2022年2022年高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)因正解匯總第八章平面向量與空間向量

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第八章平面對(duì)量與空間向量精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)§ 8.1 平面對(duì)量及其運(yùn)算精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 模（長(zhǎng)度） ：向量 ab 的大小,記作| ab | ；長(zhǎng)度為的向量稱為零向量,長(zhǎng)度等于個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫做單位向量；2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共線向量；3. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量；4. 相反向量：我們把與向量a 長(zhǎng)度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量；記作- a ；5. 向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算；已知 a , b ；在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

2、,作ab = a , bc = b ,就向量ac 叫做 a 與 b 的和；記作 a + b ；6. 向量的減法：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算；已知 a , b ；在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,作 oa = a , ob =b ,就向量 ba 叫做 a 與 b 的差；記作 a - b ；7. 實(shí)數(shù)與向量的積：（ 1）定義：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積為一個(gè)向量,記作 a ,并規(guī)定： a 的長(zhǎng)度 | a |=| | ·|a | ；當(dāng) 0 時(shí), a 的方向與 a 的方向相同； 當(dāng) 0 時(shí), a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng) 0 時(shí), a = 0（ 2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè) . 為實(shí)數(shù),就 a = a + a

3、= a + a a + b = a + b8. 向量共線的充分條件：向量b 與非零向量a 共線的充要條件為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ,使得 b a ；另外,設(shè) a =（ x 1 、y1） 、b = x 2、y 2 , 就 a /bx1y2 x2y1=09. 平面對(duì)量基本定理：假如 e1 .e2 為同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1. 2 使a 1 e1 2 e2,其中不共線向量e1 . e2叫做表示這一精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載平面內(nèi)全部向量的一組基底；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

4、 歡迎下載10. 定比分點(diǎn)設(shè) p1, p2 為直線l上的兩點(diǎn),點(diǎn)p 為不同于p1 , p2 的任意一點(diǎn)就存在一個(gè)實(shí)數(shù) 、 使精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載p1 p2= p1p2, 叫做分有向線段所成的比；如點(diǎn) p1.p.p2 的坐標(biāo)分別為x 1,y1 ,x、y,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 2 、y 2 ,就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特殊當(dāng) =1,即當(dāng)點(diǎn)p 為線段 p1p2 的中點(diǎn)時(shí),有11. 平面對(duì)量的數(shù)量積x x1x2 2y y1y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 定義：已知兩個(gè)非零向量a 和 b ,它們的夾

5、角為 ,就數(shù)量 | a |b |cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積 或內(nèi)積 ,記作 a · b ,即 a · b | a |b |cos 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0；(2) 幾何意義： 數(shù)量積 a · b 等于 a 的長(zhǎng)度 | a | 與 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘積；(3) 性質(zhì)：設(shè) a , b 都為非零向量,e 為與 b 方向相同的單位向量, 為 a 與 e 的夾角,就 e · a a · e | a |cos , a ba · b 0當(dāng) a 與 b 同向時(shí), a · b | a |b |當(dāng)

6、 a 與 b 反向時(shí), a · b | a |b |特殊地, a · a | a | 2 或| a | a a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cosabab|a · b | |a |b |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(4) 運(yùn)算律：a · b b · a 交換律 a · b b · a a · b a b · c a · c b · c（5）平面對(duì)量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件： 設(shè) a =（ x 1 、y1）、b = x 2、y 2 , 就精品學(xué)習(xí)資料精選

7、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aba · b =| a | ·|b |cos90 °=0abx1x2 +y1y2=012. 平移公式：/設(shè) p（ x,y ）為圖形 f 上的任意一點(diǎn),它在平移后圖形f/ 上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p/ （ x/ ,y/ ）,且設(shè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pp /的坐標(biāo)為（ h, k）,就由op/ op pp/,得：（ x , y ）（ x, y ） +（ h, k ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.疑難學(xué)問(wèn)1向量的概念的懂得,特殊為特殊向量“零向量”向量為既有大小,又有方向的量向量的模為正數(shù)或0,為可以進(jìn)行大小

