選修1-1圓錐曲線綜合檢測(解析版)

1、1æö更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂圓錐曲線綜合檢測一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的11拋物線 y x28的焦點坐標是( )A(0，4) B(0，2)C.æ öç ，0÷è 2 ø1Dç ，0÷ è 32 ø解析：選 B.由題意，知拋物線標準方程為 x2 選 B.8y，所以其焦點坐標為(0，2)故2若是任意實數(shù)，則方程 x2y2sin 4 表示的曲線不可能是( )A橢圓 C拋物線B雙曲線 D

2、圓解析：選 C.由于R，對 sin 的值舉例代入判斷sin 可以等于 1，這時曲線表 示圓，sin 可以小于 0，這時曲線表示雙曲線，sin 可以大于 0 且小于 1，這時曲線表 示橢圓x2 y23設(shè)橢圓 1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F ，F(xiàn) ，上頂點為 B.若|BF |F F |a2 b2 1 2 2 1 22，則該橢圓的方程為( )x2 y2A. 14 3x2B y2 31x2 x2 C. y21 D y22 41解析：選 A.因為|BF |F F |2，所以 a2c2，所以 a2，c1，所以 b 3.所2 1 2x2 y2以橢圓的方程為 1.4 3x2 y24(201

3、8·高考全國卷)設(shè) F ，F(xiàn) 是雙曲線 C： 1(a0，b0)的左，右焦點，1 2 a2 b2O 是坐標原點過 F 作 C 的一條漸近線的垂線，垂足為 P.若|PF | 6|OP|，則 C 的離心率2 1為( )A. 5B2C. 3D 2b b解析：選 C.不妨設(shè)一條漸近線的方程為 y x，則 F 到 y x 的距離 da 2 a|bc| a2b2b，在 RtPO 中，|F O|c，所以|PO|a，所以|PF | 6a，又|F O|c，所以 F PO 與 2 2 1 1 1歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！1 更多高中數(shù)學資

4、料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂F PO 中，根據(jù)余弦定理得 cosPOF 2 1a2c2（ 6a）2 acosPOF ，即 3a2 2ac 2 cc2( 6a)20，得 3a2c2c，所以 e 3. ax2 y25雙曲線 1(mn0)的離心率為 2，有一個焦點與拋物線 y24x 的焦點重合，m n則 mn 的值為( )A.C.3161633B88D3x2 y2解析：選 A.拋物線 y24x 的焦點為 F(1，0)，故雙曲線 1 中，m>0，n>0 且 mm nnc21 ，又 ecmmn 1 3 3 2 ，聯(lián)立方程，解得 m ，n ，故 mn .m 4 4 16x2 y26已知

5、F ，F(xiàn) 為橢圓 1(a>b>0)的兩個焦點，過 F 作橢圓的弦 AB， AF B 的1 2 a2 b2 2 1周長為 16，橢圓的離心率 e x2 y2A. 14 332，則橢圓的方程是( )x2 y2B 116 3C.x216y2 112x2 y2D 116 4c解析：選 D.由橢圓的定義知|AF |BF |AB|4a16，所以 a4，又 e 1 1 a32，x2 y2所以 c2 3，所以 b242(2 3)24，所以橢圓的方程為 1.16 47已知直線 ykxk(k 為實數(shù))及拋物線 y22px(p>0)，則( )A 直線與拋物線有一個公共點B 直線與拋物線有兩個公共點

6、C 直線與拋物線有一個或兩個公共點D 直線與拋物線沒有公共點解析：選 C.因為直線 ykxk 恒過點(1，0)，點(1，0)在拋物線 y22px 的內(nèi)部，所 以當 k0 時，直線與拋物線有一個公共點，當 k0 時，直線與拋物線有兩個公共點x2 y28已知雙曲線 1(b>0)的左、右焦點分別是 F ，F(xiàn) ，其一條漸近線方程為 yx，2 b2 1 2點 P( 3，y )在雙曲線上，則PF ·PF ( )0 1 2歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！2 11221212112A12C0更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)

