信號(hào)處理筆記

1、信號(hào)處理筆記信號(hào)處理筆記 _李旭濤目錄信號(hào)處理筆記_李旭濤1第一章：采樣與重建11.0信號(hào)處理主要過(guò)程：11.1介紹：11.2 模擬信號(hào)的回顧：11.3采樣：41.5.3實(shí)際抗混疊濾波器51.6模擬重建61.7 DSP系統(tǒng)的基本組成部分8第二章：量化82.1 量化處理8第三章、離散系統(tǒng)101、離散時(shí)間傅里葉變換：102、信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的特性之間對(duì)應(yīng)關(guān)系：11第四章、數(shù)字譜分析12一、數(shù)字譜分析-第一講12二、數(shù)字譜分析第二講16第五章、數(shù)字濾波器25一、數(shù)字濾波器 第一講25二、數(shù)字濾波器第二講：32第一章：采樣與重建1.0信號(hào)處理主要過(guò)程1）模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)；2）對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)

2、行采樣；3）信號(hào)重建；4）數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成部分。模擬濾波器（fs>2fm,低通濾波器，用于帶限）采樣&（A/D）(采樣，量化)X(t)DSP處器Y（t）模擬濾波器（后處理濾波器，使時(shí)域平滑）D/A(階梯重建)1.1介紹1） A/D轉(zhuǎn)換：采樣（一般都只討論等間隔抽樣）；量化（用有限字長(zhǎng)的數(shù)字量逼近模擬量的過(guò)程）； 編碼（將已經(jīng)量化的數(shù)變成二進(jìn)制數(shù)碼）；2） DSP3） 重新轉(zhuǎn)化為模擬量（重建）1.2 模擬信號(hào)的回顧*模擬角頻率用表示。*傅里葉變換和拉普拉斯變換的不同：傅里葉：S=j x(t) （在j軸上的拉斯變換）拉普拉斯：S=+je-tx(t) （衰減因子要保證絕對(duì)可積

3、）PS：*傅里葉變換是將連續(xù)的時(shí)間域信號(hào)轉(zhuǎn)變到頻率域；它可以說(shuō)是拉普拉斯變換的特例，l拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，存在條件比傅里葉變換要寬，是將連續(xù)的時(shí)間域信號(hào)變換到復(fù)頻率域（整個(gè)復(fù)平面，而傅里葉變換此時(shí)可看成僅在j軸）；z變換則是連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣之后的離散信號(hào)的拉普拉斯變換，再令z=esT時(shí)的變換結(jié)果（T為采樣周期），所對(duì)應(yīng)的域?yàn)閿?shù)字復(fù)頻率域，此時(shí)數(shù)字頻率=T。*信號(hào)與系統(tǒng)最基本的信號(hào):單位沖激信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)*時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域的相乘, 時(shí)域相乘對(duì)應(yīng)頻域的卷積的1/2。*一個(gè)重疊信號(hào)通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)：*從頻譜看沒(méi)有改變頻率成分，只是改變幅度和相位。*脈沖序列的傅里葉變換：P（t）=n

4、=-（t-T）*采樣采用脈沖序列卷積x(t)*(t-T)=x(t-T),實(shí)現(xiàn)頻譜的搬移1.3采樣*模數(shù)編碼過(guò)程：*模擬信號(hào)脈幅調(diào)制（采樣） 量化編碼 （雙極性和單極性）1.3.1經(jīng)典采樣定理：fs>=2fmax ；*首先對(duì)時(shí)域進(jìn)行時(shí)限，在頻域?qū)崿F(xiàn)周期性延拓，要保證頻譜搬移后不能混疊，即信號(hào)可以恢復(fù)，則需滿足fs>=2fmax。 *Nyquist區(qū)間-fs/2，fs/2*采樣頻率越低，采樣點(diǎn)越多，信號(hào)保存的越好，但是采樣頻率主要有兩個(gè)限制：a.采樣頻率越高，系統(tǒng)本振頻率越高,對(duì)硬件的要求越高，成本越高；b.采樣頻率越高，高頻干擾越大。1.3.2 理想抗混疊濾波（門函數(shù)）原因：多數(shù)信號(hào)

5、為非帶限信號(hào)，因此需要在采樣之前對(duì)信號(hào)進(jìn)行低通濾波。條件：fmax <= fs/2；理想低通濾波：為非因果系統(tǒng)，物理不可實(shí)現(xiàn)； 1.5.3實(shí)際抗混疊濾波器1）系統(tǒng)對(duì)應(yīng)得單位沖激響應(yīng)為一個(gè)因果信號(hào)（sinc函數(shù)）2）濾除了f>fc的高頻分量（fc為信號(hào)頻率，限制了帶寬，目的是抗混疊）3）阻帶fstop = fs（采樣頻率）-fpass（截止頻率）；4）均衡濾波：其中：系統(tǒng)頻率響應(yīng)：濾波器衰減倍數(shù)：A(f)=-20log10|H（f）/H（f0）|，其中f0為中心頻率。如下圖：0就是中心頻率f0*抗混疊濾波器一般是指低通濾波器*物理可實(shí)現(xiàn)的抗混疊濾波器都是包括三個(gè)帶的（截止帶stop，

6、通帶pass，過(guò)渡帶transition）1.6模擬重建實(shí)現(xiàn)數(shù)模轉(zhuǎn)換（D/A）階梯重建 階梯重建系統(tǒng)函數(shù)h（t）：從時(shí)域看：從頻域： *階梯保持濾波器：輸入數(shù)字信號(hào)，輸出模擬信號(hào)*時(shí)限信號(hào)經(jīng)過(guò)傅里葉變換之后的信號(hào)不是帶限信號(hào)，另外，帶限信號(hào)是指頻率有限的信號(hào)，帶限的說(shuō)法是對(duì)于傅里葉變換后的結(jié)果所說(shuō)的。*時(shí)限信號(hào)一定不帶限，帶限信號(hào)一定不時(shí)限。1.6.1理想重建采樣用盡了所有的點(diǎn)。理想重建濾波信號(hào)H（f）：時(shí)域?yàn)橐籹inc函數(shù)。 1.6.2階梯重建：采用的信號(hào)：信號(hào)對(duì)應(yīng)頻域:1.6.3抗虛影濾波器（anti-image）濾波效果：濾波器為低通濾波器，作用是使信號(hào)在時(shí)域變得更加平滑；同樣需要進(jìn)行均

