐標；（3）設,求證：直線mn必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識。考查運算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設點p（x，y），則：f（

12、2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點p的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：m（2，）、n（，）直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點t的坐標為。（3）點t的坐標為直線mta方程為：，即，直線ntb 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當時，直線mn方程為： 令，解得：。此時必過點d（1，0）；當時，直線mn方程為：，與x軸交點為d（1，0）。所以直線mn必過x軸上的一定點d（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線mn的方程為，過點d（1，0）。若，則，直線md的斜率，直線nd的斜

13、率，得，所以直線mn過d點。因此，直線mn必過軸上的點（1，0）。19、（本小題滿分16分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；（2）設為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡，得：，當時，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對滿足題設的，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當時

14、，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。20、（本小題滿分16分）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)時，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時

15、在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設。當時，于

16、是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設不符。當時，同理可得，進而得|，與題設不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。數(shù)學（附加題）21.選做題本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。a 選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）ab是圓o的直徑，d為圓o上一點，過d作圓o的切線交ab延長線于點c，若da=dc，求證：ab=2bc。解析 本題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)od，則：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， do

17、c=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）證明：連結(jié)od、bd。因為ab是圓o的直徑，所以adb=900，ab=2 ob。因為dc 是圓o的切線，所以cdo=900。又因為da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，從而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。b 選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xoy中，已知點a(0,0)，b(-2,0)，c(-2,1)。設k為非零實數(shù)，矩陣m=,n=，點a、b、c在矩陣mn對應的變換下得到點分別為a1、b1、

18、c1，a1b1c1的面積是abc面積的2倍，求k的值。解析 本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設得由，可知a1（0，0）、b1（0，-2）、c1（，-2）。計算得abc面積的面積是1，a1b1c1的面積是，則由題設知：。所以k的值為2或-2。c 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切，求實數(shù)a的值。解析 本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解：，圓=2cos的普通方程為：，直線3cos+4sin+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，

19、所以解得：，或。d 選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）設a、b是非負實數(shù)，求證：。解析 本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。（方法一）證明：因為實數(shù)a、b0，所以上式0。即有。（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得當時，從而，得；當時，從而，得；所以。必做題第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22、 （本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立。（1） 記x（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求x的分布列；（2） 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。解析 本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設知，x的可能取值為10，5，2，-3，且 p（x=10）=0.8×0.9=0