《數(shù)學模型》試卷

1、一：填空題1.“商人怎樣安全過河”模型中狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律是。(允許決策模型)1、 2、“公平的席位分配”模型中的q值法計算公式是。3、“存貯模型”的平均每天的存貯費用計算公式為，當時，最小。5、一階自治微分方程的平衡點是指滿足 的點，若 成立，則其平衡點是穩(wěn)定的。6、市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型中，只有當 < 時，平衡點 才是穩(wěn)定的。7、“傳染病模型”中sis模型是指被傳染者康復以后，還有可能再次感染該傳染病。9、我們所建立的“人口指數(shù)增長”模型是根據(jù)微分方程 建立的。我們所建立的“人口阻滯增長”模型是根據(jù)微分方程 建立的。10、“商人怎樣安全過河”模型中，從初始狀態(tài)到終止狀態(tài)中的每一步?jīng)Q策

2、都是集合d中的元素 。11、建立起的“錄像機計數(shù)器的用途”模型中的參數(shù)和可用 數(shù)值積分 方法求得。12、“雙層玻璃的功效”模型中，建筑規(guī)范一般要求雙層玻璃的間隙約為玻璃厚度的1/2 ?！半p層玻璃的功效”模型中，按建筑規(guī)范實施的雙層玻璃可節(jié)能 97 %。13、“傳染病模型”中所未涉及的模型是sis模型. 15、“人口阻滯增長”模型是在“指數(shù)增長模型”的前提下， 假設人口增長率是人口數(shù)量的減函數(shù) 。16、“人口阻滯增長”模型中，當人口數(shù)時，人口增長率最大；當人口數(shù)時，人口增長率為0。17、“錄像帶計數(shù)器的讀數(shù)”多種方法建立的模型都是。“錄像機計數(shù)器的用途”模型中，計數(shù)器的讀數(shù) 的增長速度越來越慢

3、。18、“雙層玻璃的功效”模型中，所依據(jù)的基本物理公式是。19、“經(jīng)濟增長模型”中，衡量經(jīng)濟增長的指標有 總產(chǎn)值的增長 、 單位勞動力產(chǎn)值的增長 。 “經(jīng)濟增長模型”中，要保持總產(chǎn)值增長，即要求。 20、“傳染病模型”中sir模型是指被傳染者康復以后具有免疫性, 不再感染該傳染病。21. 存貯模型的優(yōu)化目標是 平均每天費用最小。22.“經(jīng)濟增長模型”中，要保持平均每個勞動力的產(chǎn)值增長，即要求 勞動力的增長率小于初始投資增長率。23.“層次分析模型”中成比對矩陣如果滿足如下 式，則稱為一致陣。 二：概念題1、 一般情況下，建立數(shù)學模型要經(jīng)過哪些步驟？（5分）答：數(shù)學建模的一般步驟包括：模型準備、

4、模型假設、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用。2、學習數(shù)學建模應注意培養(yǎng)哪幾個能力？(5分) 答：觀察力、聯(lián)想力、洞察力、計算機應用能力。3、人工神經(jīng)網(wǎng)絡方法有什么特點？(5分) 答：（1）可處理非線性；（2）并行結(jié)構(gòu)；（3）具有學習和記憶能力；（4）對數(shù)據(jù)的可容性大；（5）神經(jīng)網(wǎng)絡可以用大規(guī)模集成電路來實現(xiàn)。三：問答題 1、請用簡練的語言全面的描述數(shù)學建模的過程和數(shù)學模型的特點。(10) 答：（1）建模過程：模型準備模型假設模型構(gòu)成模型求解模型檢驗模型應用。 （2）數(shù)學模型的特點：逼真性和可行性；漸進性；強健性；可轉(zhuǎn)移性；非預制性；條理性；技藝性；局限性；2、某家具廠生產(chǎn)桌子和