7、衡濾波。1.7 DSP系統(tǒng)的基本組成部分一個(gè)低通模擬濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)行帶限，使采樣的時(shí)候信號(hào)頻率落在Nyquist區(qū)間；進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，采樣&量化；數(shù)字信號(hào)處理器；D/A轉(zhuǎn)換，進(jìn)行階梯重建，然后一個(gè)均衡數(shù)字濾波器進(jìn)行均衡濾波；由一個(gè)低通濾波器（抗虛影）來(lái)完成信號(hào)階梯重建的最后處理，除去一些在采樣過(guò)程中產(chǎn)生的高頻成分，使信號(hào)在時(shí)域表現(xiàn)更加平滑。第二章：量化2.1 量化處理1)量化過(guò)程：模擬信號(hào)抽樣 保持 量化與編碼 量化寬度：Q=R/ R為量化范圍，B為量化的位數(shù)。2B有限字長(zhǎng)，故會(huì)產(chǎn)生有限字長(zhǎng)誤差2)量化方式雙極性量化：*產(chǎn)生舍入誤差單極性量化：*產(chǎn)生截尾誤差 3）量化誤差分析量化誤差

8、其中 由于均值為零，因此無(wú)法用來(lái)表征量化誤差，我們用均方根值來(lái)表征： 第三章、離散系統(tǒng)1、離散時(shí)間傅里葉變換1.1、回顧：一組對(duì)象：信號(hào)與系統(tǒng)；兩組平行：連續(xù)和離散（強(qiáng)調(diào)了定義域的不同）；兩種手段：時(shí)域和頻域（強(qiáng)調(diào)了周期與非周期，離散與連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系）1.2、CFS和DFS的區(qū)別：DFS是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)，系數(shù)ak具有周期性，這是由于自變量n為正整數(shù), 若n不是屬于0,N,也可以表示為（n0+kN），其中n00,N-1,，則明顯可知頻譜是周期的，即系數(shù)是周期的。CFS由于自變量定義域?yàn)镽，系數(shù)為非周期。1.3、離散頻率：對(duì)離散時(shí)間信號(hào)的有效頻率只有2的區(qū)間，且在w=2k處對(duì)應(yīng)最低頻率，在w=2k

9、+對(duì)應(yīng)最高頻率。1.4、非周期離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換：、前式表明離散時(shí)間序列可以分解為頻率在2區(qū)間上分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。1.5、周期信號(hào)的傅里葉變換2、信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的特性之間對(duì)應(yīng)關(guān)系：時(shí)域的周期性對(duì)應(yīng)頻域的離散性；時(shí)域的非周期性對(duì)應(yīng)頻域的連續(xù)性；時(shí)域的離散性對(duì)應(yīng)頻域的周期性；時(shí)域的連續(xù)性對(duì)應(yīng)頻域的非周期性。*時(shí)間和頻率的對(duì)偶性關(guān)系： *乘積和卷積的關(guān)系：常用來(lái)簡(jiǎn)化卷積和乘積的計(jì)算*抽樣與延拓的對(duì)偶性關(guān)系：（本段由谷歌得來(lái)） *信號(hào)的穩(wěn)定性決定于其絕對(duì)可積第四章、數(shù)字譜分析一、數(shù)字譜分析-第一講1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)1） 強(qiáng)調(diào)區(qū)別在于定義域；2） 采樣周期

10、Ts=1/fs，采樣角頻率ws=2fs.3） t=nT；4） 采樣過(guò)程：（時(shí)域的卷積造成頻域的周期性延拓）采樣后的信號(hào)和原始信號(hào)之間滿足：經(jīng)量化離散化后有： （仍是一個(gè)模擬信號(hào)）Nyquist采樣定理：若xa（t）是一個(gè)帶限信號(hào)（一般為非帶限，要進(jìn)行預(yù)濾波），其最高頻率為 ，那么只要采樣的頻率 就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)無(wú)失真的恢復(fù)。2.離散信號(hào)的譜分析2.1無(wú)法計(jì)算一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)序列的原因： 無(wú)限長(zhǎng)，實(shí)際計(jì)算不可能；角頻率w為連續(xù)量。要能夠由部分信號(hào)樣本來(lái)計(jì)算DTFT，便產(chǎn)生窗口傅里葉變換（有限長(zhǎng)序列的DTFT）：2.2窗截產(chǎn)生的影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。以上只解決了將離散時(shí)

11、間信號(hào)截取為有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)，但w還是一個(gè)連續(xù)量，因此有必要對(duì)頻率w進(jìn)行采樣，離散傅立葉變換（DFT）由此產(chǎn)生。離散傅立葉變換DFT：設(shè)是 一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的有限長(zhǎng)序列， 的N點(diǎn)DFT：反變換：1） w在周期2內(nèi)作N點(diǎn)的采樣，采樣間隔為1/N；2） N對(duì)DFT的影響：N越大頻域采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)越多，但不是越多越好。3） L是窗的長(zhǎng)度，L>=2/w如何解決兩個(gè)問(wèn)題：1）提高物理分辨率；2）在頻域采樣產(chǎn)生的頻率損失如何解決。3模擬頻率與數(shù)字頻率：3.1數(shù)字頻率和模擬頻率關(guān)系：連續(xù)時(shí)間信號(hào) 通過(guò)采樣轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào) 后，對(duì)應(yīng)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的模擬角頻率 和對(duì)應(yīng)于離散時(shí)間信號(hào)數(shù)字角頻率 之間滿足關(guān)系（

12、推斷：t=nT，連續(xù)=2/NT，對(duì)應(yīng)離散=2/N，因此=T。）由上式可知：令則有無(wú)量綱（對(duì)應(yīng)數(shù)字化），范圍-1/2,1/2(有采樣定理fs>=2fd可得) 因此，數(shù)字頻率實(shí)際上是模擬頻率和采樣頻率的比值。*模擬頻率f：每秒經(jīng)歷多少個(gè)周期，單位Hz，即1/s；模擬角頻率：每秒經(jīng)歷多少弧度，單位rad/s；數(shù)字頻率w：每個(gè)采樣點(diǎn)間隔之間的弧度，單位rad*時(shí)域上離散化可能會(huì)造成頻域上的混疊，同理，頻域上的離散化也可能會(huì)造成時(shí)域上的混疊。*窗口傅里葉變換會(huì)造成的影響：降低物理分辨率和造成頻率的泄漏*窗函數(shù)是有限長(zhǎng)序列，其頻率分量是離散的，頻率有限長(zhǎng)。3.2問(wèn)題數(shù)字頻率fd取值可為0,1之間的有

