考點29 空間幾何體的表面積與體積-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點一遍過_20210103224733

1、 考點29 空間幾何體的表面積與體積了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.一、柱體、錐體、臺體的表面積1旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱（底面半徑為r，母線長為l）圓錐（底面半徑為r，母線長為l）圓臺（上、下底面半徑分別為r,r,母線長為l）側(cè)面展開圖底面面積 側(cè)面面積 表面積 2多面體的表面積多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.棱錐、棱臺、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：二、柱體、錐體、臺體的體積1柱體、錐體、臺體的體積公式幾何體體積柱體(s為底面面積，h為高),(r為底面半徑，h為高)錐體(s為底面面積，h為高)， (r為底面半徑，h為高)臺體(s、s分別為上、下底面面積，h為高

2、)，(r、r分別為上、下底面半徑，h為高)2柱體、錐體、臺體體積公式間的關(guān)系3必記結(jié)論（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差；（2）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.三、球的表面積和體積1球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為r，它的體積與表面積都由半徑r唯一確定，是以r為自變量的函數(shù)，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為.2球的切、接問題（常見結(jié)論）（1）若正方體的棱長為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體所有棱相切的球的半徑是（2）若長方體的長、寬、高分別為，則長方體的外接球半徑是（3）若正四面體的棱長為，則正四面體的內(nèi)切球半徑

3、是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是（4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑（5）球與圓臺的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺的高考向一 柱體、錐體、臺體的表面積1已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積2多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不遺漏.3求多面體的側(cè)面積時，應(yīng)對每一個側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積.典例1 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何

4、體的表面積為abcd【答案】d【解析】由三視圖可知，該幾何體為兩個半圓柱構(gòu)成，其表面積為，故選d【名師點睛】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結(jié)構(gòu)比較簡單，易錯點是兩個幾何體重疊的部分忘記去掉，求表面積時常會設(shè)計此種陷阱典例2 若正四棱柱的底邊長為2，與底面成45°角，則三棱錐的表面積為a bc d【答案】a【解析】由與底面成45°角，且正四棱柱的底邊長為2，可知棱柱的高為，故三棱錐的表面積為 故答案為a.1某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為a46b48c50d522榫卯是在兩個木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式，凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯，榫和卯咬合，起

5、到連接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖所示是一種榫卯的三視圖，其表面積為a192 b186c180 d198考向二 柱體、錐體、臺體的體積空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題. 求柱體、錐體、臺體體積的一般方法有：（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解（2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進(jìn)行求解等體積法：一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解等體積法也稱

6、等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積.割補法：運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積之和;如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個幾何體的體積因此，從一定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減

7、”法（3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.典例3 如圖所示的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為abcd【答案】d【解析】根據(jù)三視圖可得，該幾何體是三棱柱割去一個三棱錐所得的幾何體，如圖所示：所以其體積為.故選d.典例4 如圖，幾何體ef-abcd中，de平面abcd，cdef是正方形，abcd為直角梯形，ab/cd，addc，是腰長為22的等腰直角三角形（1）求證：bcaf；（2）求幾何體ef-abcd的體積.【解析】（1）因為是腰長為22的等腰直角三角形，所以acbc.因為de平面abcd，所以d

8、ebc.又de/cf，所以cfbc，又accf=c，所以bc平面acf.所以bcaf.（2）因為是腰長為22的等腰直角三角形，所以ac=bc=22,ab=ac2+bc2=4，所以ad=bcsinabc=22×sin45°=2,cd=ab-bccosabc=4-22×cos45°=2.所以de=ef=cf=2，由勾股定理得ae=ad2+de2=22，因為de平面abcd，所以dead.又addc,dedc=d，所以ad平面cdef.所以.3已知一個幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積為，則的值為abcd4如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，為棱

9、的中點，. （1）求證：平面； （2）求斜三棱柱的體積. 考向三 球的表面積和體積1確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其半徑.2球與幾種特殊幾何體的關(guān)系：(1)長方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為31；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；(4)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；(5)球與圓臺的底面和側(cè)面均

10、相切，則球的直徑等于圓臺的高3與球有關(guān)的實際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系.4有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關(guān)系式：.典例5 九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐為鱉臑， 平面，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為abcd【答案】c【解析】如圖，由題可知，底面為直角三角形，且，則，則球的直徑，則球的表面積.故選c.典例6 四棱錐的底面為正方形，底面，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則的長為

