考點(diǎn)13 定積分與微積分基本定理-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過(guò)_20210103224730

1、考點(diǎn)13 定積分與微積分基本定理（1）了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.（2）了解微積分基本定理的含義.一、定積分1曲邊梯形的面積（1）曲邊梯形：由直線x=a、x=b(ab)、y=0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)（2）求曲邊梯形面積的方法與步驟：分割：把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖)；近似代替：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值(如圖)；求和：把以近似代替得到的每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值求和；取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)，各小曲邊梯形的面積之和趨向

2、一個(gè)定值，即為曲邊梯形的面積2求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.3定積分的定義和相關(guān)概念（1）如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0<x1<<xi1<xi<<xn=b將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi上任取一點(diǎn)i (i=1,2, ,n)，作和式；當(dāng)n時(shí)，上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作，即=.（2）在中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫

3、做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f (x)dx叫做被積式4定積分的性質(zhì)（1）(k為常數(shù))；（2）；（3）(其中a<c<b) 【注】定積分的性質(zhì)（3）稱為定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形abcd的面積等于曲邊梯形aefd與曲邊梯形ebcf的面積的和5定積分的幾何意義（1）當(dāng)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上恒為正時(shí)，定積分f (x)dx的幾何意義是由直線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影部分)（2）一般情況下，定積分f (x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f (x)以及直線x=a，x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖中陰影部分所示)

4、，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)6定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系(常用結(jié)論)定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來(lái)確定：設(shè)陰影部分面積為s,則（1）； （2）；（3）； （4）.7定積分的物理意義（1）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即.（2）變力做功一物體在恒力f(單位：n)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與f相同的方向移動(dòng)了s m，則力f所做的功為w=fs.如果物體在變力f(x)的作用下沿著與f(x

5、)相同的方向從x=a移動(dòng)到x=b，則變力f(x)做的功.二、微積分基本定理一般地，如果f (x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)=f (x)，那么=f(b)f(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式，其中f(x)叫做f (x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便，我們常把f(b)f(a)記作，即=f(b)f(a)【注】常見(jiàn)的原函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系（1）為常數(shù))；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一 定積分的計(jì)算1求定積分的三種方法（1）利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)；（2）利用微積分基本定理求定積分；（3）利用定積分的幾何意義求定積分當(dāng)曲邊梯形面積易求時(shí)

6、，可通過(guò)求曲邊梯形的面積求定積分例如，定積分的幾何意義是求單位圓面積的，所以.2用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟（1）把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；（2）把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；（3）分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；（4）利用牛頓萊布尼茨公式求出各個(gè)定積分的值；（5）計(jì)算原始定積分的值.3分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加4奇偶函數(shù)的定積分（1）若奇函數(shù)y=f(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則；（2）若偶函數(shù)y=g(x)的圖象在a，a上連續(xù)，則.典例1 a bc d【答案】a【解析】.

7、故選a【解題技巧】求定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，為避免出錯(cuò)，在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.1已知，則常數(shù)的值為abcd考向二 利用定積分求平面圖形的面積利用定積分求平面圖形面積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟根據(jù)題意畫出圖形；借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和；計(jì)算定積分，寫出答案（2）知圖形的面積求參數(shù)求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然后確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關(guān)于參數(shù)的方程，從而可求出參數(shù)的值（3）與概率

8、相交匯問(wèn)題解決此類問(wèn)題應(yīng)先利用定積分求出相應(yīng)平面圖形的面積，再用相應(yīng)概率公式進(jìn)行計(jì)算.典例2 設(shè)拋物線c：y=x2與直線l：y=1圍成的封閉圖形為p，則圖形p的面積s等于a1 b c d【答案】d 【解析】由，得.如圖，由對(duì)稱性可知，.故選d.2已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖，則其面積為a1bcd考向三 定積分的物理意義利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)與變力做功問(wèn)題利用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題和變力做功問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即得所求.典例3 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以

9、速度(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2【答案】c 【解析】令v(t)=0得，3t24t32=0，解得t=4(舍去).汽車的剎車距離是故選c.3一質(zhì)點(diǎn)在直線上以速度運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻到時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為abcd1定積分的值為a bc d2已知，若，則的值等于abcd3射線與曲線所圍成的圖形的面積為a2b4c5d64已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則a1 bc d5汽車以作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s至2s之間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是a bc d6在如圖算法框圖中，若，程序運(yùn)行的結(jié)果為二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)的3