13、理數(shù)，很多時(shí)候不是整數(shù)，用它來(lái)表示一個(gè)數(shù)字頻率太麻煩，能否用另外的一個(gè)量值來(lái)表示？=2/N*k，又有=2fd，則有fd=k/N，因此可以用k來(lái)表征頻率fd，k的取值范圍為1,N-1.3.3總結(jié)1時(shí)間上：連續(xù)t-離散nT； 2頻率上：模擬-數(shù)字，角頻率=fs，fa=fd*fs4.物理分辨率與計(jì)算分辨率1） 物理分辨率： （與窗長(zhǎng)有關(guān)，L越大越好，分辨率越高，但是計(jì)算復(fù)雜，成本越高）物理分辨率在頻域表現(xiàn)的性質(zhì)，主要是主瓣寬度。2） 計(jì)算分辨率： 增大N可以顯著提高計(jì)算分辨率3）*處理第一步：窗口截取，帶來(lái)的分辨率問(wèn)題是物理分辨率；第二步頻率離散化帶來(lái)的分辨率問(wèn)題是計(jì)算分辨率問(wèn)題*非矩形窗：好處：抑

14、制了高頻分量； 壞處：主瓣增大，降低了頻率分辨率。補(bǔ)充：1. 2.（xn的波浪線表示周期性）*窗口傅里葉變換所得的頻譜圖中的主瓣寬與窗口寬度有關(guān)，越寬，主瓣越窄*時(shí)域的采樣引起頻率的周期化，頻域的采樣引起時(shí)域的周期化（這其實(shí)也是那個(gè)時(shí)域和頻域的對(duì)偶性）*時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N，N相當(dāng)于帶寬，但這個(gè)是頻域上的，故叫信號(hào)長(zhǎng)度（頻域長(zhǎng)度）5、頻域采樣定理1、若 為無(wú)限長(zhǎng)序列，采樣后必產(chǎn)生混疊；2、若 序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，當(dāng)N<L，產(chǎn)生混疊；3、若 序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)， 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NL， 其中RN(n)代表截取長(zhǎng)度為N的窗口函數(shù)。即頻域采樣后可恢復(fù)原序列，這就是頻域采樣定理。若 ，這可以由對(duì)

15、 作補(bǔ)零處理來(lái)解決 補(bǔ)零處理：當(dāng) ，補(bǔ)零的方式有兩種，分別為前補(bǔ)零和后補(bǔ)零1.后補(bǔ)零：也即在信號(hào)序列的尾部補(bǔ)上 個(gè)02.前補(bǔ)零：補(bǔ)零的方式相當(dāng)于信號(hào)延遲了D個(gè)樣本，相應(yīng)的DTFT和DFT多了一個(gè)附加的相移三種算法：DTFT：時(shí)間離散，頻率連續(xù)；DFT：時(shí)間頻率都離散，可計(jì)算和處理；FFT：DFT的優(yōu)化算法，減少計(jì)算量。二、數(shù)字譜分析第二講1.強(qiáng)調(diào)1. FFT算法的基本思想：削減計(jì)算量；2. 信號(hào)流圖的規(guī)律，（建議用c語(yǔ)言寫一下FFT算法，了解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和運(yùn)算過(guò)程）2.主要內(nèi)容1）FFT算法（DFT計(jì)算量的進(jìn)一步削減FFT算法基本思想）；2)IDFT的計(jì)算與FFT；3)DFT的循環(huán)卷積定理；4)線

16、性卷積的高效計(jì)算；（3,4為譜分析與濾波器之間搭橋）5)數(shù)字譜分析的總結(jié)3.FFT算法的基本思想3.1旋轉(zhuǎn)因子理解旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)對(duì)信號(hào)序列的分組方法，削減了DFT計(jì)算的冗余。旋轉(zhuǎn)因子(n為時(shí)間，k代表頻率)：WNkn=e(-j2)/N kn (相當(dāng)于繞單位圓一周)兩性質(zhì)：對(duì)稱性：周期性：三特點(diǎn)：依時(shí)：（體現(xiàn)了奇對(duì)稱）依頻：（體現(xiàn)了偶對(duì)稱）3.2快速傅立葉變換FFT算法1、首先要明確，在此處，快速算法的目的在于減少計(jì)算乘法的次數(shù)，因?yàn)槌朔ǖ倪\(yùn)算比加法復(fù)雜。重點(diǎn)：時(shí)域奇偶分和頻域前后分。時(shí)域抽取法基2 FFT（DIT-FFT）基本原理:若序列 的長(zhǎng)度為 ， 2、如何計(jì)算：按n的奇偶

17、分成兩個(gè)子序列：利用其三個(gè)特點(diǎn)計(jì)算可得：k=0, 1, , N-1 其中， 是序列長(zhǎng)為 的 的DFT； 是序列長(zhǎng)為 的 的DFT在前面運(yùn)算乘法次數(shù)：（N/2+N/2）*N次數(shù)并沒(méi)有減少，所以還要進(jìn)行頻域前后分?？苫癁椋河?和 及 可得：因此可得蝶形運(yùn)算公式：此時(shí)計(jì)算的乘法次數(shù)為2*（N/2）*（N/2）=N2/2,比原來(lái)少了一半。FFT：一個(gè)蝶形計(jì)算量需要1次復(fù)乘和2次復(fù)加，每級(jí)有N/2個(gè)蝶形： N/2次復(fù)乘，N次復(fù)加 M= log2N級(jí)運(yùn)算： 復(fù)乘： N/2×M= N/2×log2N； 復(fù)加： N×M N×log2N3、FFT算法特點(diǎn)：1) 每一步分解

18、都是時(shí)間奇偶分；2) N=2M點(diǎn)FFT，共分解M級(jí)，從左至右，依次為m=0,1.M-1級(jí)；3) 每級(jí)有N/2個(gè)蝶形，蝶形運(yùn)算間距：對(duì)第m級(jí)：2m；4) 同一級(jí)蝶形運(yùn)算不涉及其它點(diǎn)，可以利用同一存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)蝶形的輸入、輸出數(shù)據(jù)（要理解原位運(yùn)算，理解里面是如何迭代運(yùn)算的）；（原位運(yùn)算：相當(dāng)于所以運(yùn)算都只是用N個(gè)存儲(chǔ)單元就可以，不必每級(jí)都另外分配內(nèi)存）5) 每一級(jí)可分為若干組，每組有相同的結(jié)構(gòu)和WNP分布，第m級(jí)組數(shù)：m=0,1M-1；6) 旋轉(zhuǎn)因子WNP的分布：第m級(jí)：W2m+1p，p=0,12m-1.三個(gè)問(wèn)題：理解FFT算法如何減少旋轉(zhuǎn)因子的冗余；理解旋轉(zhuǎn)因子的對(duì)稱性和周期性，計(jì)算的時(shí)候是如何合

