2-2直線(xiàn)的方程(精講)(解析版)

1、2.2直線(xiàn)的方程（精講）思維導(dǎo)圖名將希桂適用范圍點(diǎn).料武3巾=川工泗）不含真愛(ài)kJt料藏式1'=就+。不含垂苴于黃輛的克羲兩忐式q 士.茄-n Xi-X)不含支線(xiàn).k%和直量尸筋糖距式0=1 a it不會(huì)垂苴于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直瓏一款式Ax-By+C=%42 +壽邦)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直坂都建用*"1 米直線(xiàn)方理一股齊以F的幫方法：0）百犢法由疑毒襁定曲宦線(xiàn)合理班走營(yíng)夥我,然后宦接寫(xiě)由其方絲.持定系救法先由宜蛾滿(mǎn)足的條件設(shè)出直線(xiàn)方嘏，需程中含有待定的票戮，再由 建設(shè)條件求由待定系教，即得所求直線(xiàn)方姓.侏投方#4隨醒（1）直繳過(guò)點(diǎn)尸1（用，川）且垂直于X軸的方程為（2）宦爨過(guò)點(diǎn)

2、向（歷，的）且垂直于產(chǎn)黏的方醇為產(chǎn)=內(nèi)（3）v軸的方理為*=。14）身軸的方程為產(chǎn)=0方法一：含有參數(shù)的直線(xiàn)旅理可看作苴線(xiàn)系方襟，這時(shí)要能峨整理 成過(guò)定點(diǎn)隨直皴系.即能撼看山.動(dòng)中宥定"方旗二二將步0機(jī)戴關(guān)于泰泰隨方姓.令參鬢隨手毅為口求也定點(diǎn)“蕾題"是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸賣(mài)炭的坐標(biāo)值，可正可更,也可掌 q距禺R是一個(gè)非更敦曲錯(cuò)點(diǎn)當(dāng)立費(fèi)在*軸，v軸上的裁距相等或具有偌藪美殺時(shí)，一般美分藏題 為零和不為塞兩種情見(jiàn)求解.當(dāng)山現(xiàn)威距之和或楨成題大于紈藏距時(shí)，4ft,紈威簿如不為篡，可 直模用將定系聶金求解常見(jiàn)考法考點(diǎn)一求直線(xiàn)的方程【例1-1】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的

3、直線(xiàn)的方程(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8, 2),斜率是Y3 ；3(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B( 2,0),且與x軸垂直；(3)斜率是 4,在y軸上的截距是7；(4)經(jīng)過(guò) A( 1,8), B(4, 2)兩點(diǎn)；(5)在y軸上的截距是2,且與x軸平行；(6)在x軸、y軸上的截距分別是 4,3.【答案】（1） 氐 3y 8百 6 0 （2） x 2 （3） 4x y 7 0（4） 2x y 6 0（5）y 2 ；（6） 3x 4y 12 0e x 8 ,即 T3x 3y 8百 6 03【解析】(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8, 2),斜率是旦；則直線(xiàn)方程為34x 7 ,即 4x y 7 0(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B( 2,0),且與x軸垂直；則直線(xiàn)

4、方程為 x 2(3)斜率是 4,在y軸上的截距是7;則直線(xiàn)方程為 y2,所以直線(xiàn)方程為y 82 x 1 ,即,2 8(4)經(jīng)過(guò)A( 1,8), B(4, 2)兩點(diǎn)；則斜率k 412x y 6 0(5)在y軸上的截距是2,且與x軸平行；則直線(xiàn)方程為 y 2y 1 ,即 3x 4y 12 0 3x(6)在x軸、y軸上的截距分別是 4, 3 .則直線(xiàn)方程為 一4【例1-2】(2021福建)下面說(shuō)法正確的是()A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P xo,y0的直線(xiàn)都可以用方程y yok x x0 表示x y ,B.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)都可以用方程一 21表示a bC.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,b)的直線(xiàn)都可以用方程 y kx b表示D.

