高等數(shù)學(xué)(下)期末考試試卷(A)

1、第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè)高等數(shù)學(xué) a-2 試題（a ）卷（閉）學(xué)年第 二 學(xué)期使用班級(jí)級(jí)學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)一二三四五六七八總分得分一、填空題（本題4 小題，每空3 分，滿分12 分，把正確答案填在題后的橫線上）1、交換積分次序_),(),(230310102xxdyyxfdxdyyxfdx。2、xyezsin，則_dz。3、設(shè)2222:rzyxs，則_2dsxs。4、設(shè)某二階常系數(shù)齊次線性微分方程以xxececy321為通解，則該二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_。二、選擇題（本題共3 小題，每小題3 分，滿分9 分，每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，把正確答案填在題后的括號(hào)內(nèi)）1、設(shè)常數(shù)0k，則級(jí)數(shù)21) 1

2、(nnknn )(a絕對(duì)收斂；)(b條件收斂；)(c發(fā)散；)(d斂散性與k的取值有關(guān)。2、函數(shù)222222,0,0,0 xyxyxyfx yxy在原點(diǎn))0 ,0(處 )(a連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；)(b連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在；)(c不連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在；)(d不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)也不存在。3、設(shè)2222:rzyxv，則dvzyxv222為 32)(4ra；4)(rb；34)(4rc；42)(rd。三、計(jì)算（每小題6 分，共 30 分）第 2 頁(yè) 共 9 頁(yè)1、設(shè))()(1yxygxyfxz，其中g(shù)f ,具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求yxz2。2、計(jì)算ddxdyyyxi)2(22，其中d是由圓xyx222圍成的平面區(qū)

3、域。3、求lxxdyyyedxxyye)cos()sin(，其中l(wèi)為圓周22xaxy上從點(diǎn))0,2( aa到點(diǎn))0,0(o的一段弧。第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè)4、求曲面3xyzez在點(diǎn))0, 1 ,2(處的切平面及法線方程。5、求冪級(jí)數(shù)nnxnn121的收斂域與和函數(shù)。四、解答下列各題（本題共4 小題，每小題每題6 分，共 24 分）1、設(shè)函數(shù)),(yxzz由0),(xzyyzxf確定，求xz。第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè)2、求函數(shù)2eyzx在點(diǎn) p(1,0)處沿從點(diǎn)p(1,0)到點(diǎn)(2, 1)q的方向的方向?qū)?shù)。3、設(shè))(xyy滿足方程xeyyy223，且其圖形在點(diǎn))1,0(與曲線12xxy相切，求函

4、數(shù))(xy。4、將函數(shù)) 11()(xxxf展開成以 2 為周期的傅立葉級(jí)數(shù)。第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè)五、 （本題滿分8 分）求函數(shù)221216zxyxy在區(qū)域2225xy上的最大值與最小值。六、 （本題滿分9 分）已知曲線積分dyxydxxelx)()(2與路徑無(wú)關(guān)，且0)0(。（1）求)(x；（2）計(jì)算dyxydxxex)()(2)1 ,1()0,0(的值。七、（本題滿分8 分）計(jì)算2222)(zyxdxdyazaxdydz， 其中為下半球面222yxaz的下側(cè)， a為大于零的常數(shù)。第 6 頁(yè) 共 9 頁(yè)高等數(shù)學(xué)（下）期末試卷（a）參考答案一、填空題：1、yydxyxfdy2310),(；

5、2、)(cossinxdyydxxyexy；3、344r； 4、032yyy。二、選擇題：1、b； 2、c； 3、b三、計(jì)算：1、解：)()()(12yxgyxyfxyxyfxxz（3分）)()()(2yxgyyxgxyf yyxz。（ 3 分）2、解：根據(jù)對(duì)稱性，dddyxdyyx)()2(2222，（ 2 分）作極坐標(biāo)變換sincosryrx，則cos20,22r，（2 分）原式4204224cos203228cos8cos4idddrrd23221438。（2 分）3、解：添加直線段oal :1，則原式dyyyedxxyyexxlll)cos()sin)(11（4 分）222022aax

6、dxdxdyad。（2 分）4、 解：3),(xyzezyxfz , 則1,zzyxefxfyf，(2,1,0), ,11,2,0zny x e，（4 分）所以所求切平面為(2)2(1)0,240 xyxy即。（1 分）所求的法線方程為002112zyx。（1 分）5、解：因?yàn)?1|lim1nnnaa所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1r，第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè)又因?yàn)楫?dāng)1x時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 , 1(-。（2 分）dxxdxxnxxnxnxnnxnnxnnnnnnnn011011111211)11(),1ln()1(11120 xxxxdxxxxxx。（4 分）四、解答下列各題：1、解

7、：設(shè)),(),(xzyyzxfzyxxfyfxzffzx11),(21221，（3 分）故212212xyffxyzfyfxxzzx。（3 分）2、解：2|,1, 1pqpq，（1 分）21,21sin,cosl，(2 分) 2eyzx，22 eyzxy，（2 分）11cossin22zzzzzlxyxy222111e2 e(12 )e222yyyxx函數(shù)2eyzx在點(diǎn) p(1,0)處沿從點(diǎn) p(1,0)到點(diǎn)(2,1)q的方向的方向?qū)?shù)為2(1,0)12(12 )e22yx（2 分）3、解：由條件知)(xyy滿足1)0(, 1)0(yy。（1 分）由特征方程2, 1023212rrrr, 第

8、8 頁(yè) 共 9 頁(yè)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解xxececy221。（2 分）設(shè)特解為xaxey*，代入方程，得,2a，則特解為xxey2*從而得通解xxxxeececy2221, （2 分）代入初始條件得0, 121cc，則xexxy)21()(。（ 1 分）4、解：所給函數(shù)在 1 , 1上滿足收斂定理?xiàng)l件，將其延拓成以2 為周期的函數(shù)時(shí)，它在整個(gè)實(shí)軸上均連續(xù)，因此其付立葉級(jí)數(shù)在 1 ,1內(nèi)收斂于函數(shù)本身。12100 xdxa，22101) 1(2cos2nxdxnxann，),2, 1(0 nbn。（4 分）) 11(cos1) 1(221)(122xxnnxfnn。（2 分）五、解：由016201

9、22yzxzyx，得駐點(diǎn))8,6(，但該駐點(diǎn)不在區(qū)域2522yx內(nèi)，所以最值只能在2522yx達(dá)到。（3 分）設(shè))25(16122222yxyxyxf，由025021620212222yxyyfxxfyx，得)4, 3(),4, 3(),(yx，（3 分）代入目標(biāo)函數(shù)，比較得最小值125,75)4, 3()4, 3(zz最大值。（2 分）六、解：由，xqyp得,)(2)(xexfxf第 9 頁(yè) 共 9 頁(yè)則,31)(222xxdxxdxececdxeeexf因?yàn)?)0(f，所以31c，則).(31)(2xxeexf（5 分）故10210)1 ,1()0,0()(310)()(2dyeedxdyxfydxxfex)(312ee. （4 分）七、解：取xoy為xoy面上的圓盤222ayx，方向取上側(cè)，則dxdyazaxdydzazyxdxdya