5、椅子兩種家具，桌子售價50元/個，椅子銷售價格30元/個，生產(chǎn)桌子和椅子要求需要木工和油漆工兩種工種。生產(chǎn)一個桌子需要木工4小時，油漆工2小時。生產(chǎn)一個椅子需要木工3小時，油漆工1小時。該廠每個月可用木工工時為120小時，油漆工工時為50小時。問該廠如何組織生產(chǎn)才能使每月的銷售收入最大？（建立模型不計算）(10)解：（1）確定決策變量：x1=生產(chǎn)桌子的數(shù)量x2=生產(chǎn)椅子的數(shù)量 4分（2）確定目標函數(shù)：家具廠的目標是銷售收入最大max z=50x1+30x2（3）確定約束條件：4x1+3x2<120（木工工時限制）2x1+x2>50（油漆工工時限制）（4）建立的數(shù)學模型為：max s

6、=50x1+30x2s.t. 4x1+3x2<1202x1+ x2>50x1, x2 >03、有四個工人，要分別指派他們完成四項不同的工作，每人做各項工作所消耗的時間如下表所示，問應如何指派工作，才能使總的消耗時間為最少？（建立模型不計算）(10)解：令目標函數(shù)：約束條件：4、結(jié)合自身的實際情況，談談數(shù)學建模的方法和自身能力的培訓。(10) 答：（1）方法：機理分析、測試分析、實例研究 ； （2）能力：想象力、洞察力 。5、試用簡練的語言全面的描述“商人怎樣安全過河”該類問題。(10) 答：求決策，使狀態(tài)按照轉(zhuǎn)移律，則初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達狀態(tài)。6、分別采用三種方法，用一句話和

7、一個公式描述錄像帶計數(shù)器讀數(shù)與經(jīng)過的時間之間的關系模型。(10) 答：（1）當右輪盤轉(zhuǎn)到第圈時其半徑為，周長為，圈的總長度恰等于錄像帶轉(zhuǎn)過的長度，即：； （2）考慮錄像帶轉(zhuǎn)過的長度與厚度的乘積，等于右輪盤面積的增加，即：； （3）考慮用微積分的理論，有某小時間段內(nèi)錄像帶轉(zhuǎn)過的長度為速度乘以，它等于右輪盤繞上的錄像帶長度（由于），即：；以上三種方法都可得到：。7、簡述差分方程平衡點的穩(wěn)定性定義、三階線性常系數(shù)差分方程平穩(wěn)點穩(wěn)定性的判別條件和非線性差分方程平穩(wěn)點的穩(wěn)定性判別條件。(10)答：（1）差分方程的平衡點若滿足：當時，則稱平衡點是穩(wěn)定的。（2）若三階線性常系數(shù)差分方程的特征方程的根均有，則

8、該差分方程的平衡點是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。（3）非線性差分方程的平衡點若滿足，則平衡點是穩(wěn)定的；否則若，則平衡點是不穩(wěn)定的。 8：某中學有三個年級共1000名學生，一年級有219人，二年級316人，三年級有465人?，F(xiàn)要選20名校級優(yōu)秀學生，請用下列辦法分配各年級的優(yōu)秀學生名額：（1）按比例加慣例的方法;（2）q 值法。另外如果校級優(yōu)秀學生名額增加到21個，重新進行分配，并按照席位分配的理想化準則分析分配結(jié)果。解：20個席位：（1）、，因此比例加慣例分配結(jié)果為5、6、9個。（2）三方先分得4、6、9個，2398.05，2377.522402.5，最大，按值法分配結(jié)果為4、6、10個。 。8分

9、21個席位：（1），因此比例加慣例分配結(jié)果為4、7、10個。（2）三方先分得4、6、10個， 195.68，最大，按值法分配結(jié)果為5、6、10個。 。16分顯然此例中比例加慣例的方法違背了席位分配的理想化準則1，而值法分配結(jié)果恰好也滿足準則2，因此值法分配結(jié)果是同時符合準則1和準則2.。 。20分9：大學生畢業(yè)生小李為選擇就業(yè)崗位建立了層次分析模型，影響就業(yè)的因素考慮了收入情況、發(fā)展空間、社會聲譽三個方面，有三個就業(yè)崗位可供選擇。層次結(jié)構(gòu)圖如圖，已知準則層對目標層的成對比較矩陣，方案層對準則層的成對比較矩陣分別為，。請根據(jù)層次分析方法為小李確定最佳的工作崗位。 選擇發(fā)展就業(yè)崗位收入發(fā)展聲譽崗位