11、a3b2c1d【答案】c【解析】連接ac、bd交于點e，取pc的中點o，連接oe，可得oepa，底面，oe底面abcd，可得o到四棱錐的所有頂點的距離相等，即o為球心，設(shè)球的半徑為r，可得，則，解得pa=1.故選c5一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是的圓，則這個幾何體的表面積是a bc d6已知是某球面上不共面的四點，且， ，則此球的體積為a bc d考向四 空間幾何體表面積和體積的最值求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路：一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；二是利

12、用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決.典例7 如圖,a1a是圓柱的母線,ab是圓柱底面圓的直徑,c是底面圓周上異于a,b的任意一點,a1a=ab=2.（1）求證：bc平面a1ac;（2）求三棱錐a1-abc的體積的最大值.【解析】（1）因為c是底面圓周上異于a,b的任意一點,且ab是圓柱底面圓的直徑,所以bcac.因為aa1平面abc,bc平面abc,所以aa1bc.又aa1ac=a,所以bc平面aa1c.（2）方法一：設(shè)ac=x(0<x<2),在中,bc=ab2-ac2=4-x2,故v三棱錐a1-abc=13sabc×

13、aa1=13×12×ac×bc×aa1=x4-x2=13x2(4-x2)=13-(x2-2)2+4.因為0<x<2,0<x2<4,所以當(dāng)x2=2,即x=2時,三棱錐a1-abc的體積取得最大值.方法二：在中,ac2+bc2=ab2=4,從而v三棱錐a1-abc=13sabc×aa1=13×12×ac×bc×aa1=ac×bc13×ac2+bc22=23,當(dāng)且僅當(dāng) ac=bc=2時等號成立.所以三棱錐a1-abc的體積的最大值為.7表面積為16的球內(nèi)接一個正三棱柱

14、,則此三棱柱體積的最大值為a4b10c8d151一個長方體共一頂點的三條棱長分別是，這個長方體的八個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是a12 b18c36 d62的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，則的面積為ab1cd23某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為a1b2c3d64一個四棱錐的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為ab4cd5一個與球心距離為2的平面截球所得圓面面積為，則球的表面積為a20b202c16d1626我國古代數(shù)學(xué)名著孫子算經(jīng)中有如下問題：“今有筑城，上廣二丈，下廣五丈四尺，高三丈八尺，長五千五百五十尺，秋程

15、人功三百尺.問：須工幾何？”意思是：“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻，其中底面等腰梯形的上底為丈、下底為丈、高為丈，直棱柱的側(cè)棱長為尺.如果一個秋天工期的單個人可以筑出立方尺，問：一個秋天工期需要多少個人才能筑起這個城墻？”（注：一丈等于十尺）a bc d7如圖所示，半徑為4的球o中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為abcd8已知圓錐的高和底面半徑之比，且圓錐的體積，則圓錐的表面積為abcd9如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為abcd10中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典九章算術(shù)系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底

16、面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，若鱉臑的體積為l，則陽馬的外接球的表面積等于abcd11如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為，則的值為abcd112已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，若，且，則此球的表面積等于abcd13已知等邊三角形的邊長為2，將該三角形繞其任一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_.14若將一個圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開，其展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_.15將若干

17、毫升水倒入底面半徑為4cm的圓柱形器皿中,量得水面高度為8cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中,則水面的高度是_cm.16正三棱錐的高為，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切，則此球的表面積是 17已知三棱錐的外接球半徑為2，平面，則該三棱錐體積的最大值為_18已知四面體中，則四面體的體積為_.19如圖所示的幾何體為一簡單組合體，在底面中，.（1）求證：平面；（2）求該組合體的體積.1（2019年高考浙江卷）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式v柱體=sh，其中s是柱體的底面積，h是柱體的高若某

18、柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是a158b162c182d3242（2019年高考全國卷理科）已知三棱錐pabc的四個頂點在球o的球面上，pa=pb=pc，abc是邊長為2的正三角形，e，f分別是pa，ab的中點，cef=90°，則球o的體積為abcd3（2018年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是a2b4c6d84（2018年高考新課標(biāo)理科）設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為abcd 5（2017新課標(biāo)全國理科）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線

19、畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為abcd6（2017新課標(biāo)全國理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為ab cd7（2017浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是abcd8（2016新課標(biāo)全國理科）如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是a17b18c20d28 9（2019年高考全國卷理科）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3d打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐oefgh后所得的幾何