19、并同類項(xiàng)；體味什么叫原位運(yùn)算，理解如何迭代，如何不斷更新數(shù)值。DFT:一共n個(gè)方程，運(yùn)算量為N2。當(dāng)N=2：X0=W20x0+ W20x1;X1=W20x0+ W21x1;矩陣形式為：X1X2 =W20W20W20W21x0x1DFT乘法的次數(shù)為矩陣的面積，其中A=W20W20W20W21=AT。提問(wèn)題（5 dollars）：如何理解FFT算法的本質(zhì)1） 時(shí)間奇偶分，頻率前后分；2） 利用旋轉(zhuǎn)因子的特性：利用WNk+N/2= WNk（反對(duì)稱性）和WNk+N/2= WNk（對(duì)稱性，包括了周期性，只要再加N/2），目的：去冗余。利用依時(shí)：壓縮時(shí)間，讓時(shí)間序列由N變?yōu)镹/2；利用依頻：用頻率的對(duì)稱性

20、，將頻率點(diǎn)k的點(diǎn)數(shù)從N減為N/2。3） 上面的例子就是通過(guò)計(jì)算兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT來(lái)代替N點(diǎn)的DFT，由此減少計(jì)算量。FFT可由這樣一個(gè)式子來(lái)表征：X=Ax A代表映射矩陣，即旋轉(zhuǎn)因子從時(shí)域到頻域的映射關(guān)系，但由于它的特性，有冗余。所以FFT算法的本質(zhì)就是計(jì)算A及去冗余。對(duì)于矩陣A：WNkn其中k和n分別代表矩陣行i和列j。模N衰減：序列長(zhǎng)度L>N時(shí)，可以將L分為多個(gè)N。本質(zhì)：通過(guò)提取公因子減少一半的運(yùn)算量問(wèn)題：L>N，違法頻域采樣定理，在時(shí)域產(chǎn)生混疊。計(jì)算過(guò)程：IDFT與FFT：FFT算法可用于計(jì)算IDFT ，從而使得反變換的計(jì)算量得以大大削減。由和知兩邊再同時(shí)取共軛：此即IDF

21、T的計(jì)算方法，將其中的DFT換成FFT，就得到了IFFT，如下圖所示，IFFT相當(dāng)于FFT算法的倒序。 4.DFT的循環(huán)卷積定理4.1、引入1）時(shí)域表征一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：可以用線性常系數(shù)微分方程；離散則為線性常系數(shù)差分方程。2）為什么單位沖激能表征一個(gè)系統(tǒng)：因?yàn)槠鋵?duì)應(yīng)頻域表現(xiàn)為一個(gè)白色（全通）系統(tǒng)，沒(méi)有任何遺漏頻率。3)時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)頻域傅氏變換的相乘，求系統(tǒng)響應(yīng)有兩種方式：a. 時(shí)域直接卷積；b. 求兩傅氏變換的乘積，再求反變換。4) x（n）N求主值序列；RNn表示用窗截取N點(diǎn)。5)循環(huán)卷積也稱圓卷積。4.2循環(huán)卷積定理4.2.1時(shí)域循環(huán)卷積若有兩個(gè)信號(hào)序列 和 ，他們對(duì)應(yīng)的DFT分別為：

22、對(duì)則有：證明方式有：1直接證法，即按順序一步一步證；2,反過(guò)來(lái)證，即由結(jié)論推向條件。這里采用第二種。證明：由于 是以N為周期的周期序列，求和在任一周期內(nèi)都是一樣，所以 循環(huán)卷積的計(jì)算相當(dāng)于每次循環(huán)移位，都進(jìn)行一次相乘相加，一共進(jìn)行N次。為什么會(huì)有圓卷積？ 由于DFT 時(shí)頻都離散，于是時(shí)頻都是周期，因此產(chǎn)生了圓卷積。4.2.2、頻域循環(huán)卷積定理：和時(shí)域循環(huán)卷積相對(duì)，有頻域的循環(huán)卷積定理，若 ，則有：線性卷積的高效計(jì)算線性卷積計(jì)算方式：1. 直接計(jì)算；2.借助DFT計(jì)算。計(jì)算過(guò)程：a.若對(duì)兩個(gè)長(zhǎng)度不一致的序列 和 進(jìn)行長(zhǎng)度L的循環(huán)卷積，則首先應(yīng)對(duì) 補(bǔ)LN個(gè)0， 補(bǔ)LM個(gè)0，也就是說(shuō)將兩個(gè)序列通過(guò)補(bǔ)

23、0使其長(zhǎng)度統(tǒng)一為L(zhǎng)。b.然后將 作周期延拓，再反轉(zhuǎn)移位得到 c.依據(jù)循環(huán)卷積的定義，得到 由于 的周期延拓 ，因此上式又可以寫為： 可看出故有：意味著：5、數(shù)字譜分析圖解（圖有缺陷：應(yīng)該是頻域的采樣導(dǎo)致時(shí)域的周期延拓）6、卷積計(jì)算的重疊相加法原因：兩序列長(zhǎng)度相差較大時(shí)，若直接用DFT實(shí)現(xiàn)，則需要對(duì)短序列補(bǔ)很多的0，這不僅造成所需的儲(chǔ)量增大，而且計(jì)算量也大，使得實(shí)時(shí)處理難于實(shí)現(xiàn)目的：解決兩序列長(zhǎng)度相差較大時(shí)DFT的線性卷積實(shí)現(xiàn)問(wèn)題方式：設(shè)短序列 長(zhǎng)為N，序列 為長(zhǎng)序列（近似認(rèn)為是無(wú)限長(zhǎng)），如果將分為每段長(zhǎng)度為M的若干段，則有 線性卷積可以表示為卷積 可用借助前述的DFT方法實(shí)現(xiàn)。每個(gè)分段卷積 的

24、長(zhǎng)度為 ，不難看出相鄰段的卷積 與 必然有N-1個(gè)點(diǎn)重疊，如圖所示，這就是重疊相加法的基本原理。 7.數(shù)字譜分析總結(jié)1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)在時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系：時(shí)域：離散時(shí)間信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)在時(shí)域的采樣；頻域：離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜的周期性延拓。連續(xù)時(shí)間t是絕對(duì)時(shí)間，離散時(shí)間n是相對(duì)時(shí)間。2）模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系：數(shù)字頻率實(shí)際上是模擬頻率和采樣頻率的比值對(duì)應(yīng)角頻率：=2fs，=2/N*k （因此可以用k來(lái)表征數(shù)字角頻率）3）頻率分辨率與計(jì)算分辨率；物理分辨率：，與矩形窗的大小有關(guān)，L越大主瓣越窄，物理分辨率越好，但窗截會(huì)造成頻譜的泄漏。計(jì)算分辨率： 增大N可以顯