10、1崗位2崗位3解：用“和法”近似計算得：矩陣對應的權(quán)向量為：，最大特征根為3.003697，矩陣對應的權(quán)向量為：，最大特征根為3.001982，矩陣對應的權(quán)向量為：，最大特征根為3.00703，矩陣對應的權(quán)向量為：，最大特征根為3.00922，。12分組合權(quán)向量為因此最佳的崗位為崗位3。 。16分10：某保險公司欲開發(fā)一種人壽保險，投保人需要每年繳納一定數(shù)的額保險費，如果投保人某年未按時繳納保費則視為保險合同終止（退保）。 保險公司需要對投保人的健康、疾病、死亡和退保的情況作出評估，從而制定合適的投保金額和理賠金額。各種狀態(tài)間相互轉(zhuǎn)移的情況和概率如圖。試建立馬氏鏈模型分析在投保人投保

11、時分別為健康或疾病狀態(tài)下，平均需要經(jīng)過多少年投保人就會出現(xiàn)退?；蛩劳龅那闆r，以及出現(xiàn)每種情況的概率各是多少？退保健康死亡疾病0.150.050.10.070.030.6 解：由題意，轉(zhuǎn)移概率矩陣為，從而知狀態(tài)“退保”和“死亡”為兩個吸收狀態(tài)，此為吸收鏈。 。6分= =，因此在投保時健康或疾病狀態(tài)下，平均需要經(jīng)過或6年投保人就會出現(xiàn)退?；蛩劳龅那闆r。 。12分=，因此在投保時健康狀態(tài)下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分別為0.72和0.28；在投保時疾病狀態(tài)下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分別為0.66和0.34。 四：模型求證題1、 某人早8:00從山下旅店出發(fā),沿一條路徑上山,下午5:00

12、到達山頂并留宿.次日早8:00沿同一路徑下山,下午5:00回到旅店.證明:這人必在2天中同一時刻經(jīng)過路途中某一地點(15分)證明:記出發(fā)時刻為t=a,到達目的時刻為t=b,從旅店到山頂?shù)穆烦虨閟.設某人上山路徑的運動方程為f(t), 下山運動方程為g(t),t是一天內(nèi)時刻變量，則f(t),g(t)在a,b是連續(xù)函數(shù)。作輔助函數(shù)f(t)=f(t)-g(t),它也是連續(xù)的，則由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知f（a）<0, f(b)>0,由介值定理知存在t0屬于(a,b)使f(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。2、三名商人各帶一個隨從乘船

13、過河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行，隨從們秘約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中，商人們怎樣才能安全渡河呢？(15分)解:模型構(gòu)成: 記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為，隨從數(shù)為，k=1，2,.，=0，1，2，3。將二維向量=（，）定義為狀態(tài)。安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記做s。s= （3分）記第k次渡船上的商人數(shù)為隨從數(shù)為將二維向量=（，）定義為決策。允許決策集合記作d，由小船的容量可知d= （3分）狀態(tài)隨的變化規(guī)律是： = + （3分）模型求解 用圖解法解這個模型更為方便，如下：（6分）五：計算題（共5小題，每小題9分

14、，本大題共45分）1、試用和法求出a的最大特征值，并做一致性檢驗（n=3時， ri=0.58）。答： 中各列歸一化 ,各行求和 = 2分 而，（1分）所以最大特征根為 2分其一致性指標為：ci=2分cr=, 所以a不通過一致性檢驗。 2分2、 一塊土地，若從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可收100元，若將土地租給某乙用于工業(yè)生產(chǎn)，可收200元。若租給某丙開發(fā)旅游業(yè)可收300元。當丙請乙參與經(jīng)營時，收入達400元，為促成最高收入的實現(xiàn)，試用shapley值方法分配各人的所得。(9分)答：甲、乙、丙所得應為250元，50元，100元(步驟略)3、產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r, 每次生產(chǎn)準備費用為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費用為