8、比較的,由于方向不能比較大小,所以向量為不能比大小的兩個(gè)向量的模相等,方向相同,我們稱這兩個(gè)向量相等,兩個(gè)零向量為相等的,零向量與任何向量平行,與任何向量都為共線向量；2在運(yùn)用三角形法就和平行四邊形法就求向量的加減法時(shí)要留意起點(diǎn)和終點(diǎn)；3對(duì)于坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量,在運(yùn)用平行與垂直的充要條件時(shí),肯定要區(qū)分好兩個(gè)公式,切不行混淆；因此,建議在記憶時(shí)對(duì)比記憶；4定比分點(diǎn)公式中就要記清哪個(gè)點(diǎn)為分點(diǎn)；仍有就為此公式中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為分開運(yùn)算的；5平移公式中第一要知道這個(gè)公式為點(diǎn)的平移公式,故在使用的過(guò)程中須將起始點(diǎn)的坐標(biāo)給出,同時(shí)留意次序；三.經(jīng)典例題 例 1和 a = 3、 4 平行的單位向量為 ；

9、134精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò)解 ：由于 a 的模等于5,所以與 a 平行的單位向量就為5錯(cuò)因 ：在求解平行向量時(shí)沒有考慮到方向相反的情形；a , 即 5 , 5 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：由于 a 的模等于 5,所以與 a 平行的單位向量為1 a ,即 3434, 或 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5,5555點(diǎn)評(píng) ：平行的情形有方向相同和方向相反兩種；讀者可以自己再求解“和a = 3、 4 垂直的單位向量” ,結(jié)果也應(yīng)當(dāng)為兩個(gè)； 例 2 已知 a（ 2, 1）, b（ 3, 2

10、）, c（ -1 , 4）,如 a.b.c 為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn),求第四個(gè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；錯(cuò)解： 設(shè) d 的坐標(biāo)為（ x,y）,就有 x-2=-1-3,y-1=4-2,即 x=-2 ,y=3；故所求 d的坐標(biāo)為（ -2 , 3）；錯(cuò)因 ：思維定勢(shì)；習(xí)慣上,我們認(rèn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為依據(jù)abcd的次序；其實(shí),在 這個(gè)題目中,根本就沒有指出四邊形abcd；因此,仍需要分類爭(zhēng)論；正解 ：設(shè) d的坐標(biāo)為（ x , y ）當(dāng)四邊形為平行四邊形abcd時(shí), 有 x-2=-1-3, y-1= 4-2,即 x= -2 , y= 3 ；解得 d 的坐標(biāo)為（ -2 , 3）；當(dāng)四邊形為平行四邊形adbc時(shí),

11、有 x-2=3- （-1 ）, y-1= 2-4,即 x= 6 , y= -1 ；解得 d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的坐標(biāo)為（ 6, -1 ）；當(dāng)四邊形為平行四邊形abdc時(shí), 有 x-3=-1-2, y-2=4-1,即 x= 0, y= 5；解得 d 的坐標(biāo)為（ 0, 5）；故第四個(gè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（ -2 , 3）或（ 6, -1 ）或（ 0,5）； 例 3 已知 p13、2, p2（ 8, 3）,如點(diǎn) p 在直線 p1p2 上,且滿意 |p 1p|=2|pp 2| ,求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò)解 ：由 |pp|=2|pp | 得,

12、點(diǎn) p 分 p p 所成的比為2,代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得p（ 198 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121 2、33錯(cuò)因 ：對(duì)于 |p 1p|=2|pp 2| 這個(gè)等式,它所包含的不僅為點(diǎn)p 為 p 1, p2 的內(nèi)分點(diǎn)這一種情形,仍有點(diǎn) p 為 p 1, p2 的外分點(diǎn)；故須分情形爭(zhēng)論；正解 ：當(dāng)點(diǎn) p 為 p 1, p2 的內(nèi)分點(diǎn)時(shí), p 分 p1 p2 所成的比為2,此時(shí)解得p（ 19 、 8 ）；33當(dāng)點(diǎn) p 為 p 1,p2 的外分點(diǎn)時(shí), p 分 p1p2 所成的比為 -2 ,此時(shí)解得p（ 13, 4）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就所求點(diǎn)p 的坐