20、體，其中o為長方體的中心，e，f，g，h分別為所在棱的中點，3d打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g.10（2019年高考北京卷理科）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為_11（2019年高考天津卷理科）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_12（2019年高考江蘇卷）如圖，長方體的體積是120，e為的中點，則三棱錐ebcd的體積是 .13（2017山東理科）由一個長

21、方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為 .14（2017天津理科）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_15（2017江蘇）如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是 .16（2018江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為_17（2018天津卷理）已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點e，f，g，h，m(如圖)，則四棱錐的體積為 .18（2018新課標(biāo)ii理科）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角

22、為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_變式拓展1【答案】b【解析】該幾何體是如圖所示的一個四棱錐，棱錐的底面是邊長為4的正方形，一條長為3的側(cè)棱與底面垂直，4個側(cè)面都是直角三角形，由所給數(shù)據(jù)可得該幾何體的表面積為，故選b2【答案】a【解析】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為組合體，上部分是長方體，棱長分別為，下部分為長方體，棱長分別為，其表面積為.故選a.【名師點睛】本題考查了求組合體的表面積問題，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體圖形，注意題目中的計算.3【答案】a【解析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖：是一個三棱錐和一個三棱柱的組合體，底面都是腰長為的等腰直角三角形，高為，所以體積為

23、，解得故選a【名師點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力的最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體的三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.4【解析】（1）如圖，連接，因為底面是邊長為的正三角形，所以，且，因為，所以，所以，又因為，所以，所以， 又因為，所以平面.（2）設(shè)斜三棱柱的體積為，則所以斜三棱柱的體積為【名師點睛】本題考查了

24、立體幾何中線面垂直的證明，幾何體體積的求法，熟練掌握線面關(guān)系的證明原理非常重要，屬于基礎(chǔ)題.（1）根據(jù)底面為正三角形，易得；由各邊長度，結(jié)合余弦定理，可求得的值，再根據(jù)勾股定理逆定理可得，從而可證平面；（2）將斜棱柱的體積，轉(zhuǎn)化為棱錐的體積，結(jié)合三角形面積公式可求解.5【答案】a【解析】由三視圖知：幾何體是球體切去后余下的部分，球的半徑為2，幾何體的表面積s=（1）×4×22+×22=16故答案為a.【名師點睛】(1)本題主要考查由三視圖找到幾何體原圖，考查幾何體的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象推理能力.(2)通過三視圖找?guī)缀误w原圖的方法

25、有兩種：直接法和模型法.6【答案】a【解析】由，得，又，所以平面，則，又,所以都是直角三角形，由三棱錐的外接球的性質(zhì)知，球心為的中點，且球的半徑，所以球的體積，選a【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.先確定三角形bcd外接圓的半徑，再解方程得外接球半徑，最后根據(jù)球的體積公式得結(jié)果.7【答案】c【解析】由題意,得該球的半徑為2,設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為2

26、h(0<h<2),底面邊長為a,如圖，則,o'o=h,h2+(3a3)2=4，即a2=12-3h2，則該正三棱柱的體積為，則，當(dāng)時，v'>0；當(dāng)時，v'<0，即當(dāng)時，取到極大值,也是最大值，為8,故所求三棱柱的體積的最大值為8.故選c考點沖關(guān)1【答案】a【解析】長方體的體對角線的長是，所以球的半徑是，所以該球的表面積是，故選a.【名師點睛】該題考查的是有關(guān)長方體的外接球的表面積問題，在解題的過程中，首先要明確長方體的外接球的球心應(yīng)在長方體的中心處，即長方體的體對角線是其外接球的直徑，從而求得結(jié)果.2【答案】d【解析】，原圖形中兩直角邊長分別為2，

27、2，因此，的面積為故選d3【答案】b【解析】由題意可知該幾何體的形狀如圖：，四邊形bcde是矩形，所以該幾何體的體積為：故選b【名師點睛】本題考查幾何體的體積的求法，畫出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可三視圖與幾何體的對應(yīng)關(guān)系的判斷是解題的關(guān)鍵4【答案】d【解析】由三視圖可知該幾何體為如圖所示的正四棱錐：底面為邊長為2的正方形，四個側(cè)面為邊長為2的等邊三角形故該幾何體的表面積為故選d5【答案】a【解析】用一平面去截球所得截面的面積為，所以小圓的半徑為1.已知球心到該截面的距離為2,所以球的半徑為1+4=5，所以表面積為45=20.故選a.6【答案】b【解析】根據(jù)棱柱的體積公式

