(完整word版)五年級-長方體正方體經(jīng)典例題(精選版!)(良心出品必屬精品)

1、1長方體和正方體【知識點梳理】一、長方體和正方體1.我們周圍許多物體的形狀都是長方體或正方體（正方體也叫立方體）。舉例：長方體：磚塊、箱子/正方體：魔方、骰子2.（1）長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。 在一個長方體中，相對的2個面完全相同，相對的4條棱長度相等。長方體有12條棱,8個頂點。（2）相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長、寬、高。3.正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。正方體有6個面，12條棱，8個頂 點，6個面都是正方形，面積都相等，12條棱長度都相等。4.正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體。我們可以用上圖來表示長方體和正方

2、 體的關系。當長方體有兩個相對的面是正方形時，其他的4個面是相等的長方形。 （在長方體中最多可以 有4個相同的面）5） 正方體的6個面都是相等的正方形，12條棱的長度都相等。6） 正方體是特殊的長方體。二、表面積1.長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。舉例：表面積即為長、正方體展開圖總面積。2.日常生活和生產(chǎn)中，經(jīng)常需要計算一些長方體或正方體的表面積。舉例：粉刷房間、貼瓷磚、包裝禮盒、油漆水管、制作玻璃魚缸（求面的大?。?3.求長方體、正方體表面積的公式：S長方體=（長x寬+長x高+寬x高）x2 =2（ab+a - h+b - h）2S正方體二二棱長x棱長x6 =6a4.注意：求幾個

3、面。當計算長方體的表面積時，有時候需要計算的不需要是6個面，因此需要仔細理解題意，求出需要的面的面積和。求5個面的面積是：無蓋的盒子、箱子等；游泳池的四壁和底面、一個抽屜、一個火柴盒的 內(nèi)盒、一本影集的圭寸套；求4個面的面積是：一根方柱的涂漆表面、一個盒子四周的商標紙、一個煙囪或通風管或排 水管、一個火柴盒的外盒；三、體積1.物體所占空間的大小叫做物體的體積。長方體和正方體的表面積是指6個面的總面積；體積是指所占空間的大小；容積是指所容納 物體的體積（比如說，一個洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積）；一個物體的容積一般都比它的體積小。舉例：手指尖約占了1立方厘米的空間，即它的體

4、積約為1立方厘米。2.計量體積用體積單位，常用的體積單位有：立方厘米、立方分米和立方米，可以分別寫 成cmL dn3、m。舉例：一個粉筆盒的體積約為1 dm3。3.求長方體、正方體體積的公式：V長方體*x寬x高=a b h=底面積x咼V正方體二二棱長3=a3=底面積x高24.在工程上，“1nV的土、沙、石等均簡稱“1方”。舉例：建一游泳池，約要挖土6000方。5.體積單位間的進率：1dm=1000 cm31m3=1000 dm3舉例：1.36 dm3=1360 cm34.573m3=4573 dm四、容積1.箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 舉例：一個汽車油箱約能容納

5、40L油，即它的容積為40L。2.計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升， 也可以寫成L和ml。舉例：一個燒杯約能裝水500ml。3.容積單位間及容積單位和體積單位間的進率：1L=1000ml 1L=1dm31ml=1cm333舉例：520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm =5670cm4.形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求得它們的體積。舉例：一個燒杯中原有水200毫升，放入西紅柿后水位上升至350毫升處，則西紅柿的體 積就是水面上升的那部分水的體積：350-200=150(ml)=150( cni五、補充的知識點1)如果將長方體沿平行一個面的方向

6、切下去，那么得到的2個長方體的表面積的和 比原來一個大長方體的表面積多了，多出了切口的2個面，而且分3種情況：一種是多 了2個上面或下面；一種是多了2個左面或右面；一種是多了2個前面或后面。(需要 考慮表面積增加的最多和最少的情況)2)反過來如果將2個相同的長方體粘合在一起，那么也分成3種不同的情況，即粘 合的是上下面、左右面、前后面。3)如果將一個長方體沿高削去一塊就得到一個正方體，那么正方體的表面積比原先 的長方體的表面積少了一周4個面的面積；并且可以知道原先的長方體就是一個特殊的 長方體，肯定有2個相對的面是正方形。4)一個正方體的棱長擴大幾倍，那么表面積就擴大這個數(shù)的平方倍，體積就擴大