13、標(biāo)為（19 、 8 ）或（ 13, 4）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載33點(diǎn)評(píng) ：在運(yùn)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí),要審清題意, 留意內(nèi)外分點(diǎn)的情形；也就為分類爭(zhēng)論的數(shù)學(xué)思想；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 4設(shè)向量a x1、 y1 , b x2 、 y2 , b0 ,就 “a / b ”為“x1 y2x2 y1 ”的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件分析 ：依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和充要條件的意義進(jìn)行演算即可精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：如a / b , b

14、0 ,就 ar b ,代入坐標(biāo)得： x1 、 y1r x2 、 y2 ,即x1rx 2 且精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y1ry 2消去 r ,得x1 y2x2 y1 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反之,如x1 y2x2 y1 ,就x1rx 2 且y1ry 2 ,即 x1、 y1 r x2 、 y2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 ar b , a / b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故“ a / b ”為“x1 y2x2 y1”的充要

15、條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案： c點(diǎn)評(píng) ：此題意在鞏固向量平行的坐標(biāo)表示 例 5 已知 a =（1, -1 ）, b =（ -1 ,3）, c =（ 3,5）,求實(shí)數(shù)x.y ,使 c =x a +y b分析 ：依據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和待定系數(shù)法,用方程思想求解即可解：由題意有x a +y b =x （ 1, -1 ） +y（-1 , 3） =（ x-y , -x+3y ） 又 c = （ 3,5）x-y=3 且-x+3y=5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解之得 x=7且 y=4點(diǎn)評(píng) ：在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中常常要用到解方程的方法 例 6 已知 a（ -1 ,2）

16、, b（ 2, 8）, ac = 1 ab, da = -31 ba ,求點(diǎn) c.d 和向量 cd3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的坐標(biāo)分析 ：待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn)c.d 的坐標(biāo),再依據(jù)向量acab , da和 cd關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載運(yùn)算,用方程思想解之 解 ：設(shè) c.d 的坐標(biāo)為x1 、 y1 . x2 、 y2 ,由題意得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ac =（ x11、 y12 ）, ab =（ 3,6）,da =（1x2 、2y2 ）, ba =（ -3 ,-6 ）精品學(xué)習(xí)

17、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 ac = 1 ab, da = -31 ba3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ x11、 y12 ） = 1 （ 3,6）,（31x2 、2y2 ） =-1 （ -3 ,-6 ）3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 x11、 y12 =1、2, 1x2 、2y2 =1、2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x111且 y122 ,1x21 且 2y22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

18、 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x10且 y14,且 x22y20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn) c.d 和向量 cd的坐標(biāo)分別為（0, 4）.（ -2 , 0）和（ -2 , -4 ）小結(jié) ：此題涉及到方程思想,對(duì)同學(xué)運(yùn)算才能要求較高四.典型習(xí)題1.,就有（）a.b.c.d.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 設(shè)向量a、b、 c 滿意abc0 、 ab、| a |1、| b |2 、就 | c |2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1b2c4d5/3. 將函數(shù) y= 4x 8 的圖象 l 按向量 a 平移到

19、 l , l 的函數(shù)表達(dá)式為y= 4x ,就向量 a =精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4. 從點(diǎn)沿向量a3 i6 j方向取線段ab,使| ab |5 ,就 b 點(diǎn)坐標(biāo)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5. .為單位向量,的夾角為,以.為鄰邊作平行四邊形；求平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6. 已知a b c的三內(nèi)角a、 b、 c所對(duì)邊的長(zhǎng) 分別為a、b、c設(shè)向量精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載paa6、c 、 qbba、ca 、如b3p / q 、就角 c 的大小為c2

20、2d3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)§ 8.2 平面對(duì)量與代數(shù).幾何的綜合應(yīng)用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 余弦定理： 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和,減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2 倍、 即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 2b 2c 22bc cos a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b2a 2c 22 ac cos b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

21、 - 歡迎下載c2a 2b 22 ab cos c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 正弦定理在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,并且都等于外接圓的直徑,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.疑難學(xué)問(wèn)a sin ab sin bc2rsin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 中學(xué)學(xué)過(guò)的勾股定理只為余弦定理的一種特殊情形；如當(dāng)c =時(shí),2cos c=0,此時(shí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有 c2a2b 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

