整式乘法公式及因式分解錯(cuò)題分析

1、平方差公式錯(cuò)解分析利用乘法公式進(jìn)行整式的乘法計(jì)算，可以使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔方便但在利用公式時(shí)，如果對(duì)公式掌握不熟練，計(jì)算馬虎，則很容易出現(xiàn)解題中的一些錯(cuò)誤例 1 已知下列計(jì)算 ： （ x-y ） （ -x-1/37y）。（-x+y ）（ x-y ） 。 （ -x-y ）（ x+y ） ； （ x-y ）（ y-x）其中能利用公式（ a+b ）（ a-b ）=a2-b2 計(jì)算的有【誤】能利用公式計(jì)算的有：【析】如果兩個(gè)多項(xiàng)式相乘能利用公2/37式（ a+b）（ a-b） =a2-b2，則必須符合公式的特征 已知 中的 -y 相當(dāng)公式中的 a ，x 相當(dāng)于公式中的 b，所以可以利用公式，而、都不符合公式

2、的特征，即不是兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的形式，所以不能利用公式3/37【正】填 -例 2 計(jì)算（ 2x-3y）（ 2x+3y）【誤】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=2x2-3y2【 析】公式(a+b） (a-b） =a2-b2 中的 a、b 可以是一個(gè)具體的數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式已知式子中4/37的 2x 和 3y 都是單項(xiàng)式，相當(dāng)于公式中的a、 b，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)用括號(hào)括起來(lái)【正】（ 2x-3y）（ 2x+3y）=例 3 運(yùn)用公式計(jì)算 （ -x-3y ） （ x-3y）【誤】（ -x-3y ）（ x-3y ） = （ -x ） 2-5/37（ 3y）2=x2-9y2【析】利用

3、公式（ a+b）（ a-b） =a2-b2計(jì)算一定要 “對(duì)號(hào)入座 ” 即找準(zhǔn)公式中的 a 、b，這里的 -3y 相當(dāng)于公式中的 a，而 x 則相當(dāng)于公式中的b錯(cuò)解把 a 、 b 的位置顛倒了【 正】（ -x-3y ）6/37（ x-3y）=例4計(jì) 算（ 3x+4 ） （ 3x-4 ） -（ x+2）（ x-2）【 誤】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=9x2-4-x2-2=8x2-6【析】在錯(cuò)解中有三處錯(cuò)誤：（ 1）計(jì)算 （ 3x+4 ） （ 3x-4 ）時(shí)，沒(méi)能正確地使用7/37公式，結(jié)果沒(méi)有將 4 平方；（2）計(jì)算（ x+2）（ x-2）時(shí)也沒(méi)有將 2 平方。（

4、3）出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤【 正】（ 3x+4 ）（ 3x-4） -（ x+2）（ x-2）=例5 計(jì)算（-x2+5y）（ -x2-5y）8/37【誤】（-x2+5y ） （ -x2-5y ） =-（ x2）2-（ 5y）2=-x4-25y2【析】 錯(cuò)在將 x2 當(dāng)成了公式中的 a，實(shí)際上是 -x2 相當(dāng)于公式中的 a【正】 （-x2+5y）（ -x2-5y）=9/37例6計(jì) 算（ 2x+y+z ） （ 2x-y-z）【誤】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）= （ 2x+y ） +z （ 2x-y ） -z= （ 2x ） 2-y2-z2=4x2-y2-z2【析】本題錯(cuò)在分組時(shí)，將前兩項(xiàng)分成一組，誤認(rèn)

5、為可以10/37利用公式（ a+b）（ a-b ） =a2-b2 ，而實(shí)際上 （ 2x+y） +z （ 2x-y） -z 并 不 滿 足 公 式（ a+b ） （ a-b ） =a2-b2所以這種分組是錯(cuò)誤的第二步不能正確運(yùn)用平方差公式【 正 】（ 2x+y+z）（ 2x-y-z）=11/37因式分解“三步曲”在進(jìn)行因式分解時(shí)，一般都遵循“三步曲”，即：“一提、二套、三檢驗(yàn)”。一提：提公因式如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么12/37首先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式。在提取時(shí)要注意以下三點(diǎn)：提公因式后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不再含有公因式。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正1

6、3/37的。當(dāng)公因式跟某一項(xiàng)相同時(shí)，提公因式后括號(hào)內(nèi)切勿漏掉“1”。例 1：分解因式：8x2 y312x2 y解：原式 = 例 2：分解因式：14/373a327ab 2解：原式 = 例 3：分解因式：3x22xyx解：原式 =二套：套用公式提完公因式后，再根據(jù)題目中各項(xiàng)特15/37點(diǎn)，再考慮套用公式。包括平方差公式以及完全平方公式。例 4：分解因式：12a4b227a 2b4解：原式 =例 5：分解因式：m36m29m16/37解：原式 =三檢驗(yàn)：查漏補(bǔ)缺分解因式完成后，還要對(duì)分解的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)：分解是否徹底（在分解范圍內(nèi)每一項(xiàng)都分解到不能再分17/37解為止）；分解是不是準(zhǔn)確（可以通過(guò)整式

