2022年北京市第四中學(xué)高中數(shù)學(xué)13空間幾何體的表面積和體積提高知識(shí)講解學(xué)案新人教版必修

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 通過對(duì)柱.錐.臺(tái)體的討論,把握柱.錐.臺(tái)的表面積和體積的求法；2. 能運(yùn)用公式求解柱體.錐體和臺(tái)體的體積,并且熟識(shí)臺(tái)體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3. 明白球的表面積和體積公式推導(dǎo)的基本思想,把握球的表面積和體積的運(yùn)算公式,并會(huì)求球的表面積和體積；4. 會(huì)用柱.錐.臺(tái)體和球的表面積和體積公式求簡(jiǎn)潔幾何體的表面積和體積.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：空間幾何體的表面積和體積395219空間幾何體的表面積】要點(diǎn)一.棱柱.棱錐.棱臺(tái)的表面積棱柱. 棱錐. 棱臺(tái)為多面體, 它們的各個(gè)面均為平面多邊形,它們的表面積就為各個(gè)面的面積之和

2、運(yùn)算時(shí)要分清面的外形,精確算出每個(gè)面的面積再求和棱柱.棱錐.棱臺(tái)底面與側(cè)面的外形如下表：項(xiàng)目底面?zhèn)让婷Q棱柱平面多邊形平行四邊形面積 =底·高精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載棱錐平面多邊形三角形面積 = 12棱臺(tái)平面多邊形梯形面積 = 12·底·高· （上底 +下底）·高精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要點(diǎn)詮釋：求多面體的表面積時(shí),只需將它們沿著如干條棱剪開后綻開成平面圖形,利用平面圖形求多面體的表面積要點(diǎn)二.圓柱.圓錐.圓臺(tái)的表面積圓柱.圓錐.圓臺(tái)為旋轉(zhuǎn)體,它們的底面為圓面,易求面積,而它們的側(cè)面為曲面,應(yīng)把它們的

3、側(cè)面綻開為平面圖形,再去求其面積1圓柱的表面積（ 1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面綻開圖為一個(gè)矩形,如下圖,圓柱的底面半徑為r ,母線長(zhǎng) l ,那么這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)c=2 r ,寬等于圓柱側(cè)面的母線長(zhǎng)l（也為高）,由此可得s 圓柱側(cè) =cl =2 r l 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）圓柱的表面積：s圓柱表2r 22rl2r rl 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2圓錐的表面積（ 1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示,圓錐的側(cè)面綻開圖為一個(gè)扇形,假如圓錐的底面半徑為r ,母線長(zhǎng)為 l ,那么這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)c= r ,半徑等于圓錐側(cè)面的

4、母線長(zhǎng)為l ,由此可得它1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的側(cè)面積為s圓錐側(cè)clrl 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）圓錐的表面積：s 圓錐表 = r 2 + r l 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3圓臺(tái)的表面積（ 1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示,圓臺(tái)的側(cè)面綻開圖為一個(gè)扇環(huán)假如圓臺(tái)的上.下底面半徑22分別為 r .r ,母線長(zhǎng)為l ,那么這個(gè)扇形的面積為 r +r l ,即圓臺(tái)的側(cè)面積為s 圓臺(tái)側(cè) = r +r l 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）圓臺(tái)的表面積：s圓臺(tái)表 r 'rr 'lrl 精品學(xué)

5、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要點(diǎn)詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí),可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特點(diǎn)入手,將其綻開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑.母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面綻開圖中的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系4圓柱.圓錐.圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示【高清課堂：空間幾何體的表面積和體積395219 空間幾何體的體積】要點(diǎn)三.柱體.錐體.臺(tái)體的體積1柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積s 和高 h 的乘積,即v 棱柱=sh2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓柱的體積：底面半徑為r ,高為 h 的圓柱的體積為v 圓柱 =sh= r綜上,柱體的體積公式為v=sh 2錐體的體積公