22、 - - - 歡迎下載2 由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù).幾何聯(lián)系比較緊,故讀者需對(duì)解斜三角形.解析幾何中的圓錐曲線等學(xué)問(wèn)特別熟識(shí)方可；三經(jīng)典例題222 例 1 在 abc中,已知a b bcc ,就角 a 為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab36c 2d或 2333精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò)解 ：選 a錯(cuò)因 ：公式記不牢,誤將余弦定理中的“減”記作“加”；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22222正解 ：a b bc c b c 2bc 21 b2 c22bc·cos 2 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a3選c.精品學(xué)習(xí)

23、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 2 在 abc中,已知錯(cuò)解 ： 等腰三角形；a cos ab cos b ,試判別其外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò) 因 ： 忽 視 了 兩 角 互 補(bǔ) , 正 弦 值 也 相 等 的 情 形 ； 直 接 由a cos ab cos b 得 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s i na co sa等腰三角形s i nb co sb ,即 sin 2 asin 2 b ,就2 a2 b ；接著下結(jié)論,所求三角形為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：由a cos ab cos b 得,sina co

24、s asinb cos b ,即sin 2 asin 2 b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 2 a2 b 或 2a2b1800 ,故三角形為直角三角形或等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 3 在中,試求周長(zhǎng)的最大值；并判定此時(shí)三角形的外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò)解 ：由于題目中顯現(xiàn)了角和對(duì)邊,故使用余弦定理,進(jìn)一步想使用不等式或二次函數(shù)求最值錯(cuò)因 ：其實(shí)這種思路從表面上看為可行的,實(shí)際上處理過(guò)程中回遇到無(wú)法進(jìn)行下去的困難；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：由

25、正弦定理、 得 a=262 sina、 b=262 sinb.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a+b=262 sina+sinb=462 sinababcos22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sinab =sin75 =62o224精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a+b=62 ab2cos622 =8+43 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a=b 時(shí)、 三角形周長(zhǎng)最大、 最大值為 8+43 +6

26、2 .此時(shí)三角形為等腰三角形 例 4 在中,其內(nèi)切圓面積為,求面積；分析 ：題中涉及到內(nèi)切圓,而內(nèi)切圓直接與正弦定理聯(lián)系起來(lái)了,同時(shí)正弦定理和余弦定理又由邊聯(lián)系起來(lái)了；解：由已知 、 得內(nèi)切圓半徑為23 .由余弦定理 、 得三角形三邊分別為16、10、14. 例 5 已知定點(diǎn) a2、1與定直線 l :3x-y+5=0、點(diǎn) b 在 l 上移動(dòng) 、 點(diǎn) m 在線段 ab 上、 且分 ab 的比為 2、 求點(diǎn) m的軌跡方程 .分析 : 向量的坐標(biāo)為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁、 形成了代數(shù)與幾何聯(lián)系的新紐帶.解: 設(shè) bx 0、y 0、mx、y am =x-2、y-1、mb =x 0 -

27、x、y 0-y、由題知 am =2 mb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x22x0x3x2x02精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y12 y0y3 y1y02精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3x由于 3x0-y 0+5=0、 3×223 y-21+5=0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2化簡(jiǎn)得 m的軌跡方程為9x-3y+5=0 例 6 過(guò)拋物線 :y=2pxp>0 頂點(diǎn) o作兩條相互垂直的弦oa.ob如圖 、 求證 : 直線 ab過(guò)肯定點(diǎn) 、 并求出這肯定點(diǎn).分析 :對(duì)于向量a=

28、 x1、 y1、 b= x2、 y2、 有 a/ bx1y2- x2y1=0. 可以用來(lái)處懂得析幾何中的三點(diǎn)共線與兩直線平行問(wèn)題.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明 : 由題意知可設(shè)a 點(diǎn)坐標(biāo)為 t 21、t 1、b點(diǎn)坐標(biāo)為 2 pt 22、t 2 2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oa =t 21、t 1、ob =2 pt 22、t 2、2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oa ob、 oa . ob =022tt1.2+t 1.t 2=02 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