25、著提高計(jì)算分辨率4）DTFT，DFT同Z變換之間的關(guān)系：DFT是單位圓上的z變換；DFT是DTFT頻域上的離散化。5）旋轉(zhuǎn)因子 的性質(zhì)：共軛對(duì)稱性，周期性，奇對(duì)稱，偶對(duì)稱。6）時(shí)間抽取基2-FFT算法的基本原理：時(shí)間奇偶分，頻率前后分，原位運(yùn)算7）DFT的循環(huán)（圓）卷積性質(zhì)與線性卷積的計(jì)算老師說(shuō)的都是前面剛講的內(nèi)容8）DFT與DFT，F(xiàn)FT，IFFT之間的關(guān)系。利用旋轉(zhuǎn)因子的共軛對(duì)稱性質(zhì)可有此即IDFT的計(jì)算方法，將其中的DFT換成FFT，就得到了IFFT第五章、數(shù)字濾波器一、數(shù)字濾波器 第一講1、引入LSI（線性移不變系統(tǒng)）：離散時(shí)間的線性時(shí)不變系統(tǒng)，可由線性常系數(shù)差分方程表征，在時(shí)域由其沖

26、激響應(yīng)決定的 FTR有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)，IIR無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)，兩種基本信號(hào)：沖激信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域相乘收斂域，右邊信號(hào)為因果信號(hào)2.主要內(nèi)容數(shù)字濾波器實(shí)際上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器也就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于輸入的離散時(shí)間信號(hào)的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的討論離散時(shí)間系統(tǒng)，手段主要有兩個(gè)：1.序列的卷積時(shí)域方法；2.Z變換分析法頻域方法。二種方法統(tǒng)一于時(shí)頻對(duì)應(yīng)。3.系統(tǒng)函數(shù)/傳輸函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)（可由差分方程來(lái)描述）：進(jìn)一步單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)函數(shù)的反Z變換：注：（1）由差分方程求 ，已假定系統(tǒng)為L(zhǎng)SI；（2）因果性和穩(wěn)定性由 的收斂域決定（即，差 分方程不能唯一確定） 4.離

27、散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)意味著系統(tǒng) 時(shí)刻的輸出 ，只取決于 的輸入 ，LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為：對(duì)應(yīng)頻域：收斂域一定包含點(diǎn)。 穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)意味著系統(tǒng)對(duì)每個(gè)有界輸入，產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為： 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 的收斂域包含單位圓對(duì)于線性時(shí)不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，收斂域?yàn)椋?.離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1）相頻函數(shù)的一次求導(dǎo)為群時(shí)延。2）一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）最為重要的一個(gè)考察指標(biāo)就是其頻率響應(yīng)3）濾波器的頻率響應(yīng)包括幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)兩部分4）相頻響應(yīng)反映的是信號(hào)中各頻率成分通過(guò)系統(tǒng)后在時(shí)間上發(fā)生的位移情況5）相應(yīng)的信號(hào)失真分

28、別有幅度失真和相位失真。6）一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)，除了具有所希望的幅頻特性外，還希望具有線性相位的特性，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)無(wú)失真的傳輸具有非常重要的意義7）純粹的線性相位往往難以實(shí)現(xiàn)，對(duì)于窄帶信號(hào)，往往采用群遲延來(lái)衡量信號(hào)的相位失真。對(duì)于濾波器的設(shè)計(jì)，往往從幅頻特性和相頻特性兩個(gè)方面綜合考慮。 *分析一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也就是分析其極點(diǎn)的情況，極點(diǎn)少或沒(méi)有則系統(tǒng)穩(wěn)定性較好。*一個(gè)系統(tǒng)輸入是有限長(zhǎng)序列，輸出也是有限長(zhǎng)序列*零點(diǎn)有多少階，對(duì)應(yīng)在原點(diǎn)有多少階的極點(diǎn)，因而說(shuō)“FIR數(shù)字濾波器由于不存在極點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的”的說(shuō)法不嚴(yán)格。*連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是一個(gè)拉斯平面。*FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)因?yàn)橄辔粷M足對(duì)稱，包括關(guān)于

29、單位圓鏡像對(duì)稱，因而可知相位線性。*相位線性特性是無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件之一*頻率相移對(duì)應(yīng)于時(shí)域時(shí)移*截短和移位是FIR濾波器的設(shè)計(jì)思路，而時(shí)域的截短就是使用窗函數(shù)。*濾波器：相當(dāng)于設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，使其輸出一條曲線，而這曲線可以擬合輸入*物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器必然有過(guò)渡帶6.數(shù)字濾波器的基本概念分類：1） 有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)FIR濾波器；2）無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)IIR濾波器i. 濾波器有模擬濾波器和數(shù)字濾波器之分，模擬濾波器用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也可以用在離散時(shí)間系統(tǒng)中，比如SC(開關(guān)電容)濾波器；數(shù)字濾波器用于離散系統(tǒng)，由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種算法或裝置，從實(shí)現(xiàn)手段上看，模擬濾波器一般用電容，電感這些

30、模擬器件搭建的，數(shù)字濾波器可以通過(guò)軟件或者數(shù)字芯片來(lái)實(shí)現(xiàn)ii. 經(jīng)典的濾波器在功能上分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。其中低通濾波器是最基本的濾波器，其他的濾波器都可以由低通濾波器通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換得出iii. 頻域有幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)之分，對(duì)于幅頻響應(yīng)關(guān)注其通帶、阻帶以及過(guò)渡帶特性，對(duì)應(yīng)著濾波器主要的技術(shù)指標(biāo)。濾波器的設(shè)計(jì)就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然后實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)。7.數(shù)字濾波器的特點(diǎn)：1).實(shí)現(xiàn)的方式靈活：硬件實(shí)現(xiàn)（專用的數(shù)字硬件）、軟件實(shí)現(xiàn)（編程）及軟件、硬件結(jié)合的實(shí)現(xiàn)方式；2)精度高、穩(wěn)定性好（受環(huán)境條件，如溫度、干擾等的影響?。?)靈活性好（改變系統(tǒng)參數(shù)非常容易）易于實(shí)現(xiàn)各

