十字相乘法分解因式（精編版）

1、十字相乘法分解因式同學(xué)們都知道， 型的二次三項式是分解因式中的常見題型，那么此類多項式該如何分解呢？觀察 =，可知 =。這就是說，對于二次三項式，如果常數(shù)項b 可以分解為p、q 的積，并且有p+q=a，那么=。這就是分解因式的十字相乘法。下面舉例具體說明怎樣進(jìn)展分解因式。例 1、因式分解。分析：因為7x+(-8x) =-x解：原式 =x+7 x-8 例 2、因式分解。分析：因為-2x+ -8x =-10x解：原式 =x-2 x-8 例 3、因式分解。分析：該題雖然二次項系數(shù)不為1，但也可以用十字相乘法進(jìn)展因式分解。因為9y+10y=19y解：原式 =2y+3 3y+5例 4、因式分解。分析：因

2、為21x + (-18x)=3x解：原式 =2x+3 7x-9 例 5、因式分解。分析：該題可以將x+2 看作一個整體來進(jìn)展因式分解。因為-25 x+2+-4(x+2)= -29x+2解：原式 =2 x+2-55x+2 -2= 2x-1 5x+8例 6、因式分解。分析：該題可以先將看作一個整體進(jìn)展十字相乘法分解，接著再套用一次十字相乘。因為-2+-12=-14a+(-2a)=-a3a+ -4a =-a解：原式 =-2 -12=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)從上面幾個例子可以看出十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家一定要熟練掌握。 但要注意， 并不是所有的二次三項式都能進(jìn)展

3、因式分解，如在實數(shù)圍就不能再進(jìn)一步因式分解了因式分解的一點補充十字相乘法5 / 5九中尤啟平教學(xué)目標(biāo)21使學(xué)生掌握運用十字相乘法把某些形如ax +bx+c 的二次三項式因式分解；2進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和思維的敏捷性。教學(xué)重點和難點重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數(shù)不是1 的二次三項式因式分解。難點：靈活運用十字相乘法因分解式。教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入新課前一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了關(guān)于x2+p+qx+pq 這類二次三項式的因式分解，這類式子的特點是：二次項系數(shù)為1，常數(shù)項是兩個數(shù)之積，一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和。2因此，我們得到x +p+qx+pq=x+p (x+q).課前練習(xí) ：以下各式因

4、式分解221- x+2 x+152 x+y -8 x+y+48；42223x-7x +18；4 x -5xy+6y。答： 1- x+3 x-5 ；2 x+y-12 x+y+4 ；3 x+3 x-3 x 2+2；4 x-2y x-3y 。2我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了把形如x +px+q 的某些二次三項式因式分解，也學(xué)習(xí)了通過設(shè)輔助元的2方法把能轉(zhuǎn)化為形如x +px+q 型的某些多項式因式分解。2對于二次項系數(shù)不是1 的二次三項式如何因式分解呢？這節(jié)課就來討論這個問題，即把某些形如ax +bx+c 的二次三項式因式分解。二、新課2例 1把 2x -7x+3 因式分解。分析： 先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字穿插

5、線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字穿插線的右上角和右下角，然后穿插相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)。分解二次項系數(shù)只取正因數(shù)：2=1× 2=2× 1；-7 。分解常數(shù)項：3=1× 3=3× 1=-3 × -1 =-1 × -3 。用畫十字穿插線方法表示以下四種情況：11131-11-32 × 32× 12× -32× -11× 3+2× 11× 1+2× 31×-3 +2×-1 1×-1 +2×-3 =

6、5=7= -5=-7經(jīng)過觀察， 第四種情況是正確有。這是因為穿插相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)2解2x-7x+3= x-3 2x-1 。一般地， 對于二次三項式ax2+bx+ca0，如果二次項系數(shù)a 可以分解成兩個因數(shù)之積，即 a=a1a2，常數(shù)項c 可以分解成兩個因數(shù)之積，即c=c 1c2，把 a1， a2， c 1， c 2 排列如下：a1c1a2× c2a1c 2 + a 2c12122按斜線穿插相乘，再相加，得到a1c2+a2c 1，假設(shè)它正好等于二次三項式ax +bx+c 的一次項系數(shù) b，即 a1c2+a2c 1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1 與

7、 a2x+c2 之積，即1ax2 +bx+c=a x+c a x+c 。像這種借助開十字穿插線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。2例 2把 6x -7x-5分解因式。分析：按照例1 的方法，分解二次項系數(shù)6 與常數(shù)項 -5 ，把它們分別排列，可有8 種不同的排列方法，其中的一種213× -52× -5 +3× 1=-7是正確的，因此原多項式可以用直字相乘法分解因式。2解 6x-7x-5= 2x+1 3x-5 。指出： 通過例 1 和例 2 可以看到， 運用十字相乘法把一個二次項系數(shù)不是1 的二次三項式因式分解，往往要經(jīng)過屢次觀察

