(完整word)排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題及答案解析,推薦文檔

1、排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題及答案解析基本原理1 加法原理：做一件事有 n 類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2.乘法原理：做一件事分 n 步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二.排列：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m ( mWn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所 有排列的個(gè)數(shù)記為A；.中任取 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記作 Cn。1.公式：1.An n 1 nn!n m !冷工用，刃Al,聊AO,酪2 $訊冬月 2)2 1規(guī)定：0!(1)n! n (n 1)!,

2、( n 1) n!(n 1)!n!(n 1) 1 n! (n 1) n! n! (n 1)! n!;(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! n!1(n 1)!三.組合：從 n 個(gè)不同元素中任取 m( mWn)個(gè)元素并組成一組，叫做從 n 個(gè)不同的m 元素1.公式：cmAn n 1. nm 1Am!m! n m !n!_起工燒，評(píng)工1,搐工Q,梢 蛾皂N 規(guī)定.c2組合數(shù)性質(zhì)：CCnm,CCnm 1C1,C0C1C；2n：-；注：C：C；!Crr2L C爲(wèi)cnCr 1 r：r：1：r：1r 1Cr 1Cr 2L Cn 1CnCr 2Cr 2L Cn 1CnCn 1若C四.處理排列

3、組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類2. 解排列、組合題的基本策略（1） 兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解 決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。（2） 分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意:分類不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集。?） 分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類， 后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法

4、。3. 排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；（2）、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3） .相鄰問題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一 “大”元素與 其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。（4） 、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空 法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩 端的空隙之間插入。（5） 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全

5、排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。 即先全排，再除以定序元素的全排列 解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè) 位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列， 則只有 1 種排法；若不要求， 則有 2 種排法；（6） “小團(tuán)體”排列問題一一采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7） 分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8） .數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）1能被 2 整除的數(shù)的特征：

6、末位數(shù)是偶數(shù)；不能被 2 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被 3 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)；能被 9 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 9 的倍數(shù)能被 4 整除的數(shù)的特征：末兩位是 4 的倍數(shù)。能被 5 整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是 0 或 5。能被 25 整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是 25, 50, 75。能被 6 整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的偶數(shù)。4.組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：（2）. “含”與“不含”用間接排除法或分類法：3. 分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)

7、相乘。即組合處理。混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4. 分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例 1.電視臺(tái)連續(xù)播放 6 個(gè)廣告，其中含 4 個(gè)不同的商業(yè)廣告和 2 個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 _ 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A2種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A4種，從而 應(yīng)當(dāng)填A(yù)22 A4= 48

8、.從而應(yīng)填 48.例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即A6A5A5A4720 2 120 24 504解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（1）甲排在最右端時(shí)，有A；種排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有Ai種排法，乙有A：種排法，其他人有A44種排法，共有A4A4A：種排法，分類相加得共有 岸+冗A；A4=504 種排法例.有 4 個(gè)男生，3 個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生 從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在 7 個(gè)位置上任取 4 個(gè)位置排男生，有 A7種排法.剩余的 3 個(gè)位

9、置排女生，因要 求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A4 1=840 種.1.從 4 臺(tái)甲型和 5 臺(tái)乙型電視機(jī)中任取 3 臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)， 則不同的取法共有解析 1:逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C；C：C；70種,選.C解析 2:至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型 1 臺(tái)乙型 2 臺(tái)；甲型 2 臺(tái)乙型1 臺(tái)；故不同的取法有C52C4C5C270臺(tái),選C.2.從 5 名男生和 4 名女生中選出 4 人去參加辯論比賽+（1） 如果 4 人中男生和女生各選 2 人，有_ 種選法；（2）如果男生中的

10、甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 _種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1 人在內(nèi)，有_種選法；（4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有 _ 種選法.分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是 組合問題.解：（1）先從男生中選 2 人，有C52種選法，再?gòu)呐羞x 2 人，有C：種選法，所以共有C；C：=60 （種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以從剩下的 7 人中任意選擇，所以共有C；C；=21 （種）；（3） 在 9 人選 4 人的選法中， 把甲和乙都不在內(nèi)的去掉， 得到符合條件的選法數(shù)： Cg C；=91 （種） ；直接法，則可