5、經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn) P x1，y1，Qx2,y2的直線(xiàn)都可以用方程x2 x1y y1y2yx x1表不【解析】經(jīng)過(guò)定點(diǎn) P x0,y0且斜率存在的直線(xiàn)才可用方程y y0 k x x0表示，所以a錯(cuò);不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)才可以用方程x y .a b 1表示，所以b錯(cuò);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0, b)且斜率存在的直線(xiàn)才可用方程y kx b表示，所以C錯(cuò);y2 y1當(dāng)x x2時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P x,y1 ,Q x2,y2的直線(xiàn)可以用方程 y 火 x x1，即x2 x1x2 x yy1y2 y x x1表示,當(dāng)x1x2 x1 yy1y2 y x x1 表示,因此經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P x1,y1 ,

6、Q x2,y2的直線(xiàn)都可以用方程x2 x yy1y2 y x x1表示，所以d對(duì);x2時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P x，y1 ,Q x2,y2的直線(xiàn)可以用方程 x故選：D【一隅三反】l在y軸上的截1. (2021重慶高二期末)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)2, 3 ,且與直線(xiàn)2x y 5 0垂直，則直線(xiàn)距為()A. 4B. 2C. 2D. 4【答案】B1【解析】易知2x y 5 0的斜率為2,故直線(xiàn)l的斜率為 一，211根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)l的萬(wàn)程為y ( )(x 2) 3,整理可得y -x 2,22故直線(xiàn)l在y軸上的截距為 2 ,故選：B.2. (2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 3,2

7、,且與直線(xiàn)4x y 2 0平行;1,5兩點(diǎn)的直線(xiàn);(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 2, 3 ,且平行于過(guò) M 1,2和N(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 3,0 ,且與直線(xiàn)2x y 5 0垂直.、一313【答案】(1) y 4x 14；(2) y x；(3) y -x -2 ，22【解析】(1)與直線(xiàn)4x y 2 0平行的直線(xiàn)斜率為-4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 3,2則直線(xiàn)為y 4(x 3) 2 4x 14 ；(2)過(guò)M 1,2和N 1,5兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為,1 123則與MN平行且過(guò)點(diǎn)C 2, 3的直線(xiàn)方程為：y -(x 2) 31(3)直線(xiàn)2x y 5 0的斜率為-2,與之垂直的直線(xiàn)斜率為1 ,21則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 3,0 ,且與直線(xiàn)2x y

8、 5 0垂直的直線(xiàn)方程為 y (x 3) 23. (2021廣東湛江)根據(jù)下列條件，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，并把它化為一般式1(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 8, 2 ,斜率是 一； 2(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B 4,2 ,平行于x軸；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 3, 2 , P2 5, 4 ；(4)在x軸、y軸上的截距分別是 3,23.【答案】(1) x 2y 4 0； (2) y 2 0 ； (3) x y 1 0； (4) 2x y 3 0，一，一一11【解析】(1)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程y (x 8) 2 x 2,22其一般式為x 2y 4 0；(2)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程y 0 (x 4) 2 2,其一般式為y 2 0；(3)由兩點(diǎn)

9、式寫(xiě)出直線(xiàn)方程U)-x32 ( 4)3 5其一般式為x y 1 0；xy1 2xy1(4)由截距寫(xiě)出直線(xiàn)方程3333，2其一般式為2x y 3 0；考點(diǎn)二直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)【例2】(2021惠民縣第二中學(xué)高二期末)已知直線(xiàn)21 x y 210則點(diǎn)M的坐標(biāo)為().A.2,2B,2, 2C. 2, 2【答案】DD. 2,2【解析】由21 x y 210R 得， 2x y 2 x 202x y 2 0 x 2因?yàn)?R恒成立，所以解得所以恒過(guò)定點(diǎn) 2,2故選：Dx 2 0y 2【一隅三反】1. (2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))直線(xiàn) kx y 1 3k,當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為()A. (0,0)B. (

10、0,1)C. (3,1)D. (2,1)【答案】Cx 3 0x 3【解析】把直線(xiàn)方程整理為k x 3 y 1 0,令，故 ，所以定點(diǎn)為 3,1 ,y 1 0y 1故選：C.2. （2021黑龍江伊春市 伊春二中高二期中（文）直線(xiàn)2必過(guò)定點(diǎn)（A.2, 1B.0,0C.1, 2D.2,1【解析】由直線(xiàn)方程 y 1k x 2可得過(guò)定點(diǎn)2,1.故選:D.3. (2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx ax2a1的圖象恒過(guò)定A ,若點(diǎn)A在直線(xiàn)mx ny 1 0上，其中2一的最小值為nA. 2D.ax 2a函數(shù)y f x的圖象恒過(guò)定點(diǎn)由于點(diǎn)A 2,在直線(xiàn)mxny0上,2m0,mmn 0 ,貝(J ， n0