29、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2t 1.t 2=-4p 設(shè)直線 ab 過(guò)點(diǎn) ma、b、就 bm =a-t 22、b-t2、ba=2 pt 2t 21-2、t 1-t 2、2 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于向量 bm 與 ba 為共線向量 、 （ a-化簡(jiǎn)得 2pa-2p=bt1+t 2明顯當(dāng) a=2p、b=0 時(shí)等式對(duì)任意的成立直線 ab過(guò)定點(diǎn) 、 且定點(diǎn)坐標(biāo)為m2p、0t 22） t 1-t 2= b-t22 pt 2t 21-22 p2 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四典型習(xí)題1已知

30、銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2, 3, x ,就第三邊x 的取值范疇為（）a1 x 5b5 x 13c13 x 5d 1 x52三頂點(diǎn),就的面積為_；3 abc中,如邊a： b： c2 ：1 3 ： 2,就內(nèi)角 a；4某人在c 點(diǎn)測(cè)得塔頂a 在南偏西80°,仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到 0,測(cè)得塔頂a仰角為 30°,就塔高；5 在 abc 中,已知b30°, b 50, c 150,解三角形并判定三角形的外形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6在 abc 中,已知cot acot bcot c,判定 abc 為什么三

31、角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 § 8.3 空間向量及其運(yùn)算一.學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)1空間直角坐標(biāo)系： （1）如空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直,且長(zhǎng)為1 ,這個(gè)基底叫單精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載位正交基底,用 i、j 、 k表示；（ 2）在空間選定一點(diǎn)o 和一個(gè)單位正交基z精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載底 i 、 j 、 k ,以點(diǎn) o 為原點(diǎn),分別以i 、 j 、 k 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：ax、y、z精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

32、- 歡迎下載x 軸. y 軸. z 軸,它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系ki o jy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oxyz ,點(diǎn) o 叫原點(diǎn), 向量i、 j 、 k 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的x平面叫坐標(biāo)平面,分別稱為xoy 平面, yoz 平面, zox 平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系oxyz 中,對(duì)空間任一點(diǎn)a ,存在唯獨(dú)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z ,使 oaxiy jz k ,有序?qū)崝?shù)組 x、 y、 z叫作向量a 在空間精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

33、 - - - 歡迎下載直角坐標(biāo)系oxyz 中的坐標(biāo),記作a x、y、 z, x 叫橫坐標(biāo),y 叫縱坐標(biāo),z 叫豎坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（ 1）如 aa1、a2 、 a3 , bb1 、b2 、 b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 ab a1b1、 a2b2 、 a3b3 , aba1b1、 a2b2 、 a3b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa1 、a2 、a

34、3 r , a ba1b1a2 b2a3b3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a / ba1b1 、 a2b2 、 a3b3 r , aba1b1a2b2a3b30 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）如a x1 、 y1、 z1 , bx2 、 y2 、 z2 ,就 abx2x1 、 y2y1 、 z2z1 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

35、歡迎下載4模長(zhǎng)公式：如aa 、 a 、a , 就 | a |a aa 2a 2a 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載123123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5夾角公式：abcos aba1b1a2b2a3b3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| a | | b |222222aaabbb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載123123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6兩點(diǎn)間的距離公式：如 ax 、 y 、 z ,bx 、y 、z ,就 | ab|2abxx 2yy z2z 2精品

36、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載111222212121精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.疑難學(xué)問(wèn)1.對(duì)于這部分的一些學(xué)問(wèn)點(diǎn),讀者可以對(duì)比平面對(duì)量的學(xué)問(wèn),看哪些學(xué)問(wèn)可以直接推廣,哪些需要作修改,哪些不能用的,稍作整理,以便于記憶；2.空間向量作為新加入的內(nèi)容,在處理空間問(wèn)題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性,比原先處理空間問(wèn)題的方法更有敏捷性,所以本節(jié)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于把握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法,特殊為體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化的思想方法如把立體幾何中的線面關(guān)系問(wèn)題及求角求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用向量解決, 如何取向量或建立空間坐標(biāo)系,找到所論證的平行垂直等關(guān)系,所求的角和距離用向量怎樣來(lái)表達(dá)為問(wèn)題的