7、這 個數(shù)的立方倍。5)等積變形就是指物體的形狀發(fā)生的變化而體積是相等的，一般有兩種情況：一種 是鍛造，例如把一個長方體鍛造成一個正方體，那么長方體的體積就等于正方體的體積； 一種是排水，例如將一個小石塊投入水中，石塊的體積就等于上升部分水的體積；6)將一個正方體分成若干相等的小正方體，在不同位置去掉一塊，表面積也有不同 的變化：在頂點處去掉一塊，那么表面積不變，在棱上除頂點處去掉一塊，那么表面積 就多出2個小正方形的面，在一個面上，除掉棱上的一周，中間部分去掉一塊，那么表 面積多出4個小正方形的面。【歸納總結(jié)】表一：長方體和正方體的特征形體相同點不同點聯(lián)系面棱頂點面的形狀面的面 積棱長長方體正

8、方體3表二：長方體和正方體的計算類別定義常用計量單位計算方法表面積長方體正方體體積長方體正方體容積長方體正方體【例題精講】 考點一長方體與正方體的表面積【例1】右圖中共有多少個面？多少條棱?后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有1個面.所以共有 11 1 2 2二 8（個）面.前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱6 6 6 =18（條）.【例2】如右圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8，寬為3，高為2的小長方體，那 么新的幾何體的表面積是多少？【解析】我們從三個方向（前后、左右、上下）考慮，新幾何體的表面積仍為原立方

9、體的表面積：10 10 6=600.【鞏固】在一個棱長為50厘米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5厘米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【解析】對于和長方體相關的立體圖形表面積，一般從上下、左右、前后3個方向考慮.變化前后的表面積不變：50 50 6 = 15000（平方厘米）.【例3】如右圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一 個邊分別是53,2的長方體，那么它的表面積減少了多少？【解析】原來正方體的表面積為5 5 6 = 150.現(xiàn)在立體圖形的表面積減少了前后兩個面中的部分面，它們的面積為（3 2） 2 = 12,所以減少的面積就是12.下六個方向看這個立體

10、圖形.刖、【鞏固】右圖中共有多少個面？多少條棱?【解析】9個面，21條棱.左、右、4【例4】右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、 上下各面的中心位置挖去一個邊長I厘米的正方體，做成一種玩 具它的表面積是多少平方厘米？（圖中只畫出了前面、右面、 上面挖去的正方體）【解析】原正方體的表面積是4 4 6 = 96（平方厘米）.每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分.總的來看，每一 個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形.從而，它的表面積是：96 4 6 =120平方厘米.【例5】用6塊右圖所示（單位：cm）的長方體木塊拼成一

11、個大長方體, 其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【解析】要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖的拼接方式新的長方體長為 5，寬為 4，高為 3，所以表面積為（3 4 3 3 3 4） 2 =66（cm2）;要使表面積最大 需重疊的面積最小，如圖所示，長為18，寬為2,高為 1，所以最大的表面積為（18 1 18 2 1 2） 2 =112（cm2）【例6】如圖，在一個棱長為5分米的正方體上放一個棱長為4分米的小 正方體，求這個立體圖形的表面積.【解析】我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一 起，正好是

12、大正方體的上面.這樣這個立體圖形的表面積就可以分成這 樣兩部分：上下方向：大正方體的兩個底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方體的四個側(cè)面，大正方體的四個側(cè)面.上下方向：5 5 2 =50（平方分米）；側(cè)面：5 5 4 =100（平方分米），4 4 4=64（平 方分米）.這個立體圖形的表面積為：50 100 *64=214（平方分米）.【鞏固】如右圖所示，由三個正方體木塊粘合而成的模型，它們的 棱長分別為1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的 下面不涂油漆，則模型涂刷油漆的面積是多少平方米？【解析】該圖形從前、后、左、右四面觀察到的面積都是1222421平方米，從上面觀察到的面