10、倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的判斷條件是abcd7如圖，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為abcd8曲線與軸所圍成圖形的面積被直線分成面積相等的兩部分，則的值為a bc d9已知，則二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的積為a0bc1d以上都不對(duì)10已知定義在上的函數(shù)與，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則_1（2015年高考湖南卷理科） 2（2015年高考天津卷理科）曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為 3（2015年高考山東卷理科）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的t的值為  4（2015年高考福建卷理科）如圖,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)c的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f (x

11、)=x2.若在矩形abcd內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 5（2015年高考陜西卷理科）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 變式拓展1【答案】a【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選a【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的相關(guān)知識(shí)，相對(duì)簡(jiǎn)單.由可得，從而可得常數(shù)的值.2【答案】d【解析】由題得函數(shù)的圖象如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)為（1,1），所以葉形圖的面積為.故選d.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.求解時(shí)，先作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再利用定積分求面積得解.3

12、【答案】b【解析】該質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻到時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程：，故選b【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算，考查定積分在物理上的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)速度的積分為位移，對(duì)分段函數(shù)的兩段解析式分別進(jìn)行積分，再根據(jù)位移和路程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】a【解析】表示以為圓心，為半徑的圓，定積分等于該圓的面積的四分之一，定積分，故選a2【答案】b【解析】（）,或（舍）則的值等于故選b【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)定積分的計(jì)算公式化簡(jiǎn)定積分，解方程求得的值.3【答案】b【解析】將射線方程與曲線方程聯(lián)立，解得：，即射線與曲線有兩個(gè)公

13、共點(diǎn)，所圍成的圖形的面積為.本題正確選項(xiàng)為b.【名師點(diǎn)睛】本題考查曲邊梯形面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠求得交點(diǎn)坐標(biāo)后，利用定積分的知識(shí)來(lái)求解.解題時(shí)，射線與曲線方程聯(lián)立可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用積分的知識(shí)可求得結(jié)果.4【答案】c【解析】由題意得,故，得到，所以，所以.故選c.5【答案】d【解析】由題意可得在第1s至2s之間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程,故選d6【答案】c【解析】，二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為，即，根據(jù)程序框圖，可知，s不滿足條件；，s不滿足條件；，則滿足條件輸出，故選c【名師點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，求出，的值，利用模擬運(yùn)行算法是解決本題的關(guān)鍵求解時(shí)，根據(jù)積分和二項(xiàng)式定理的內(nèi)容求出，結(jié)

14、合程序框圖進(jìn)行模擬運(yùn)算即可7【答案】b【解析】由題意，陰影部分的面積為，又矩形的面積為，所以在矩形內(nèi)隨機(jī)撒一顆黃豆，則它落在空白部分的概率為.故選b.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型，以及定積分的應(yīng)用，熟記微積分基本定理以及幾何概型的概率計(jì)算公式即可，屬于常考題型.求解時(shí)，根據(jù)定積分的應(yīng)用，得到陰影部分的面積為，再由題意得到矩形的面積，最后由與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式，即可求出結(jié)果.8【答案】d【解析】如圖所示，曲線與軸的交點(diǎn)為和，曲線與直線的交點(diǎn)為和由題意和定積分的幾何意義得：，化簡(jiǎn)得：，即，解得：故選d【名師點(diǎn)睛】1由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為

15、定積分的計(jì)算及應(yīng)用， 但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決具體步驟如下：(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積2由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分9【答案】b【解析】由定積分的運(yùn)算性質(zhì)，可得，又由表示圓的上半圓的面積，即，所以，又由，所以，所以二項(xiàng)式為的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 ，令，可得展開式的各項(xiàng)之和為，所以二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的積為.故選b.【名師點(diǎn)睛】

16、本題主要考查了定積分的性質(zhì)及運(yùn)算，以及二項(xiàng)式系數(shù)之和與項(xiàng)的系數(shù)之和的求解及應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用定積分的性質(zhì)求得的值，以及合理求解二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)之和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.求解時(shí)，由定積分的運(yùn)算性質(zhì)和定積分的幾何意義，求得，進(jìn)而得二項(xiàng)式系數(shù)之和，再令，可得展開式的各項(xiàng)之和為，即可求解，得到答案.10【答案】12【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，【名師點(diǎn)睛】根據(jù)定積分的幾何意義和函數(shù)的奇偶性求解定積分的幾何意義是表示曲線以下、x軸以上和直線之間的曲邊梯形的面積，解題時(shí)要注意面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)直通高考1【答案】0【解析】.2【答案】【解析】由題意可得封閉圖形的面積為.3【答案】116【解析】開始n=1,t=1,因?yàn)?<3