37、關(guān)鍵3.向量運(yùn)算的主要應(yīng)用在于如下幾個(gè)方面：(1) 判定空間兩條直線平行 共線 或垂直；(2) 求空間兩點(diǎn)間的距離；(3) 求兩條異面直線所成的角.4 .本節(jié)內(nèi)容對(duì)于立體幾何的應(yīng)用,讀者需自行復(fù)習(xí),這里不再贅述；三.經(jīng)典例題 例 1 以下所表示的空間直角坐標(biāo)系的直觀圖中,不正確選項(xiàng)（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abcd錯(cuò)解 ： b.c. d中任選一個(gè)錯(cuò)因 ：對(duì)于空間直角坐標(biāo)系的表示不清晰；有共同的原點(diǎn), 且兩兩垂直的三條數(shù)軸,只要符合右手系的規(guī)定,就可以作為空間直角坐標(biāo)系正解 ：易知 c 不符合右手系的規(guī)定,應(yīng)選c 例 2 已知點(diǎn) a 3, 1,1 ,點(diǎn) b 2,2,3 ,

38、在 ox.oy.oz 軸上分別取點(diǎn)l.m.n,使它們與a.b 兩點(diǎn)等距離錯(cuò)因 ：對(duì)于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)不明；使用方程解題的思想意識(shí)不夠；分析 ：設(shè) ox 軸上的點(diǎn) l 的坐標(biāo)為 x , 0,0 ,由題意可得關(guān)于x 的一元方程,從而解得x的值類似可求得點(diǎn)m. n 的坐標(biāo)解：設(shè) l.m.n 的坐標(biāo)分別為x , 0, 0 . 0 , y, 0 .0 , 0, z 由題意,得22x 3 1 1 x 2 4 9,229 y 1 1 4 y 2 9,229 1z 1 4 4 z 3 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分別解得x3. y1、 z3 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

39、下載故 l 3、0、0、 m 0、1、0、 n 0、0、 32評(píng)注：空間兩點(diǎn)的距離公式為平面內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式的推廣：如點(diǎn)p.q的坐標(biāo)分別為x 1,y1,z 1 .x 2, y2, z2 ,就 p.q的距離為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pq x2x1 2 y2y1 2 z2z1 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載必需嫻熟把握這個(gè)公式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 3 設(shè) aa1 、 a2 、 a3 , bb1 、b2 、 b3 ,且ab ,記| ab |m ,求 ab 與 x 軸正方精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選

40、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載向的夾角的余弦值錯(cuò)解 ：取 x 軸上的任一向量c x、0、0,設(shè)所求夾角為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abca1b1 、a2b2 、a3b3 x、0、0a1b1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cos ab ca1b1 xa1b ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1| ab | | c |mxm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即余弦值為a1b1 m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載錯(cuò)因 ：審題不清

41、；沒有看清“x 軸正方向”,并不為x 軸精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正解 ：取 x 軸正方向的任一向量cx、0、0,設(shè)所求夾角為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ab ca1b1、 a2b2 、 a3b3 x、0、0 a1b1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 cosabc a1b1 xa1b1 ,即為所求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ab | | c |mxm 例 4 在 abc中,已知ab 2、4、0、bc 1、3、0,就 abc

42、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：ba2、4、0、 bc1、3、0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cosba、 bcbabc2122=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abc 135°| ba | bc |25102精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 5 已知空間三點(diǎn)a0、2、3、b 2、1、6、c1、 1、5 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求以向量ab、 ac 為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如向量 a 分別與向

43、量ab、 ac 垂直,且 | a | 3 ,求向量 a 的坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析 ：ab2、1、3、 ac1、3、2、cosbacab| abac1| ac |2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 bac 60°,s| ab | ac | sin 6073精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) a x、y、z,就 aab2xy3z0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aacx3y2z0、 | a |3x 2y2z 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得 x y z 1 或 x y z 1, a 1、1、

44、1或 a 1, 1, 1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 例 6 已知正方體ac1 的棱長(zhǎng)為 a , e 為 cc1 的中點(diǎn), o 為對(duì)角線bd1 的中點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求異面直線cc1 和bd1 的距離精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：以 d 為原點(diǎn),da、 dc 、 dd1 所在的直線分別為x 軸, y 軸. z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 aa、0、0、ba、 a、0、c 0、 a、0d 1c1a1b1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載eb1 a、 a、 a、 a1 a、0、 a、 d 0、0、0 ,odc設(shè) e x、 y、 z ,ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 e 在平面a1 db 上,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a1 ea1da1b ,即 xa、 y、 za a、0、a0、 a、 a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xaaya