6、式棱錐的體積：假如任意棱錐的底面積為s,高為 h,那么它的體積hv棱錐1 sh 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓錐的體積：假如圓錐的底面積為s,高為 h,那么它的體積v圓錐1 sh ；假如底面積半徑為r ,用3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2r 表示 s,就 v圓錐1r 2h 31精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上,錐體的體積公式為3臺(tái)體的體積公式vsh 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載棱 臺(tái) 的 體 積 ： 如 果 棱 臺(tái) 的 上 . 下 底 面 的 面 積 分 別 為s . s , 高 為h , 那 么 它 的 體 積 為精

7、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載v棱臺(tái)1 hsss'3s ' 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓臺(tái)的體積：假如圓臺(tái)的上.下底面半徑分別為r .r ,高為 h,那么它的體積為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載v圓臺(tái)1 h sss's '1hr 2rr 'r '2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載33精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上,臺(tái)體的體積公式為1vhsss' 3s ' 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4柱體.錐體.臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所

8、示【高清課堂：空間幾何體的表面積和體積395219 球的體積與表面積】要點(diǎn)四.球的表面積和體積1球的表面積（ 1）球面不能綻開成平面,要用其他方法求它的面積（ 2）球的表面積2設(shè)球的半徑為r,就球的表面積公式s球=4 r 即球面面積等于它的大圓面積的四倍2球的體積設(shè)球的半徑為r,它的體積只與半徑r 有關(guān),為以r 為自變量的函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載球的體積公式為v球4r3 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要點(diǎn)五.側(cè)面積與體積的運(yùn)算1多面體的側(cè)面積與體積的運(yùn)算在把握直棱柱.正棱錐.正棱臺(tái)側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上,對(duì)于一些較簡(jiǎn)潔的幾何組合體的表面積與體

9、積,能夠?qū)⑵浞纸獬芍?錐.臺(tái).球,再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形.三角形.梯形等）,以求得其表面積與體積要留意對(duì)各幾何體相重疊部分的面積的處理,并要留意一些性質(zhì)的敏捷運(yùn)用（ 1）棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中,有如下比例關(guān)系：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s小錐底s大錐底s小錐全s大錐全s小錐側(cè)s大錐側(cè)對(duì)應(yīng)線段（如高.斜高.底面邊長(zhǎng)等）的平方之比精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載要點(diǎn)詮釋：這個(gè)比例關(guān)系很重要,在求錐體的側(cè)面積.底面積比時(shí),會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程在求臺(tái)體的側(cè)面積.底面積比時(shí),將臺(tái)體補(bǔ)成錐體,也可應(yīng)用這個(gè)關(guān)系式（ 2）有關(guān)

10、棱柱直截面的補(bǔ)充學(xué)問在棱柱中,與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面,正棱柱的直截面為其上下底面及與底面平行的截面棱柱的側(cè)面積與直截面周長(zhǎng)有如下關(guān)系式：s 棱柱側(cè) =c 直截 l （其中 c直截 . l 分別為棱柱的直截面周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)）,v 棱柱 =s直截 l （其中 s 直截 . l 分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長(zhǎng)）2旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的運(yùn)算（ 1）圓柱.圓錐.圓臺(tái)的側(cè)面積分別為它們側(cè)面綻開圖的面積,因此弄清側(cè)面綻開圖的形式及側(cè)面綻開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系,為把握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵（ 2）運(yùn)算柱體.錐體和臺(tái)體的體積,關(guān)鍵為依據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分運(yùn)用多面體

11、的有關(guān)問題的關(guān)鍵精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【典型例題】類型一.簡(jiǎn)潔幾何體的表面積例 1如右圖,有兩個(gè)相同的直三棱柱,高為2 ,底面三角形的三邊a長(zhǎng)分別為 3a.4a.5a a0 用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱,就a 的取值范疇為【答案】 0a15 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】底面積為6a 2 ,側(cè)面面積分別為6.8.10,拼成四棱柱時(shí),有三種情形：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s86246a224a228s24a2210824a236、s24a2210624a232、123拼成三棱柱時(shí)只有一種情形：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