31、種功能的綜合8.數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)形式:數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)的具體形式有：直接型，并聯(lián)型，級(jí)聯(lián)型和格型（Lattice）；包含著三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。直接型：直接I型和直接II型 直接I型 直接II型 從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)，將系統(tǒng)函數(shù) 分解為兩個(gè)部分（ ）： N(z)代表零點(diǎn)，D(z)代表代表極點(diǎn)。極點(diǎn)的個(gè)數(shù)總階數(shù)等于零點(diǎn)的個(gè)數(shù)總階數(shù)。級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的基本思想是對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解（有理分解），分解為若干個(gè)子系統(tǒng)的并聯(lián)和級(jí)聯(lián)級(jí)聯(lián)型：并聯(lián)型：值得注意的問(wèn)題：n 有限字長(zhǎng)效應(yīng)的存在；n 級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)具有累積誤差大的缺點(diǎn)，但是便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的極零點(diǎn)，便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)的性能，所需要的

32、存儲(chǔ)器少；n 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)子系統(tǒng)都是獨(dú)立的，不受其他子系統(tǒng)的量化誤差和舍入誤差的影響，因此對(duì)于誤差最不敏感，但是對(duì)于極零點(diǎn)的調(diào)整不易。9.濾波器的Z域極零點(diǎn)分析將系統(tǒng)函數(shù)因式分解10.FIR數(shù)字濾波器1） 特點(diǎn)：有限長(zhǎng)，全零點(diǎn)2） 形式： 沖激響應(yīng)：3） 優(yōu)點(diǎn)：易于實(shí)現(xiàn)線性相位；由于不存在極點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。拓展：（一個(gè)單一頻率的正弦信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)，假設(shè)它通過(guò)這個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間需要t，則這個(gè)信號(hào)的輸出相位落后原來(lái)信號(hào)wt的相位。從這邊可以看出，一個(gè)正弦信號(hào)通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)落后的相位等于它的w*t(w與t作卷積)；反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)頻率為w的正弦信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后，它的相位落后delta，則該信號(hào)被延

33、遲了delta/w的時(shí)間。在實(shí)際系統(tǒng)中，一個(gè)輸入信號(hào)可以分解為多個(gè)正弦信號(hào)的疊加，為了使得輸出信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相位失真，必須要求它所包含的這些正弦信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的時(shí)間是一樣的。因此每一個(gè)正弦信號(hào)的相位分別落后，w1*t，w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于頻率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于頻率w。從系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)看，就是要求它的相頻特性是一條直線。線性相位條件：即如果單位脈沖響應(yīng)h(n)（為實(shí)數(shù)）具有偶對(duì)稱或奇對(duì)稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。）4） 缺點(diǎn)：需要較長(zhǎng)的濾波器長(zhǎng)度以滿足短過(guò)渡帶的要求，造成所需的計(jì)算量較大。5）極點(diǎn)存在則存在反饋，有反饋則可實(shí)現(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)沖激

34、響應(yīng)，F(xiàn)IR無(wú)極點(diǎn)（其實(shí)是只有在零處的極點(diǎn)）因此無(wú)反饋有限長(zhǎng)。6） 系統(tǒng)有反饋就可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此分析一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要分析系統(tǒng)的極點(diǎn)。11、線性相位問(wèn)題1）FIR濾波器是全零點(diǎn)濾波器，其沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)度，容易滿足形如 的對(duì)稱的形式，因此容易獲得線性相位的特性2）FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 令，則 因此， 的零點(diǎn)也是 的零點(diǎn)，反之也然。這說(shuō)明線性相位的FIR濾波器其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓鏡像對(duì)稱分布，如圖為線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布 推論：根據(jù)z變換的零點(diǎn)關(guān)于jw軸對(duì)稱，有線性相位的特點(diǎn)，因此，F(xiàn)IR濾波器其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓鏡像對(duì)稱分布，應(yīng)該也有線性相位的特性。12、FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

35、FIR濾波器兩種設(shè)計(jì)方法-窗函數(shù)法和頻率抽樣設(shè)計(jì)法FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想：建立在近似理想濾波器頻率特性基礎(chǔ)上，近似的方法有：窗函數(shù)法；頻率采樣法；最佳一致逼近法等窗函數(shù)法：對(duì)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)序列采用截?cái)嗖⒁莆坏姆椒?，使之稱為一個(gè)因果的有限長(zhǎng)的序列，將對(duì)應(yīng)的理想系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為物理可實(shí)現(xiàn)的矩形窗：造成主瓣展寬，頻譜泄漏。 物理可實(shí)現(xiàn)有過(guò)渡帶13、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器1） 由理想的頻率響應(yīng)得到理想的 ；2） 由得到因果、有限長(zhǎng)的單位抽樣響應(yīng) ;3） 對(duì) 加窗得到較好的頻率響應(yīng)。設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：則：特點(diǎn)和解決方式：無(wú)限長(zhǎng)截短；非因果 移位；偶對(duì)稱保留即： （隱含著使用了

36、窗函數(shù)）對(duì)窗函數(shù)的要求：n 3 dB 帶寬（主瓣寬度）越小越好n 旁瓣起伏越小越好n 旁瓣衰減速度越快越好（過(guò)渡帶寬度越小越好）總結(jié)：數(shù)字濾波器FIR：有限長(zhǎng)，全零點(diǎn)；實(shí)現(xiàn)形式(三位一體)：1.線性常系數(shù)差分方程（框圖）；2系統(tǒng)函數(shù)（求階數(shù)，系數(shù)）；3單位沖激響應(yīng)。設(shè)計(jì)步驟：13.頻率采樣法（時(shí)域的設(shè)計(jì)方法）對(duì)于所要求的一個(gè)任意的頻率響應(yīng) 可以采用頻域采樣求和的方式來(lái)近似：然后對(duì)于所得到的 d 應(yīng)用前面介紹的窗函數(shù)得到最后的沖激響應(yīng)：二、數(shù)字濾波器 第二講1.回顧IIR濾波器：1) 優(yōu)點(diǎn)：全零點(diǎn)、系統(tǒng)穩(wěn)定（無(wú)極點(diǎn)）、線性相位、單流向2) 缺點(diǎn)：計(jì)算量大3) 實(shí)現(xiàn)方式：主要介紹窗函數(shù)法（截?cái)嘁莆?/p>