11、,1m2m4m4m n /4 2.4:n m8,當(dāng)且僅當(dāng)n 2m時(shí)，等號(hào)成立，因此,2,一的最小值為8 .故選：D. n考點(diǎn)三直線(xiàn)的圖像【例3】（1） （2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)y kxb經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則斜率k和在y軸上的截距b滿(mǎn)足的條件為（A. k 0, b 0 B, k 0,C.D. k 0, b 0（2）.（2021 安徽六安市 六安一中）直線(xiàn)l ：3a 1 x1不過(guò)第二象限，則a的取值范圍為（）B.2 aC.D. a 4【答案】（1） B （2） Ckx b圖象，如圖所示:【解析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出y由圖可知:0,b 0 .故選:B.(2)若 a0, 1直線(xiàn)l的

12、萬(wàn)程為x該直線(xiàn)不過(guò)第二象限，合乎題意;50,可得l的斜截式方程為3a 13a2.若直線(xiàn)l不過(guò)第二象限，則 a 21a 2綜上所述，a 2 .故選：C.【一隅三反】1. （2021全國(guó)高二專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)2y3 0經(jīng)過(guò)（）A.B.四象限C.三、四象限D(zhuǎn).三、四象限【解析】由x 2y 3 00可得,3y 2；令y 0可得x3;即直線(xiàn)x 2y 3 0過(guò)點(diǎn)0，23,0,所以直線(xiàn)x 2y 30經(jīng)過(guò)一、二、三象限.故選：A.2. （2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）方程y axA.1一表示的直線(xiàn)可能是【解析】由題意0,排除B.0時(shí),0 ,此時(shí)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)0時(shí),故選:C.0 ,此時(shí)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)

13、0,- a在y軸的負(fù)半軸上，排除a.在y軸的正半軸上，排除 D ,選C .3. （2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若直線(xiàn) Ax By C0 （ A2 B2 0）經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則系數(shù)A B, C滿(mǎn)足的條件為()A.A,B,C 同號(hào) B. AB0,BC 0C.AC0,BC 0 D. AB 0, AC 0【答案】BA C【解析】由題意得，直線(xiàn) Ax By C 0,即yx ,B B A _ C _直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以 一0, 0,即AB 0, BC 0,故選：B.B B考點(diǎn)四 直線(xiàn)方程在幾何中運(yùn)用【例4】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知 那BC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(- 3, 0),B(2,

14、 1),C(-2, 3),試求：(1)邊AC所在直線(xiàn)的方程；(2) BC邊上的中線(xiàn) AD所在直線(xiàn)的方程；(3) BC邊上的高AE所在直線(xiàn)的方程.【答案】(1) 3x- y+9=0 (2) 2x-3y+6 = 0 (3) 2x-y+6=0【解析】(1) AA ( 3, 0), C ( 2, 3),故邊AC所在直線(xiàn)的方程為：金上y ,2 3 3即 3x- y+9 = 0,(2) BC邊上的中點(diǎn)D (0, 2),故BC邊上的中線(xiàn)AD所在直線(xiàn)的方程為 1,3 2即 2x-3y+6=0,(3) BC 邊斜率 k-,2 22故BC邊上的高AE的斜率k=2,故BC邊上的高AE所在直線(xiàn)的方程為 y=2 (x+

15、3),即2x- y+6=0.【一隅三反】1. (2021青海西寧市高二期末(文)一條光線(xiàn)沿直線(xiàn)3x 4y 5 0入射到x軸后反射，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為().A. 3x 4y 5 0B. 3x 4y 5 0C. 3x 4y 5 0D. 3x 4y 5 0【答案】B5【解析】令y 。得x ,所以直線(xiàn)3x 4y 5 0與x軸的交點(diǎn)為3一 _3又直線(xiàn)3x 4y 5 0的斜率為3 ,所以反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為4所以反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y35_ _2 x 5 ,即3x 4y 5 0.43故選：B.2. （2021山西）（多選）三條直線(xiàn) xy 0, x y 0, x ay3構(gòu)成三角形，則a的值不

16、能為（A. 1C.1B. 2D. - 2【答案】AC【解析】直線(xiàn)x y 0與x y0都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而無(wú)論 a為何值，直線(xiàn)x ay 3總不經(jīng)過(guò)原點(diǎn),因此，要滿(mǎn)足三條直線(xiàn)構(gòu)成三角形，只需直線(xiàn)x ay 3與另兩條直線(xiàn)不平行,所以a 1.故選：AC.3. （2021廣西）已知直線(xiàn)l的斜率為一1 ,且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1 ,求直線(xiàn)l的方程.2【答案】y= x+ 1或y= x 1.【解析】設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=-x+ b,則它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A（b, 0）和B（0, b）,所以圍成的兩個(gè)直. ，一一 ,1 , 21 . 21角邊長(zhǎng)都為|b|,故其面積為2b，由2b 3 ,解得b=±