12、- 歡迎下載表面積為26a22108612a248精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題意得24a 22812a 248 ,解得 0a15 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【總結(jié)升華】 （ 1）直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和高的乘積；表面積等于它的側(cè)面積與上.下兩個(gè)底面的面積之和（ 2）求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一為定義法；二為公式法所謂定義法就為利用側(cè)面積為各側(cè)面面積之和來求,公式法即直接用公式求解舉一反三：【變式 1】 一個(gè)圓柱的底面面積為s ,側(cè)面綻開圖為正方形,那么該圓柱的側(cè)面積為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

13、資料 - - - 歡迎下載a 4sb 2scsd 23s3【答案】 a【解析】由圓柱的底面面積為s ,求出圓柱的半徑為rs ,進(jìn)一步求出側(cè)面積為4s 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2在底面半徑為r,高為 h 的圓錐內(nèi)有一內(nèi)接圓柱,求內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)圓柱的高,并求此時(shí)側(cè)面積的最大值【思路點(diǎn)撥】一般要畫出其軸截面來分析,利用相像三角形求解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載h【答案】高為21側(cè)面 積的最大值為rh 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】如右圖,設(shè)圓柱的高為x ,其底面半徑為r ,就 rhx ,rh精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

14、- - 歡迎下載rhx rh圓柱的側(cè)面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s側(cè)2rx2 rxhx2r x2hx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載hh精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2rhh 22rhhr精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 xh 2 x24h 2,22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) xh 時(shí),2s側(cè)最大值hr 2h1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)圓柱的高為,此時(shí)側(cè)面積的最大值為2rh 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

15、下載【總結(jié)升華】與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的問題,常作軸截面,利用相像比得出變量之間的關(guān)系,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題解決舉一反三：【變式 1】 圓錐的高和底面半徑相等,它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和底面半徑也相等,求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比【答案】21【解析】如右圖為其軸截面圖,設(shè)圓柱.圓錐的底面半徑分別為r .r,圓錐的母線長(zhǎng)為l rrrr1就有,即,rrr2 r=2r, l2r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s圓柱表2r 22r 24r 24r 2121精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s圓錐表r2rr221r2214r 221精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【總結(jié)升華

16、】這為一個(gè)圓錐和圓柱的組合體旋轉(zhuǎn)體一般要畫出其軸截面來分析,利用相像三角形求各元素之間的關(guān)系,再利用相應(yīng)表面積公式運(yùn)算例 3粉碎機(jī)的下料斗為正四棱臺(tái)形,如圖,它的兩底面邊長(zhǎng)分別為80 mm和 440 mm,高為 2 00 mm運(yùn)算制造這一下料斗所需鐵板的面積【思路點(diǎn)撥】問題的實(shí)質(zhì)為求正四棱臺(tái)的側(cè)面積,欲求側(cè)面積,需先求出斜高可在有關(guān)的直角梯形中求出斜高5【答案】 2.8 × 10【解析】如下列圖,o.o1 為兩底面的中心,就oo1 為正棱臺(tái)的高設(shè)ee1 為斜高,過e1 作 e1f oo1 交 oe于 f,就 e1f oe,在直角梯形oo1e1e 中,11eee f 2ef 2精品學(xué)習(xí)

17、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oo 2 eoe o 2111精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2002 44080 22269mm 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載邊數(shù) n=4,兩底面邊長(zhǎng)a=440 mm, a =80 mm,斜高 h 269 mm,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 s正棱臺(tái)側(cè)1 c 'ch '1 na 'a h '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2214804402692.8105 mm 2 2答：制造這一下料斗約需鐵板2.8 ×105 mm2【總結(jié)升華】（ 1）解決與正棱