37、，變成因果有限長(zhǎng)，物理可實(shí)現(xiàn)的），窗截造成的影響：主瓣展寬，旁瓣泄漏4) 三位一體：線性常系數(shù)差分方程（框圖），系統(tǒng)函數(shù)，單位沖激響應(yīng)。5) 為什么說(shuō)FIR濾波器其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓呈鏡像對(duì)稱分布就滿足線性相位？因?yàn)榱泓c(diǎn)相對(duì)于單位圓呈鏡像對(duì)稱分布相當(dāng)于拉斯平面零點(diǎn)關(guān)于j對(duì)稱，由此可推斷。6) 設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器相當(dāng)設(shè)計(jì)一條曲線去擬合目標(biāo)曲線。7) 對(duì)于IIR濾波器的設(shè)計(jì)需要借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。2.引言IIR特點(diǎn)：1）極零點(diǎn)濾波器，極點(diǎn)存在說(shuō)明反饋存在，因此導(dǎo)致無(wú)限長(zhǎng)的沖激響應(yīng)，用差分方程來(lái)描述一個(gè)離散時(shí)間IIR濾波器為：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)：2）優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量相對(duì)FIR較低；易于表示成級(jí)聯(lián)的形

38、式，使得高階的濾波器能夠由低階濾波器的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。（級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的極零點(diǎn)一般便是系統(tǒng)的極零點(diǎn)，但要注意極零點(diǎn)相消的問(wèn)題）3）缺點(diǎn)：由于極點(diǎn)的存在，造成了IIR濾波器的不穩(wěn)定；較難滿足線性相位。4）IIR濾波器設(shè)計(jì)思想：借助模擬IIR濾波器設(shè)計(jì)方法，采用相互映射，首先將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模擬濾波器的設(shè)計(jì)，然后再設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。因此對(duì)于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題的討論集中于數(shù)字和模擬之間的轉(zhuǎn)換逼近方法。5）通信系統(tǒng)主要的任務(wù)是實(shí)現(xiàn)信息的無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)于系統(tǒng)相位的失真比較敏感，因此在討論IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)之前，有必要對(duì)系統(tǒng)的全通分解、最小相位系統(tǒng)等概念作一個(gè)簡(jiǎn)要的介紹3.系統(tǒng)的全通分

39、解與最小相位系統(tǒng)3.1系統(tǒng)的全通分解1）.定義：若一個(gè)因果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)對(duì)于所有的頻率都等于1或某個(gè)常數(shù)則該系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng) 。（全通：不改變信號(hào)頻率成分、和幅度。）一個(gè)最簡(jiǎn)單的全通系統(tǒng)是 該系統(tǒng)表明其輸出信號(hào)僅僅是輸入信號(hào)的延遲。 2）全通分解：一個(gè)全通系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)關(guān)于單位圓鏡像對(duì)稱 分子分母多項(xiàng)式是互為鏡像的多項(xiàng)式，即 其中 為N階實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式?？梢宰C明 (設(shè)hn為hn的逆系統(tǒng)，由xn*hn=yn,可得yn*hn=xn,稱為反卷積)3）全通系統(tǒng)的特點(diǎn)：n 除 外，全通系統(tǒng)是IIR系統(tǒng)；n 全通系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的數(shù)目相等，且以單位圓鏡像對(duì)稱；n 穩(wěn)定的全通系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，那么

40、所有的零點(diǎn)都在單位圓外；n 當(dāng) 由0變化到 時(shí)，全通系統(tǒng)的相頻響應(yīng)單調(diào)遞減；n 全通系統(tǒng)的群遲延大于0。3.2最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)特點(diǎn)及用途：1）由于IIR濾波器難以滿足線性相位的要求，因此分析全通系統(tǒng)的意義在于一個(gè)全通系統(tǒng)和一個(gè)最小相位系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)可以做到在不改變系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的前提下，實(shí)現(xiàn)對(duì)相位的矯正，使得系統(tǒng)的相位響應(yīng)盡可能接近線性或者實(shí)現(xiàn)常數(shù)相位。 2）一個(gè)因果、穩(wěn)定的系統(tǒng)要求極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，如果一個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。3）若零點(diǎn)全部在單位圓外，則系統(tǒng)為最大相位系統(tǒng)；4）若單位圓內(nèi)外均有零點(diǎn)，則為混合相位系統(tǒng) 5）最小相位濾波器具有一些重要

41、的性質(zhì)，首先最小相位濾波器相對(duì)于零相位（ 軸）具有最小的相位偏移，因此其沖激響應(yīng)也具有最小的遲延。 6）在反卷積和系統(tǒng)辨識(shí)的應(yīng)用中，逆系統(tǒng)是一個(gè)非常重要的概念，給定一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng) 則其逆系統(tǒng)，也就是逆濾波器 7）當(dāng)且僅當(dāng) 是最小相位濾波器時(shí)，逆濾波器才是穩(wěn)定的、因果的，也即物理可實(shí)現(xiàn)的 8）最小相位濾波器另一個(gè)重要的用途就是和全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，也即所謂的全通分解性質(zhì)。任何一個(gè)非最小相位的因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)均可以由一個(gè)最小相位系統(tǒng) 和一個(gè)全通系統(tǒng) 級(jí) 聯(lián)構(gòu)成證明： 設(shè)系統(tǒng) 有一個(gè)零點(diǎn)在單位圓外，即其余的極零點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則 不難得出若 是最小相位的，上式又可以表示成由于|z0|<1，所以

42、 Hminz=H1（z）（1-z0* z-1）也是最小相位的，而 是全通的 。*實(shí)質(zhì)是利用最小相位系統(tǒng)和全通系統(tǒng)的性質(zhì)，通過(guò)極零點(diǎn)相消來(lái)還原系統(tǒng)。4.IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)流程1）設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器首先應(yīng)該考慮濾波器的應(yīng)用前提，明確濾波器在一個(gè)系統(tǒng)中的作用。比如要設(shè)計(jì)的是一個(gè)低通、帶通還是高通濾波器？2）是否要求線性相位？3）其次考慮實(shí)現(xiàn)的方式，是軟件實(shí)現(xiàn)還是硬件實(shí)現(xiàn)？4）然后再考慮所要求的濾波器的性能如何，也就說(shuō)明確濾波器的技術(shù)指標(biāo)，如對(duì)通帶、阻帶和過(guò)渡帶的要求注：四個(gè)重要指標(biāo)5.典型的幅度技術(shù)指標(biāo)1)通帶： ， 為通帶截止頻率， 為通帶波紋 2) 阻帶： ， 為阻帶截止頻率， 為阻帶波紋； 3)