8、，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。對于二次項系數(shù)是1 的二次三項式， 也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何2把常數(shù)項分解因數(shù)。例如把x +2x-15 分解因式，十字相乘法是1-31×51×5+1× -3 =22所以 x +2x-15= x-3 x+5 。22例 3把 5x +6xy-8y分解因式。2分析： 這個多項式可以看作是關(guān)于x 的二次三項式，把-8y看作常數(shù)項， 在分解二次項與常數(shù)項系數(shù)時，只需分解5 與-8 ，用十字穿插線分解后，經(jīng)過觀察，選取適宜的一組，即125× -4221× -4 +5× 2=6解5x+6x

9、y-8y=x+2y 5x-4y 。指出：原式分解為兩個關(guān)于x， y 的一次式。例 4把 x-y 2x-2y-3 -2 分解因式。分析： 這個多項式是兩個因式之積與另一個因數(shù)之差的形式，只有先化簡， 進(jìn)展多項式的乘法運算，把變形后的多項式再因式分解。問：兩個乘積的式子有什么特點，用什么方法進(jìn)展多項式的乘法運算最簡便？答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變?yōu)?2 x-y ，它是第一個因式的二倍，然后把 x-y 看作一個整體進(jìn)展乘法運算，可把原多項式變形為關(guān)于x-y 的二次三項式，就可以用址字相乘法分解因式了。解x-y 2x-2y-3 -2=x-y 2x-y -3 -21-2=2 x-y 2

10、-3 x-y -22× +1= x-y -2 2x-y +11× 1+2× -2 =-3=x-y-2 2x-2y+1 。指出：把 x-y 看作一個整體進(jìn)展因式分解，這又是運用了數(shù)學(xué)中的“整體思想方法。三、課堂練習(xí)1. 用十字相乘法因式分解：22212x -5x-12 ；2 3x -5x-2 ；3 6x-13x+5 ；22247x-19x-6 ；5 12x -13x+3 ；6 4x+24x+27。2. 把以下各式因式分解：22216x -13x+6y；28x y22+6xy-35 ；222318x -21xy+5y；42 a+b +a+b a-b -6 a-b 。答

11、案： 1 1 x-4 2x+3；2 x-2 3x+1；3 2x-1 3x-5 ；4 x-3 7x+2；5 3x-1 4x-3 ；6 2x+3 2x+9。2 1 2x-3y 3x-2y ；2 2xy+5 4xy-7 ；3 3x-y 6x-5y ；4 3a-b 5b-a 。四、小結(jié)1用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c 的二次三項式分解因式時，應(yīng)注意以下問題：1正確的十字相乘必須滿足以下條件： a1 c1在式子中，豎向的兩個數(shù)必須滿足關(guān)系a1a2=a， c1c2=c；在上式中，斜a2c2向的兩個數(shù)必須滿足關(guān)系a1c 2+a2c1=b，分解思路為“看兩端，湊中間。2由十字相乘的圖中的四個數(shù)寫出分解

12、后的兩個一次因式時， 圖的上一行兩個數(shù)中， a1 是第一個因式中的一次項系數(shù)， c1 是常數(shù)項；在下一行的兩個數(shù)中， a2 是第二個因式中的一次項的系數(shù)， c 2 是常數(shù)項。3二次項系數(shù) a 一般都把它看作是正數(shù)如果是負(fù)數(shù)，那么應(yīng)提出負(fù)號，利用恒等變形把它轉(zhuǎn)化為正數(shù)，只需把經(jīng)分解在兩個正的因數(shù)。22形如 x +px+q 的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式。23但凡可用代換的方法轉(zhuǎn)化為二次三項式ax +bx+c 的多項式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。五、作業(yè)1. 用十字相乘法分解因式：222212x +3x+1；22y +y-6 ；36x -13x+6 ；43a -7a-6

13、；22222256x -11xy+3y；64m+8mn+3n； 710x -21xy+2y；2288m-22mn+15n 。2. 把以下各式分解因式：2222214n +4n-15 ；26a +a-35 ；35x -8x-13 ；244x +15x+9 ；515x+x-2 ；66y+19y+10；2720-9y-20y；8 7x-1 2+4x-1 y+2 -20 y+2 。2答案：1. 1 2x+1 x+1；2 y+2 2y-3 ；3 2x-3 3x-2 ；4 a-3 3a+2；5 2x-3y 3x-y ；6 2m+n 2m+3n；7 x-2y 10x-y ；8 2m-3n 4m-5n。2. 1 2n-3 2n+5；2 2a+5 3a-7 ；3 x+1 5x-13 ；4 x+3 4x+3；5 3x-1 5x+2；6 2y+5 3y+2；7- 4y+5 5y-4 ；8 x+2y+3 7x-10y-27 。課堂教學(xué)設(shè)計說明1. 為了使學(xué)生切實掌握運用十字相乘法把某些二次三項式因式分解的思路和方法，在教學(xué)設(shè)計中，先通過例1，較祥盡地講解借助畫十字穿插線分解系數(shù)的具體方法，在此根底2上再進(jìn)一步概括如何運用十字相乘法把二次三項式ax +bx+c 進(jìn)展因式分解的一般思路和方法。只有使學(xué)生掌握了十字相乘法的一般法那么，才能進(jìn)一步指導(dǎo)解決各種具體的問題，這種從特殊到一般，再從一般到特殊的