18、臺(tái)有關(guān)的運(yùn)算問題,關(guān)鍵為利用有關(guān)直角梯形,即上圖中的梯形oee1o1.梯形 oaa1o1.梯形 aee1a1（ 2）求棱臺(tái)的側(cè)面積,只需利用公式求解即可,這就需要求出上.下底面半徑以及母線長(zhǎng)舉一反三：【變式 1】圓臺(tái)的上.下底面半徑分別為10 cm 和 20 cm ,它的側(cè)面綻開扇環(huán)的圓心角為180°,那么圓臺(tái)的表面積為多少？（結(jié)果中保留 ）【答案】 1100【變式 2】 鄰邊長(zhǎng)為a,b 的平行四邊形,且a b,分別以 a,b 兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)平行四邊形,所得幾何體的表面積分別為s1, s2,就有（）a s1 s2b s1s2c s1s2ds1 s2【答案】 a類型二.簡(jiǎn)潔幾

19、何體的體積例 4已知一個(gè)三棱臺(tái)上.下底面分別為邊長(zhǎng)為20 cm 和 30 cm 的正三角形,側(cè)面為全等的等腰梯形,且側(cè)面面積等于上.下底面面積之和,求棱臺(tái)的高和體積【答案】 43cm1900 cm3【解析】如右圖所示,在三棱臺(tái)abc ab c中, o.o分別為上.下底面的中心, d.d分別為bc. b c的中點(diǎn),就dd為梯形bccb的高,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 s側(cè)320302dd '75dd ' 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 ab =20 cm, ab=30 cm,就上.下底面面積之和為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

20、迎下載s上s下32222030 3253cm 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 s 側(cè)=s 上+s 下,得 75dd '3253 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 dd '133cm ,3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載o ' d '320103 cm ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載63精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3od3053cm ,622精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以棱臺(tái)的高h(yuǎn)o 'od'

21、d 2odo ' d '21335310343cm ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載33由棱臺(tái)的體積公式,可得棱臺(tái)的體積為vh ssss上下上下34332023302320301900cm 3 3444【總結(jié)升華】留意構(gòu)造簡(jiǎn)潔幾何體中的特別三角形與特別梯形,它們的數(shù)量關(guān)系往往為連接已知與未知的橋梁,要留意利用舉一反三：2【高清課堂：空間幾何體的表面積和體積395219 例 3 】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2【變式 1】棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別為245 cm臺(tái)的體積；【答案】 2325和 80 cm ,截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為35cm,求這個(gè)棱精

22、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【變式 2】（ 1）各棱長(zhǎng)都為1 的正四棱錐的體積v= （ 2）如右圖,正方體abcd a1b1c1d1 的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn) e,f 在棱 a1b1 上,動(dòng)點(diǎn)p, q 分別在棱ad, cd上如ef=1, a1e=x, dq=y, dp=z（ x, y, z 大 于零）,就四周體 pefq的體積（）a與 x, y, z 都有關(guān)b與 x 有關(guān),與y, z 無關(guān) c與 y 有關(guān),與x, z 無關(guān) d與 z 有關(guān),與x, y 無關(guān)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【答案】（ 1）212（ 2） d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析

23、】從圖中可以分析出,efq 的面積永久不變,為面a1b1cd 面積的而當(dāng)p 點(diǎn)變化時(shí),它到面a1b1cd3的距離為變化的,即y 的大小,影響p 到面 a1b1cd的距離,因此會(huì)導(dǎo)致四周體體積的變化應(yīng)選d 例 5一個(gè)幾何體的三視圖如下列圖 單位： m,就這個(gè)幾何體的體積為m【答案】6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】由三視圖可知這個(gè)幾何體為由一個(gè)圓錐和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的其體積為等于圓錐的體積與長(zhǎng)方體的體積之和精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 v1r 2habc1123321精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載333=6 （ m）【總結(jié)升華】 給出幾何體