28、，可得城墻所需土方為（立方尺），一個秋天工期所需人數(shù)為，故選b.7【答案】c【解析】由題意知，球的半徑，所以球的表面積為.設(shè)圓柱的底面半徑為、高為，則，得，即，所以圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)，即時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.此時球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是.故選c.8【答案】d【解析】圓錐的高和底面半徑之比，又圓錐的體積，即，解得，母線長為，則圓錐的表面積為故選d9【答案】a【解析】由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖可得，該幾何體是在一個半球中挖出四分之一圓錐，其中球的半徑為，圓錐的底面半徑為，高為，故所求體積為，故選a10【答案】a【解析】由題意，因為平面，四邊形為正方形，又鱉臑的體積為，所以，

29、解得，而陽馬的外接球的直徑是以為寬，長，高的長方體的體對角線，所以，即，則外接球的表面積為故選a【名師點睛】（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓面起襯托作用（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究棱錐的外接球的問題11【答案】b【解析】由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的直三棱柱，其中，則，所以該幾何體的表面積為，得.故選b12【答案】d【解析】在底面三角形中，由，利用余弦定理可得：，即，取為中點，則為的外心，可得三角形外接圓的

30、半徑為1，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，則即三棱錐的外接球的半徑為三棱錐的外接球的表面積等于故選d13【答案】【解析】將邊長為2的正三角形繞其任一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體為一個組合體，該組合體由兩個同底的圓錐組成，兩個圓錐的底面半徑均為，高均為1，則體積為.故答案為.14【答案】【解析】因為展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線，圓錐的底面的周長為，因此底面的半徑，根據(jù)勾股定理，可知圓錐的高，所以圓錐的體積為.15【答案】4318【解析】設(shè)倒圓錐形器皿中水面的高為h cm,則水面圓的半徑為htan30°=,則由×42×8=13&#

31、215;()2×h,解得h=4318.16【答案】【解析】如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點，在上，的邊長為，所以，所以，可以得到，由等體積法得：，所以，解得：，所以此球的表面積是【名師點睛】球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法 17【答案】【解析】由題意，在長方體中作出滿足題意的三棱錐如圖所示：則該三棱錐的外接球即是其所在長方體的外接球，故，又，所以，設(shè)，由可得，所以該三棱錐的體積為.當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值.故答案為.18【答

32、案】【解析】如圖，取中點，中點，連結(jié)， 四面體中，平面，又，則.故答案為19【解析】（1），又，又，又，平面.（2）連接，過作于，平面，又，是等邊三角形，.，又，.，.該組合體的體積.直通高考1【答案】b【解析】由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為.故選b.【名師點睛】本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積，常規(guī)題目.難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、視圖用圖能力、基本計算能力的考查.易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤.為避免出錯

33、，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算.2【答案】d【解析】解法一：為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，又，分別為，的中點，又，平面，平面，為正方體的一部分，即，故選d解法二：設(shè)，分別為的中點，且，為邊長為2的等邊三角形，又，中，由余弦定理可得，作于，為的中點，又，兩兩垂直，故選d.【名師點睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，補體法解決外接球問題可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補體成正方體解決3【答案】c【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2，底面為直角梯形，上、下底分別為1，2，梯形的高為2，因此幾何體的體積為選c.【名師點睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀

34、,再在具體幾何體中求體積或表面積等.4【答案】b【解析】如圖所示，設(shè)點m為三角形abc的重心，e為ac中點，當(dāng)點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，,點m為三角形abc的重心，中，有，故選b.【名師點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)點在平面上的射影為三角形abc的重心時，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由m為三角形abc的重心，計算得到，再由勾股定理得到om，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型.5【答案】b【解析】由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體

35、積，故該組合體的體積故選b【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解6【答案】b【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示：由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選b.【名師點睛】（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)

36、量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解.7【答案】a【解析】根據(jù)所給三視圖可還原幾何體為半個圓錐和半個棱錐拼接而成的組合體，所以，幾何體的體積為，選a【名師點睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：（1）首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；（2）觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左

37、、右的高度；（3）畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整8【答案】a 【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示.該幾何體是一個球被切掉左上角的后剩余的部分,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積與三個扇形面積之和,即故選a9【答案】118.8【解析】由題意得，四棱錐oefgh的高為3cm， 又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為【名師點睛】本題考查幾何體的體積問題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解根據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量即可.10【答案】40【解析】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應(yīng)的幾何體為正

38、方體去掉棱柱之后余下的幾何體，則幾何體的體積.故答案為40.【名師點睛】本題首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體，再根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.屬于中等題.(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解11【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.【名師點