15、c2, 缺貨損失費為c3，試作一合理假設，建立允許缺貸的存貯模型，求生產(chǎn)周期及產(chǎn)量使總費用最小。（9分）解:模型假設:1.產(chǎn)品每天需求量為常數(shù)r 2.每次生產(chǎn)準備費用為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費用為c2 3.生產(chǎn)能力無限大 ，缺貨損失費為c3 ，當t=t1時產(chǎn)品已用完 4.生產(chǎn)周期為t，產(chǎn)量為q (2分)模型建立:一周期總費用如下: 一周期平均費用為 (2分)模型求解: 用微分法解得周期 (1分)產(chǎn)量 (1分)5設漁場魚量滿足下列方程：（9分）(1)討論魚場魚量方程的平衡點穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量解:令，的最大值點為 （2分）當時,無平衡點 （1分）當時,有兩個平衡點和,經(jīng)過判斷x1不

16、穩(wěn)定,x2穩(wěn)定 （2分）當時,平衡點,由不能判斷它穩(wěn)定性 （2分）(2)為了獲得最大持續(xù)產(chǎn)量,應使且盡量接近,但操作困難 （2分）六：建模題（共2小題，每小題10分，本大題共20分）1考慮藥物在體內(nèi)的分布與排除之二室模型即：把整個機體分為中心室與周邊室兩室，兩室之間的血藥相互轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移速率與該室的血藥濃度成正比，且只有中心室與體外有藥物交換，藥物向體外排除的速率與該室的血藥濃度成正比，試建立兩室血藥濃度與時間的關系。（不必求解）解：假設、和分別表示第室的血藥濃度，藥量和容積，是兩室之間藥物轉(zhuǎn)移速率系數(shù)，是從中心室（第1室）向體外排除的速率系數(shù) 3分則（1） 6分（其中是給藥速率） 及于是： 4

17、分2、某工廠擬安排生產(chǎn)計劃，已知一桶原料可加工10小時后生產(chǎn)a產(chǎn)品2公斤，a產(chǎn)品可獲利30元/公斤 ，或加工8小時可生產(chǎn)b產(chǎn)品3公斤，b產(chǎn)品可獲利18元/公斤，或加工6小時可生產(chǎn)c產(chǎn)品4公斤，c產(chǎn)品可獲利12元/公斤，現(xiàn)每天可供加工的原料為60桶，加工工時至多為460小時，且a產(chǎn)品至多只能生產(chǎn)58公斤。為獲取最大利潤，問每應如何安排生產(chǎn)計劃？請建立相應的線性規(guī)劃模型（不必求解,10分）。答：設每天安排x1桶原料生產(chǎn)a產(chǎn)品，x2桶原料生產(chǎn)b產(chǎn)品，x3桶原料生產(chǎn)c產(chǎn)品，則有： 七（1）：簡答題（本題滿分16分，每小題8分）1、在錄像機計數(shù)器的用途中，仔細推算一下（1）式，寫出與（2）式的差別，并解

18、釋這個差別；1、 答：由（1）得， 。4分將代入得， 。6分因為所以，則得（2）。 。8分2、試說明在不允許缺貨的存儲模型中為什么沒有考慮生產(chǎn)費用，在什么條件下可以不考慮它；2、答：假設每件產(chǎn)品的生產(chǎn)費用為，則平均每天的生產(chǎn)費用為，每天的平均費用是 ， 。4分下面求使最小，發(fā)現(xiàn)，所以 ，與生產(chǎn)費用無關，所以不考慮。 。8分七（2）：簡答題（本題滿分16分，每小題8分） 1、對于傳染病的sir模型，敘述當時的變化情況 并加以證明。 1、答：由（14）若，當時，增加; 。4分當時，達到最大值；當時，減少且由1.知 。8分2、在捕魚業(yè)的持續(xù)收獲的效益模型中，若單位捕撈強度的費用為捕撈強度的減函