11、分為3 類：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)de；c；c；c；c；C C73c|=91 （種）.（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)e4e5C4=120（種）.直接法：分別按照含男生 1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為c5c：C；C2C；c4=12O （種）.1. 6 個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為（）C3A. 40B. 50C. 60D. 70解析先分組再排列，一組 2 人一組 4 人有 C6= 15 種不同的分法；兩組各 3 人共有A=10 種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為 25X2 =

12、 50,故選 B.2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有 3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種B. 48 種 C . 72 種D. 96 種解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共 A3A4= 72 種排法，故選 C.3.只用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6 個(gè)B. 9 個(gè) C . 18 個(gè)D. 36 個(gè)解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選 四個(gè)數(shù)字共有 C= 3（種）選法，即 1231,1232,1233，而每

13、種選擇有 AxC= 6（種）排法，所以 共有 3X6=18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有 18 個(gè).4. 男女學(xué)生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有（）A. 2 人或 3 人 B . 3 人或 4 人 C . 3 人 D . 4 人解析設(shè)男生有n人，則女生有（8 n）人，由題意可得 CCL = 30,解得n= 5 或n= 6,代 入驗(yàn)證，可知女生為 2 人或 3 人.5.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法有（）A. 45 種B. 36 種 C . 28 種D

14、. 25 種解析因?yàn)?10 寧 8 的余數(shù)為 2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有 6 步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有 2 步，那么共有 C8= 28 種走法.6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不 能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共 有( )A24 種B36 種 C 38 種D108 種 解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有 2 種方法，第二步將 3 名電腦編程人員分成兩組，一組 1 人另一組 2 人，共有 C3種分法，然后 再分到兩部門去共有C3A2種方法，第三步只需將其他 3

15、人分成兩組，一組 1 人另一組 2 人即 可，由于是每個(gè)部門各 4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C 種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C3A2C3=36(種).7.已知集合A=，B= 1,2 ,C-1,3,4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間 直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A. 33B. 34 C . 35D. 36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1 的有 C A3=12 個(gè)；2所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1 個(gè) 1 的有 C A3+A3=18 個(gè)；3所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有 2 個(gè) 1 的有 C = 3 個(gè).故共有符合條件的

16、點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 12+18+ 3 = 33 個(gè)，故選 A.8.由1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是 ()A. 72B. 96 C . 108D. 144解析分兩類：若 1 與 3 相鄰，有 A CAA72(個(gè))，若 1 與 3 不相鄰有 A3 A = 36(個(gè))故共有 72+ 36= 108 個(gè).9. 如果在一周內(nèi) (周一至周日 )安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館， 每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有 ()解析先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有 6 種：1,2）、（2,3）、（

17、3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任選一種為 C6,然后在剩下的 5 天中任選 2 天有序地安排其余兩所 學(xué)校參觀，安排方法有 A5種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法（C A2= 120 種， 故選 C.10._ 安排 7位工作人員在 5 月 1日到 5月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不 能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_中.（用數(shù)字作答）解析先安排甲、乙兩人在后 5 天值班，有A5=20（種）排法，其余 5 人再進(jìn)行排列，有氏=120（種）排法，所以共有 20X120= 2400（種）安排方法.11 .今有 2 個(gè)紅球、3 個(gè)黃球、

18、4 個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個(gè)球排成一列有 _種不同的排法.（用數(shù)字作答）解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有 C4C C3= 1260（種）排法.12._將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個(gè)組各 2 人，另兩個(gè)組各 1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同 場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）.C2C2解析先將 6 名志愿者分為 4 組，共有 A2種分法，再將 4 組人員分到 4 個(gè)C2. C2不同場(chǎng)館去，共有 A!種分法，故所有分配方案有：- A!= 1 080 種.13._ 要在如圖所示的花圃中的 5 個(gè)區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，