7、學學堂B2D4解析：選 C.由漸近線方程為 yx，知雙曲線是等軸雙曲線，所以雙曲線方程是 x2y2 2，于是兩焦點分別是 F (2，0)和 F (2，0)，且 P( 3，1)或 P( 3，1)不妨取點1 2P( 3，1)，則PF (2 3，1)，PF (2 3，1)所以PF ·PF (2 3，1 2 1 21)·(2 3，1)(2 3)(2 3)10.x2 y29已知雙曲線與橢圓 1 有共同的焦點，且雙曲線的一條漸近線方程為 xy16 640，則雙曲線的方程為( )Ax2y250Bx2y224Cx2y250Dx2y224x2 y2解析：選 D.因為雙曲線與橢圓 1 有共同的

8、焦點，所以雙曲線的焦點在 y 軸上，16 64且焦點坐標為(0，4 3)，(0，4 3)又雙曲線的一條漸近線方程為 xy0，所以可設(shè) 雙曲線方程為 y2x2(>0)，則 248，24，故所求雙曲線的方程為 y2x224， 即 x2y224.10拋物線 yx2 上的點到直線 4x3y80 距離的最小值是( )A.C.43857B5D3解析：選 A.設(shè)拋物線 yx2 上一點為(m，m2)，該點到直線 4x3y80 的距離為 |4m3m28| 2 4，當 m 時，取得最小值為 .5 3 311已知直線 yk(x2)(k>0)與拋物線 C：y28x 相交于 A，B 兩點，F(xiàn) 為 C 的焦點

9、若 |FA|2|FB|，則 k 等于( )A.13B23C.232 2D3ìïyk（x2），解析：選 D.設(shè) A(x ，y )，B(x ，y )，易知 x >0，x >0，y >0，y >0.由íïîy28x得 k2x2(4k28)x4k20，所以 x x 4，1 2根據(jù)拋物線的定義得，p|FA|x x 2，|FB|x 2.2歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！3æö2更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂因為|FA|2|FB|，所以

10、 x 2x 2，1 2由得 x 1(x 2 舍去)，2 22 2所以 B(1，2 2)，代入 yk(x2)得 k .3x2 y2 y212已知橢圓 C ： 1(a>b>0)與雙曲線 C ：x2 1 有公共的焦點，C 的一條漸1 a2 b2 2 4 2近線與以 C 的長軸為直徑的圓相交于 A，B 兩點若 C 恰好將線段 AB 三等分，則( ) 1 1Aa2132Ba213Cb212Db22解析：選 C.由題意，知 a2b25，因此橢圓方程為(a25)x2a2y25a2a40，雙曲線的一條漸近線方程為 y2x，聯(lián)立橢圓方程消去 y，得(5a25)x25a2a40，所以直線截橢圓的弦長

11、d 5×2a45a2 2 11 1 a，解得 a2 ，b2 .5a25 3 2 2二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分x2 y213以雙曲線 1 的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為_4 12解析：雙曲線焦點為(±4，0)，頂點為(±2，0)，故橢圓的焦點為(±2，0)，頂點(±x2 y24，0)，所以橢圓方程為 1.16 12x2 y2答案： 116 12x2 y2 114已知雙曲線 1(a>0，b>0)的一個焦點與拋物線 x y2a2 b2 4線的離心率等于 5，則該雙曲線的方程為_的焦點重合，且雙曲1解析：拋物線 x

12、y2 的方程化為標準形式為 y24x，焦點坐標為(1，0)，則得 a2b24c 1 4 51，又 e 5，易求得 a2 ，b2 ，所以該雙曲線的方程為 5x2 y2a 5 5 41.5答案：5x2 y2 14p15過點 Eç ，0÷è 2 ø的直線與拋物線 y22px(p>0)交于 A，B 兩點，F(xiàn) 是拋物線的焦點，若 A 為線段 EB 的中點，且|AF|3，則 p_p解析：設(shè) A，B 兩點的坐標分別為(x ，y )，(x ，y )，由焦半徑公式，|AF|x ，又1 1 2 2 1歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，