43、峰值通帶波紋：4)最小阻帶衰減：5） 過(guò)渡帶寬度： 6）一般對(duì)于低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)采用四個(gè)指標(biāo)：7）濾波器的選型，確定使用FIR還是IIR來(lái)實(shí)現(xiàn)。8）由于IIR數(shù)字濾波器不存在直接的設(shè)計(jì)方法，需要借助對(duì)模擬IIR濾波器的設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。9）首先將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)通過(guò)逼近的方法轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。10）由模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，最后由模擬再對(duì)應(yīng)回?cái)?shù)字，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。11）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程（以雙線性變換逼近法為例）6.IIR模擬濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介1） 模擬濾波器的設(shè)計(jì)主要有Butterworth，Chebyshev和橢圓濾波器，這里只介紹前兩種濾波器的設(shè)計(jì)方

44、法2） 模擬濾波器的設(shè)計(jì)采用的是函數(shù)逼近的方法來(lái)近似所要求的濾波器的幅頻特性。濾波器的技術(shù)指標(biāo)同濾波器的幅頻特性緊密相關(guān)的，通常采用幅度平方特性建立濾波器的幅度特性和技術(shù)指標(biāo)之間的函數(shù)聯(lián)系。 3） 由于所設(shè)計(jì)濾波器的沖激響應(yīng)一般是實(shí)數(shù)，因此有 4） 若用技術(shù)指標(biāo) 近似表示出 ，則由上式可以方便的確定出所需的系統(tǒng)函數(shù) ， ，這樣問(wèn)題就集中于對(duì)于濾波器幅度平方的近似上了，不同的近似函數(shù)就對(duì)應(yīng)于不同類型的濾波器，如Butterworth，Chebyshev和橢圓濾波器等。 6.1模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟1） 頻率 的歸一化。由于濾波器的動(dòng)態(tài)范圍千差萬(wàn)別，為使設(shè)計(jì)工作規(guī)范化，通常需要將濾波器的頻率相對(duì)于某

45、個(gè)頻率作一個(gè)歸一化的處理。對(duì)于低通濾波器，令 ，則 ， ；2） 由所要求的技術(shù)指標(biāo)來(lái)確定 近似函數(shù)的參數(shù)，也即濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)；3） 由 求濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ，也即確定系統(tǒng)的極零點(diǎn)。舉例：6.1.1、Butterworth濾波器：1）Butterworth濾波器的定義： 其中C為待定的常數(shù)，N為濾波器的階數(shù)。設(shè)計(jì)的主要工作就是確定合適的C和N，進(jìn)而設(shè)計(jì)系統(tǒng)的極零點(diǎn)。 1） 頻率歸一化后，由于 3） 確定參數(shù)后，下面剩下的任務(wù)就是確定合適的 了，這等效于求系統(tǒng)函數(shù) 。和歸一化頻率 相對(duì)應(yīng)，可以定義歸一化復(fù)變量4）若C1，則有5） 令 解得 的極點(diǎn)為：表明2N個(gè)極點(diǎn)以 為間隔，均勻分布在S平面上的

46、單位圓上 N階Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布 6）考慮到所設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)該是穩(wěn)定的，因此將左半平面的極點(diǎn)賦予 ，即7）若N為偶數(shù)，則極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，每一對(duì)共軛極點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)二階系統(tǒng)，這樣 可以等效為 個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。若N為奇數(shù)，則等效為一個(gè)一階系統(tǒng)和 個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。因此高階系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為低階（一階和二階）系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。 8）Butterworth濾波器無(wú)論在通帶還是阻帶都是單調(diào)下降的，其過(guò)渡帶隨著N的增大而逐漸變窄 6.1.2、Chebyshev濾波器6.1.2.1、 Chebyshev-I型濾波器1）Chebyshev-I型濾波器：幅度平方特性為其中2）頻率歸一化由于又代入歸一化

47、形式得到由于由于所以，令進(jìn)而，寫出n的計(jì)算表達(dá)式 3)下面確定濾波器的極點(diǎn)分布，由于 的極點(diǎn)為 的根，因此求解橢圓方程 該方程的根 分布在一個(gè)橢圓的圓周上4)上述方程左半平面的根對(duì)應(yīng)濾波器的極點(diǎn)，進(jìn)而可以確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：5) Chebyshev-I型濾波器在通帶內(nèi)等波紋振蕩，在阻帶內(nèi)單調(diào)下降。該濾波器在相同的階數(shù)條件下，過(guò)渡帶明顯要窄于Butterworth濾波器。 6) Chebyshev-I型濾波器的頻率特性:6.1.2.2、Chebyshev-II型濾波器 1） Chebyshev-II型濾波器的幅度平方定義為： 2） 和I型相比，不難判斷其通帶和阻帶特性是相反的。同I型相反，I

48、I型在阻帶內(nèi)等波紋振蕩，在通帶內(nèi)單調(diào)下降。Chebyshev-II型濾波器的設(shè)計(jì)步驟和I型濾波器的類似，這里就不詳細(xì)討論了。3） Chebyshev-II型濾波器的頻率特性4） 橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋振蕩的，且其過(guò)渡帶非常窄，橢圓濾波器不僅有極點(diǎn)而且還有零點(diǎn)，因此橢圓濾波器的設(shè)計(jì)更為復(fù)雜，對(duì)于橢圓濾波器這里同樣不作討論，可參見(jiàn)相關(guān)的文獻(xiàn)。 6.2數(shù)字模擬數(shù)字的逼近 數(shù)字IIR濾波器的設(shè)計(jì)主要是借助模擬IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化為模擬濾波器即可。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)集中于數(shù)字模擬的近似方法，主要有：雙線性變換法，導(dǎo)數(shù)逼近法和沖激響應(yīng)不變法（階躍響應(yīng)不變法）

49、。6.2.1、沖激響應(yīng)不變法1） 由于離散時(shí)間系統(tǒng)可以通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的采樣來(lái)定義。由于沖激響應(yīng)能夠表征一個(gè)LTI系統(tǒng)，因此也可以通過(guò)對(duì)沖激響應(yīng)的時(shí)域采樣來(lái)得到離散時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，從而確定一個(gè)數(shù)字濾波器。 2） 對(duì)應(yīng)的濾波器的頻率響應(yīng)的關(guān)系為：時(shí)域的采樣會(huì)引起頻域的延拓。3）若 是帶限的，則因此，從模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系式 出發(fā)，首先將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的模擬濾波器 對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng) 4）然后再對(duì) 采樣，得到數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)為5） 對(duì)應(yīng)的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為比較可見(jiàn)：S平面上在 處的極點(diǎn)變換為Z平面上 處的極點(diǎn)，且 和 僅相差一個(gè)比例因子T。6）若 穩(wěn)定，則其極點(diǎn)必位于左半平面，對(duì)應(yīng)的 的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)。7）階躍響應(yīng)不變法和沖激響應(yīng)不變法的實(shí)質(zhì)是一樣的，但是此類映射方法勢(shì)必會(huì)