13、積是42=16平方米，由于下 面不涂油漆，所以涂刷油漆的面積是 21 4*16=100 平方米.有許多種拼法,5板塊二長方體與正方體的體積【例7】（第四屆小數(shù)報數(shù)學競賽決賽）一根長方體木料，體積是 0.078 立方米.已 知這根木料長 1.3 米.寬為3分米，高該是多少分米？孫健同學把高錯算為3分米.這 樣，這根木料的體積要比0.078 立方米多多少？【解析】0.078 （1.3 0.3） =0.2（米）.0.2 米=2 分米.1.3 0.3 0.3 0.078 =0.039（立方米）.所以這根木料的高是2分米；算錯后，這根木料的體積比 0.078 立方米多 0.039 立方米.【例8】（第六

14、屆“華杯賽”決賽口試）某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條（如圖所示）在三個方向上的加固.所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米.若每個尼龍加固時接頭重疊都是5厘米.問這個長方體 包裝箱的體積是多少立方米？【解析】長方體中高 寬二1（365 5） =180，高 長二1（405一5） =200，長 寬二2（485 -5） =240，一：長一寬二 20，：長=130，從而寬=110, 代入得高=70.所以長方體體積為 70 110 130=1001000（立方厘米）=1.001（立方米）【例9】（第十五屆“迎春杯”決賽）把一根長 2.4 米的長方體 木料鋸成5段

15、（如圖），表面積比原來增加了96平方厘米.這 根木料原來的體積是_ 方厘米.【解析】96 亠 8 =12（平方厘米），12 240 =2880（立方厘米）.所以這根木料原來的體積為2880立方厘米.【例10】有三個大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成圖示的形狀，表面積比原來減少了16平方厘米.求所成形體的體 積.【解析】三個小正方體拼接成圖中的樣子，減少了小正方體的4個側(cè)面正方形的面積，表面積減少了16平方厘米，每個正方形側(cè)面 為 164 =4 平方厘米，每個正方體棱長為 2 厘米，三個小正方體體積（即所成形體的體積）是3 2324立方厘米.【提高訓練】一、判斷:1、求一個水箱最多可以

16、裝多少水，就是求水的容積。.（）2、求一個無蓋的長方體盒子能放多少 物體，是求這個長方體五個面的總面 積。（）3、 求長方體的體積就是求長方體的容積。. （）4、 一個有蓋和一個無蓋的長方體鐵皮箱，他們的長、寬、高分別相等，如果鐵皮厚度忽略不計，則兩個箱子的容積相等。.（）H- 2.4米T/6二、應用題1江寧體育館有一個長方體形狀的游泳池，長50米，寬30米，深3米，現(xiàn)在要在游泳池的 各個面上抹上一層水泥，抹水泥的面積有多少平方米？如果每平方米用水泥12千克，22噸 夠嗎？2、廠商生產(chǎn)的一幅撲克牌長9厘米、寬6.5厘米、高2厘米，現(xiàn)在要把相同的兩幅撲克牌放 在一起包裝（如右圖），請問這個包裝盒

17、的表面積至少是多少平方厘米？3、把60升水倒入一個長6分米，寬2.5分米的長方體水箱內(nèi)，正好倒?jié)M，這個水箱深多少 分米？4、一個長1米、寬8厘米、高5厘米的長方體木料，鋸成長度都是50厘米的兩段，表面積 比原來增加多少平方厘米？錯錯錯對分析與解：求水泥的面積有多少平方米，實際就是求這個長方體游泳池的表面積。要計算 前、后、左、右、下這5個面的面積之和。再根據(jù)每平方米用水泥的千克數(shù)，算出這個游泳 池共用水泥多少千克，即可知道22噸水泥夠不夠用。50X30 + 50X3X2 + 30X3X2= 1500 + 300 + 180= 1980（平方米）12X1980=23760 （千克）=23.76（噸）23.76 22所以，22噸水泥不夠用。2|分析與解：由上圖可知，這個長方體包裝盒的長是13厘米（6.5X2=13厘米），寬應是