7、的乘法來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果是否正確）；括號(hào)中的每一項(xiàng)中的首項(xiàng)符號(hào)是不是為正；括號(hào)中的每一項(xiàng)系數(shù)是不是均為整數(shù)；18/37分解的最后結(jié)果是不是只含有小括號(hào)。例 6：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式(a49)解：原式 =因式分解的巧用。同學(xué)們對(duì)因式分解的19/37兩種方法一定很熟悉了，如何靈活應(yīng)用它進(jìn)行求值計(jì)算、使問(wèn)題簡(jiǎn)單明朗、迎刃而解是我們的不足之處；本文介紹因式分解的巧用。一、用提公因式法分解因式求值例 1 21×314+ 62× 314+ 17 ×31420/37解：二、用公式法分解因式求值例 2 (1) 若 a+b=1 , a-b=2006 則 a2-b2=(2) 已知 2x-3=

8、0 , 求 x(x2-x)+x 2(5-x)-9 的值解： (1)(2)例3已知21/37a2+b2=25， ab=12求a+b 的值解：這些錯(cuò)誤你犯過(guò)嗎？因式分解是數(shù)學(xué)教與學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一。在解題時(shí)，不少同學(xué)由于種種原因，難免出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。本文試將這些錯(cuò)誤作一歸類22/37分析，以期此文對(duì)同學(xué)們有所幫助。一、提取公因式時(shí)的錯(cuò)誤1、提取后漏項(xiàng)例1、分解因式3a2b2-6ab3+3ab2誤解：原式 =3ab2(a-2b)分析：對(duì)于 3ab2 項(xiàng)被提取了 3ab2 后，23/37這一項(xiàng)不是沒(méi)有了，而是還剩下 1。正解：原式 = 2、運(yùn)算不準(zhǔn)確例 2、分解因式 a3m+2a2m+am誤解：

9、原式=am(a3+2a2+1)分析：混淆了同底數(shù)冪相乘與冪的乘方的區(qū)別，而導(dǎo)致了24/37a3m=am×a3, a2m=am×a2 的錯(cuò)誤。正解：原式 = 二、對(duì)因式分解概念理解模糊導(dǎo)致錯(cuò)誤1、定義的模糊例 3、分解因式x2-2x+1誤解：原式 =x(x-2)+1分析：未能理25/37解，分解因式的結(jié)果一定要是積的形式。正解：原式 = 2、錯(cuò)誤的變形例4、分解因式12x2+xy+ 12y2誤解：原式 =x2+2xy+y 2=(x+y) 2分析：分解因式是一種恒等變形，而將12x2+xy+ 12 y2 變 形 成26/37x2+2xy+y 2 不是恒等變形。正解：原式 =3、

10、走回頭路例 5、分解因式a4-8a2+16誤 解 ： 原 式 =(a2-4)2=(a+2)2(a-2)2=(a2+4a+4)(a2-4a+4)分析：分解因式后，又反過(guò)來(lái)進(jìn)行乘27/37法運(yùn)算，從本質(zhì)上混淆了因式分解與整式乘法的區(qū)別。正解：原式 = 4、分解不徹底例6、分解因式(x2+1)2-4x2誤解：原式 =(x2+1+2x)(x 2+1-2x)分析： x2+1+2x 與 x2+1-2x 還 可 以 再 分28/37解，不可半途而廢。正解：原式 =完全平方公式的變形與應(yīng)用由完全平方公式 (a± b)2a2±2ab+b2，我們可以得到以下恒等變形：（ 1 ） a2+b2 (

11、a+b)2 2ab (a 29/37b)2+2ab；（ 2） ab 12 (a+b)2 (a2+b2) 14 (a+b)2 (ab)2 a 2 b 2 a 2 b 2 ；（ 3） (a+b)2+(a b)22a2+2b2；（ 4 ） a2+b2+c2 ab bc ca 12 (a b)2+(bc)2+(ca)2.上述幾個(gè)恒等式十分重要，在解題中如能30/37靈活應(yīng)用，往往能避繁就簡(jiǎn)，收到奇效，現(xiàn)舉例說(shuō)明 .例 1 計(jì)算： 1.345×0.345× 2.69 1.3453 1.345×0.3452.分析先逆用分配律，再用等式（1 ）即可 .解說(shuō)明在有關(guān)復(fù)31/37雜

12、的數(shù)字計(jì)算中，如能抓住數(shù)字特點(diǎn)，巧用完全平方公式的變形式，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素質(zhì) .例 2 若(1012+25)2 (1012 25)2 10n ，求 n 的值 .分析利用（ 2）可 將 (1012+25)2 (101232/37 25)2 直接化為兩個(gè)數(shù)的積的形式，從而獲解.解(1012+25)2 (1012 25)2說(shuō)明 利用完全平方公式的變形式可以簡(jiǎn)潔明了的解決看似復(fù)雜的求值問(wèn)題 .例 3已知 a+b+c33/37 0， a2+b2+c2 4，試求： a4+b4+c4 的值 .分析 乍看待求式和已知條件毫無(wú)關(guān)系，但細(xì)細(xì)琢磨一下，可將 c 視為已知數(shù)，對(duì) a、b 利用完全平方公式（ 2），再結(jié)合（ 1）即可求解 .解34/37例4 計(jì)算：19931992 22 .19931991219931993 2分析 對(duì)分母運(yùn)用完全平方公式的變形（ 3）可使分母差化積便于約分化簡(jiǎn)，從而簡(jiǎn)潔求值 .解19931992 22 199319912199319932說(shuō)明