19、 有中不同的種法（用數(shù)字作答）.A. 50 種B. 60 種 C . 120 種D. 210 種解析5 有 4 種種法，1 有 3 種種法，4 有 2 種種法.若 1、3 同色，2 有 2 種種法，若 1、3 不同色，2 有 1 種種法，二有 4X3X2X（1X2+ 1X1） = 72 種.14.將標(biāo)號(hào)為 1, 2, 3, 4, 5, 6 的 6 張卡片放入 3 個(gè)不同的信圭寸中.若每個(gè)信圭寸放 2 張，其中標(biāo)號(hào)為 1, 2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種（B） 18 種（Q 36 種（D） 54 種【解析】標(biāo)號(hào) 1,2 的卡片放入同一封信有 G 種方法；其他四封信放入兩

20、個(gè)信封，每個(gè)信封兩I廣：乂擁&乂/二址個(gè)有芯種方法，共有圧_種，故選 B.15.某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有A. 504 種 B. 960種 C. 1008 種 D. 1108 種 解析：分兩類：甲乙排 1、2 號(hào)或 6、7 號(hào)共有2A；A：A：種方法甲乙排中間，丙排 7 號(hào)或不排 7 號(hào)，共有 4A；（A：A3A；A；）種方法故共有 1008 種不同的排法排列組合二項(xiàng)式定理1, 分類計(jì)數(shù)原理 完成一件事有幾類方法

21、，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2, 排列排列定義：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m（ me n）個(gè)元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列。排列數(shù)定義；從 n 個(gè)不同元素中，任取 m（men）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)3,組合組合定義 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m( me n)個(gè)元素并成一組，叫做從n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù) 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m(me n)個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)排列組合題

22、型總結(jié)一. 直接法1 特殊元素法例 1 用 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)(1) 數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位(2)數(shù)字 1 不在個(gè)位，數(shù)字 6 不在千位。分析：(1)個(gè)位和千位有 5 個(gè)數(shù)字可供選擇A，其余 2 位有四個(gè)可供選擇A2，由乘法原理：A|A2=2402 .特殊位置法(2) 當(dāng) 1 在千位時(shí)余下三位有A；=60 , 1 不在千位時(shí)，千位有A4種選法，個(gè)位有A4種，余下的有A：，共有A；A4A：=192所以總共有 192+60=252二間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中(2)可用間接法A

23、：2A；A=252例：有五張卡片，它的正反面分別寫 0 與 1 , 2 與 3, 4 與 5, 6 與 7 , 8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝?起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？ 分析：:任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C；23A個(gè)，其中 0 在百位的有C：22A；個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C；23A3-C422A；=432公式m=n!An(n m)!規(guī)定 0! =1mCn=n!m!( n m)!性質(zhì)mn mCn=CnCn例：三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（1） 女生必須全排在一起 有多少種排法（捆綁法）（2） 女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不

24、能排女生（4） 兩端不能全排女生（5） 如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二.插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3 在一個(gè)含有 8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的 8 個(gè)節(jié)目中含有 9 個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?10 個(gè),故有A；Ai1o=100 中插入方法。三.捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1 四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有_種（C2A；）,2，某市植物園要在 30 天內(nèi)接待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，

25、其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀 2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內(nèi)不同的安排方法有（C；9A29）（注意連續(xù)參 觀 2 天，即需把 30 天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有C；9其余的就是 19 所學(xué)校選 28 天進(jìn) 行排列）四.閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由 12 人組成籃球隊(duì)，這 12 個(gè)人由 8 個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配 方案共_ 種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是 12 個(gè)名額分配給 8 個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在 12 個(gè)名額種的 11 個(gè)空當(dāng)中插 入 7 塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有C1種五平均分推問題例：6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)?（1）平均分成三堆，(2)平均分給甲乙丙三人(3)一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對(duì)應(yīng)一種方案）1，分出三堆書（ai,a2） ,（a3,a4），（a5,a6）由順序不同可以有A3=6 種，而這 6 種分法只算一種分2 2 2C6C4C2五.合并單元格解決染色問