24、的三視圖, 求該幾何體的體積或表面積時(shí),首 先 依據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),再利用公式求解此類題目為新課 標(biāo) 高考的熱點(diǎn),應(yīng)引起重視舉一反三：【變式 1】 某幾何體的三視圖如下列圖,就它的體積為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2a 83b 83c 82d 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【答案】 a【解析】由三視圖可知,其幾何體為由一個(gè)正方體挖去一個(gè)圓錐精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所得,所以其體積為正方體的體積減去圓錐的體積之差,即類型三.球的表面積與體積823精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6已知過球面上三點(diǎn)a.b.c

25、的截面到球心的距離等于球半徑的一半,且ac=bc=,6面積與球的體積ab=4,求球面精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【答案】 54 276【解析】 如右圖, 設(shè)球心為o,球半徑為r,作 oo1平面 abc于點(diǎn) o1,由于 oa=ob=oc=,r就 o1 為 abc的外心,設(shè)m為 ab的中點(diǎn),由于ac=bc,就 o1 cm設(shè) o1m=x,連接 o1a, o1b,易知 o1m ab,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 o1 a22x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載o1ccmo1 m又 o1a=o1c,6

26、222x 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22解得 xx26222x 724精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載92 o1 ao1bo1c4在 rt ooa 中,r1o1o, oo1 a=90°, oa=r,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2r由勾股定理得292r2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載24解得 r36 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2就 s 球=4 r =54, v球4r33276精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【總結(jié)升華】此題利用球面的

27、性質(zhì),依據(jù)條件中的等量關(guān)系建立方程例 7已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a （ 1）求它的外接球的體積（ 2）求它的內(nèi)切球的表面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【答案】（ 1） 8627a3 （ 2） 47a 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】如右圖,作pe垂直底面abcd于 e,就 e 在 ac上（ 1）設(shè)外接球的半徑為r,球心為 o,連接 oa.oc,就 oa=oc=o,p o為 pac的外心,即 pac的外接圓半徑就為球的半徑 ab=bc=a, ac2a papcac2a , pac為正三角形2 a rae26 a ,cosoaecos303

28、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 v球4r386a 3 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載327（ 2）設(shè)內(nèi)切球的半徑為r ,作 pebc于 f,連接 ef精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就有 pfpb2bf 22a2 a 27 a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s pbc2211772bcpfaaa,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2224精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s4ss71a2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載棱錐全pbc底精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選

29、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 pepf 2ef2227 aa6 a 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 v1 sh1 a 26 a6 a 3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載棱錐底3326精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3v棱錐 r36 a36426 a , s4r 247a 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s棱錐全71a2123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載球【總結(jié)升華】多面體之間或多面體與球之間的切接關(guān)系,為一種空間簡(jiǎn)潔幾何體之間的位置關(guān)系處精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

30、習(xí)資料 - - - 歡迎下載理這類問題時(shí),一般可以采納兩種轉(zhuǎn)化方法：一為轉(zhuǎn)化為平面圖形之間的內(nèi)切或外接關(guān)系；二為利用分割的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使運(yùn)算和推理變得簡(jiǎn)潔,這里表達(dá)的轉(zhuǎn)化思想為立體幾何中特別重要的思想方法舉一反三：【變式 1】 表面積為324的球,其內(nèi)接正四棱柱的高為14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.【答案】 576【解析】設(shè)球半徑為r,正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,就作軸截面如圖,aa14 , ac2a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 4r2324, r9 , ac2r18 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22 acaccc82 , a8 , s表2884814576.【總結(jié)升華】解決球與其他幾何體的內(nèi)切.外接問題的關(guān)鍵在于認(rèn)真觀看.分析幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),弄 清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,選準(zhǔn)正確角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球和其他幾何體的各種元素,盡可能地表達(dá)這些元素之間的關(guān)系）,達(dá)到空間問題平面化的目的【變式 2】 求體積為 v 的正方體的外接球的表面積和體積3【答案】v2【解析】如下列圖,顯示正方體的中心為其外接球的球心,過球心作平行于正方體任一面的球的截面,就其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點(diǎn)均在圓內(nèi),而不為在圓上）因此,這樣的截面無法反映球的半徑與正方體的棱長(zhǎng)的關(guān)系,留意到球心必在正方