13、更有海量教學視頻等你來拿！4p22í21î12 2 121æöæö2 1111 23æ ö3æ ö更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂ì x p x ， p|AF|3，所以 x 3 ，由中點坐標公式，得 所以 x 6 ，y 2y ，所以2 2y 0y ，2p py24y2，2pç6 ÷4y24×2px 4×2pç3 ÷è 2ø è 2ø，結(jié)合 p>0 可得 p4.答案：

14、4x2 y216設(shè) F ，F(xiàn) 分別是橢圓 1 的左、右焦點，P 為橢圓上任一點，點 M 的坐標為25 16(6，4)，則|PM|PF |的最大值為_1解析：由橢圓的定義知|PF |PF |10，|PF |10|PF |，|PM|PF |10|PM|1 2 1 2 1|PF |，易知 M 點在橢圓外，連接 MF 并延長交橢圓于點 P，此時|PM|PF |取最大值|MF |， 2 2 2 2故|PM|PF |的最大值為 10|MF |10 （63）24215.1 2答案：15三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分 10 分)已知拋物線 C：x24y 的焦點為 F，橢圓

15、E 的中心在原點，焦點在 x 軸上，點 F 是它的一個頂點，且其離心率 e32.求橢圓 E 的方程x2 y2解：因為橢圓焦點在 x 軸上，所以設(shè)橢圓 E 的方程為 1，半焦距為 c(a>0，b>0，a2 b2c>0)由題意知 F(0，1)為橢圓的短軸的上頂點，c所以 b1，又由 a32，a2b2c2，x2得 a2，c 3.所以橢圓 E 的方程為 y21.4x2 y218(本小題滿分 12 分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線 1(a>0，a 2 b2b >0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線的一個交點為 Pç ，

16、 6÷ è2 ø，求拋物線的方程和雙曲線的方程解：依題意，設(shè)拋物線的方程為 y22px(p>0)，因為點 Pç ， 6÷在拋物線上，è2 ø3所以 62p× ，所以 p2，2所以所求拋物線的方程為 y24x.歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！5æö4a b1ì2 24 aï2ìïïïîb î a b42 2 23ì2ïx2 y24

17、91 12 21 21 23æö更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂因為雙曲線的左焦點在拋物線的準線 x1 上，所以 c1，即 a2b21，3又點 Pç ， 6÷在雙曲線上， è2 ø9 6所以 1，2 2ìa b 1， ïa2 ， 由í 9 6 得í 或í 1 3 ïîb249，8.(舍去)所以所求雙曲線的方程為 4x24 y21.3x2 y2 319(本小題滿分 12 分)已知橢圓 1 及直線 l：y xm，4 2 2(1) 當直線 l 與該橢圓有公

18、共點時，求實數(shù) m 的取值范圍；(2) 求直線 l 被此橢圓截得的弦長的最大值ïy xm，解：(1)由í 消去 y，并整理得 9x26mx2m2180. î 1，36m236(2m218)36(m218)因為直線 l 與橢圓有公共點，所以0，據(jù)此可解得3 2m3 2.故所求實數(shù) m 的取值范圍為3 2，3 26m 2m218(2)設(shè)直線 l 與橢圓的交點為 A(x ，y )，B(x ，y )，由得：x x ，x x ，9 9故|AB| 1k2· （x x ）24x x1 2 1 22æ ö1ç ÷è2&#