17、L故所求直線(xiàn)的方程為 y= -x+1或y=-x-1.4. （2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）!ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A 4,0 , B 6,7 , C 0,3 ,求：（1）邊BC上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；（2）邊BC上的高所在直線(xiàn)的方程；（3）邊BC的垂直平分線(xiàn)的方程.3一319【答案】（1） y 5x 20；（2）y - x6；（3）y x2，226 0 7 3【解析】（1） BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（,一3） （3,5）2 25則邊BC上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y （x 4） 5x 20;3 4,，人一 ,7 3 2一，,3（2）邊BC的斜率為，則其上的局的斜率為 一，且過(guò)A 4,0 ,6 0 3233則邊BC

18、上的高所在直線(xiàn)的方程為 y-(x4)3x6；22(3)由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)則邊BC的垂直平分線(xiàn)的方程為(3,5)，由(2)知高的斜率為 3 ,23319y _(x 3) 5- x .222考點(diǎn)五直線(xiàn)中的最值問(wèn)題R).【例5】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知直線(xiàn)l的方程為(2m 3)x (m 1)y 4 2m 0(m(1)當(dāng)m 3時(shí)，求直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)證明：不論 m取何值，直線(xiàn)l恒過(guò)第四象限.(3)當(dāng)m 2時(shí)，求直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(2,0), B(3,4)距離之和的最小值.【答案】(1) 1; (2)詳見(jiàn)解析；(3) 375.3【解析】(1)當(dāng)m 3時(shí)，直線(xiàn)l的

19、方程為3x 2y 2 0,令x0,得y1 ；,八2令y0,得x-,31 21所以直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為-1.2 33(2)證明：將直線(xiàn)l的方程整理得(2x y 2)m ( 3x y 4) 0,2x y 2 0,得3x y 4 0所以直線(xiàn)l恒過(guò)點(diǎn)(2, 2),所以不論m取何值，直線(xiàn)l恒過(guò)第四象限.(3)當(dāng)m 2時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x y0,定點(diǎn)A(2,0) , B(3,4)在直線(xiàn)l的同一側(cè)，其中A(2,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(0, 2),則| PA| PA所以動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(2,0) , B(3,4)距離之和為|PA| |PB| |PA | |PB |,所以當(dāng)P, A , B三點(diǎn)共

20、線(xiàn)時(shí)，PA |PB|最小,此時(shí) |PA| |PB| | AB| J(3 0)3 (4 2)2 375 .【一隅三反】x y1 . ( 2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知直線(xiàn)1: - -m 4 m(1)若直線(xiàn)1的斜率是2,求m的值;(2)當(dāng)直線(xiàn)1與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時(shí)，求此直線(xiàn)的方程.【答案】(1) m=4； (2) x+y-2= 0.一 一， ,4 m 0 八.【解析】(1)直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)(m, 0), (0, 4-m),則 2,解得m=4._ 2(m 2)420 m(2)由 m>0, 4- m> 0,得 0vmv4,則 S m(4m)2當(dāng)m=2時(shí)，S有最大值，故直線(xiàn)1的

21、方程為x+y2=0.2. (2021江蘇)如圖，過(guò)點(diǎn) P 1,1作直線(xiàn)AB ,分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于點(diǎn) A, B.當(dāng)直線(xiàn)【答案】當(dāng)直線(xiàn) AB傾斜角為13$時(shí)，1AOB的面積最小，最小面積是 2.x y【解析】依題意，設(shè)點(diǎn) A(a,0), B(0,b)(a 0,b 0),直線(xiàn)AB的方程為一21 , a b11.而點(diǎn)P 1,1在直線(xiàn)AB上，于是有一 一 1 ,a b1 11 12顯然有1 一2 Jf,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取 =,即Vab 2 ab 4，a b a b ab1OA ： x y 0(x 0) , OB ：于是得a=b=2時(shí)，(ab)min 4,此時(shí)AOB為等腰直角三角形，面積 3 ab取最小值2,直線(xiàn)AB傾斜角為 135：,所以當(dāng)直線(xiàn)AB傾斜角為135：時(shí)，&AOB的面積最小，最小面積是2.3. (2021 上海高二專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線(xiàn)2x y 0(x 0).過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線(xiàn)分別交射線(xiàn)OA,OB于點(diǎn)A, B.(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)x 2y 0上時(shí)，求直線(xiàn) AB的方程;(2)當(dāng)