19、248;·æ 6möç ÷è 9 ø24×2m218913· m218， 3當 m0 時，直線 l 被橢圓截得的弦長的最大值為 26.20(本小題滿分 12 分)已知拋物線 C：y212px 過點 P(1，1)過點ç0， ÷è 2ø作直線 l 與拋物線 C 交于不同的兩點 M，N，過點 M 作 x 軸的垂線分別與直線 OP，ON 交于點 A，B，其 中 O 為原點歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！61

20、30; ö1ì 12ïy æ2x1ö÷.2 12x æö æö1221 1 22更多高中數(shù)學資料請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂(1) 求拋物線 C 的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2) 求證：A 為線段 BM 的中點1解：(1)由拋物線 C：y22px 過點 P(1，1)，得 p .2所以拋物線 C 的方程為 y2x.拋物線 C 的焦點坐標為ç ，0÷è4 ø1，準線方程為 x .41(2)證明：由題意，設(shè)直線 l 的方程為 ykx (k0)，l 與

21、拋物線 C 的交點為 M(x ，2y )，N(x ，y )1 2 2ïykx ，由í 得 4k2x2(4k4)x10.îy2x1k 1則 x x ，x x .1 2 k2 1 2 4k2因為點 P 的坐標為(1，1)，所以直線 OP 的方程為 yx，點 A 的坐標為(x ，x )1 1直線 ON 的方程為 y x，點 B 的坐標為çx ，è2y x2 1x ø2因為 y 1y x y x y x 2x x1 2 2 1 1 2x 1 x2 21 1çkx ÷x çkx ÷x 2x x è

22、; 2ø è 2øx21（2k2）x x （x x ）1 2 2 1x2（2k2）×x21 1k 4k2 2k20，所以 y 1y x2 1x22x ，1即 y x x 1 1 1y x2 1x2，即|AM|BA|，故 A 為線段 BM 的中點x2 y221.(本小題滿分 12 分)已知橢圓 1(a>b>0)的離心率 ea2 b2歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！7ìc 6a 3ïî3ì12k1 k3913k12x 1 x 1 更多高中數(shù)學資料

23、請關(guān)注微信公眾號：凌風笑數(shù)學學堂6 3，過點 A(0，b)和 B(a，0)的直線與原點的距離為 .3 2(1) 求橢圓的方程；(2) 已知定點 E(1，0)，若直線 ykx2(k0)與橢圓交于 C，D 兩點，問：是否存 在 k 的值，使以 CD 為直徑的圓過 E 點，請說明理由解：(1)直線 AB 的方程為：bxayab0.依題意ï ，íab 3 ， a2b2 2ìa 3， x2 解得í 所以橢圓方程為 y2îb1.1.ìïykx2，(2)假設(shè)存在這樣的 k 值，由í 得ïîx23y230，(1

24、3k2)x212kx90.所以(12k)236(13k2設(shè) C(x ，y )，D(x ，y )，1 1 2 2)>0.則ïx1x2 2 ， í ïîx1x2 2，而 y y (kx 2)(kx 2)k2x x 2k(x x )4.要使以 CD 為直徑的圓過點 E(1， 1 2 1 2 1 2 1 20)，當且僅當 CEDE 時，則y y· 1.1 2即 y y (x 1)(x 1)0.1 2 1 2所以(k21)x x (2k1)(x x )50.1 2 1 27 7 7將式代入整理解得 k .經(jīng)驗證 k 使成立綜上可知，存在 k ，使得以 CD6 6 6為直徑的圓過點 E.y2 x222(本小題滿分 12 分)已知拋物線 C ：x24y 的焦點 F 也是橢圓 C ： 1(a>b>0)1 2 a2 b2的一個焦點，C 與 C 的公共弦的長為 2 6.過點 F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點，與 C 相1 2 1 2交于 C，D 兩點，且AC與BD同向(1)求 C 的方程；2(2)若|AC|BD|，求直線 l 的斜率歡迎大家聯(lián)系凌風笑老師，微信號 han61553,帶你進群一起學習，更有海量教學視頻等你來拿！8æö1 24a b2 ïï