（新高考）2021屆高考考前沖刺卷 數(shù)學(xué)（四） 教師版

1、（新高考）此卷只裝訂不密封班級(jí) 姓名 準(zhǔn)考證號(hào) 考場(chǎng)號(hào) 座位號(hào) 2021屆高考考前沖刺卷數(shù) 學(xué)（四）注意事項(xiàng)：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

2、求的1設(shè)，若，則（ ）ABC2D0【答案】D【解析】由，知，即，得，故選D2“方程表示雙曲線(xiàn)”的一個(gè)必要不充分條件為（ ）ABCD【答案】A【解析】由方程表示雙曲線(xiàn)，知，故它的一個(gè)必要不充分條件為，故選A3已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由，則，則，故選C4在中，已知，的面積為2，則邊的長(zhǎng)有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈拿娣e為2，所以，即，所以，得，且，因?yàn)?，解得，所以，所以由余弦定理得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以的最小值為2，無(wú)最大值，即的最小值為2，無(wú)最大值，故選D5若函數(shù)，滿(mǎn)足，則的值等于（

3、 ）A2B0CD【答案】A【解析】由題意易知，分別在，上單調(diào)，若，則不在同一單調(diào)區(qū)間，又，一定有，即，故選A6若直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（ ）AB5CD10【答案】B【解析】由直線(xiàn)始終平分圓的周長(zhǎng)，則直線(xiàn)必過(guò)圓的圓心，由圓的方程可得圓的圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)的方程可得，又由表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的平方，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，所以的最小值為，故選B7函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋远x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，可得，排除C項(xiàng)，所以只有A選項(xiàng)適合，故選A8已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，則球的表面積為

4、（ ）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)槠矫?，所以，所以，在中，所以，如圖所示：三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的表面積為，故選D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）給出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，為了比較甲乙兩名高中同學(xué)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖，圖中每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分，分值高者為優(yōu)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)優(yōu)于乙的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)B甲的邏輯推理素養(yǎng)優(yōu)于乙的邏輯推

5、理素養(yǎng)C甲的六個(gè)核心素養(yǎng)中只有數(shù)學(xué)運(yùn)算水平最高D乙的六個(gè)核心素養(yǎng)中只有數(shù)據(jù)分析水平最高【答案】AC【解析】對(duì)于A(yíng)，由圖可知數(shù)學(xué)運(yùn)算，甲得5分，乙得4分，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)優(yōu)于乙的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，所以A正確；對(duì)于B，由圖可知邏輯推理素養(yǎng)，甲得4分，乙得5分，所以甲的邏輯推理素養(yǎng)低于乙的邏輯推理素養(yǎng)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知甲只有數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得5分，所以甲的六個(gè)核心素養(yǎng)中只有數(shù)學(xué)運(yùn)算水平最高，所以C正確；對(duì)于D，由圖可知乙的邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和直觀(guān)想象都是5分，所以D錯(cuò)誤，故選AC10函數(shù)的圖象如圖，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（ ）AB函數(shù)的最

6、小正周期為C函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)【答案】BC【解析】由圖可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以或，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，解得，這與矛盾，不符合；當(dāng)時(shí)，解得，滿(mǎn)足條件，所以，所以，A由上可知A錯(cuò)誤；B因?yàn)?，所以的最小正周期為，故B正確；C令，所以，令，此時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，故C正確；D因?yàn)?，所以不是?duì)稱(chēng)中心，故D錯(cuò)誤，故選BC11在數(shù)列中，若，則稱(chēng)為“和等比數(shù)列”設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列對(duì)“和等比數(shù)列”的判斷中正確的有（ ）ABCD【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤，故選AC12已知函數(shù)對(duì)于任意，均滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，

7、若函數(shù)，下列結(jié)論正確的為（ ）A若，則恰有兩個(gè)零點(diǎn)B若，則有三個(gè)零點(diǎn)C若，則恰有四個(gè)零點(diǎn)D不存在使得恰有四個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)令，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)、的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則切線(xiàn)斜率為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖可得或，A選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，B選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，C選項(xiàng)

8、正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選ABC第卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_【答案】1215【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，令，得，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為121514某醫(yī)院傳染病科室有5名醫(yī)生，4名護(hù)士，現(xiàn)從這9名醫(yī)護(hù)人員中選取5名參加醫(yī)院組織的運(yùn)動(dòng)會(huì)，要求其中至少有2名醫(yī)生，2名護(hù)士，則不同的選取方法有_種【答案】【解析】符合題意的情況有兩種：名醫(yī)生、名護(hù)士和名醫(yī)生、名護(hù)士選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種；選取名醫(yī)生、名護(hù)士的方法有：種，綜上所述：滿(mǎn)足題意的選

9、取方法共有種，故答案為15已知x，y滿(mǎn)足，且的最大值是最小值的2倍，則滿(mǎn)足條件的可行域的面積是_【答案】【解析】先畫(huà)出x，y滿(mǎn)足的可行域如圖所示，由，得；由，得，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值，且；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，且，依題意，得，則，得，所以可行域的面積為，故答案為16過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)，離心率為_(kāi)【答案】，【解析】過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)的方程為，雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為，將兩個(gè)方程聯(lián)立，可得，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，即，則，漸近線(xiàn)方程為，離心率為故答案為，四、解答題：本大

10、題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（10分）若函數(shù)，的角，的對(duì)邊分別為，且（1）當(dāng)取最大值時(shí)，判斷的形狀；（2）在中，為邊的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)【答案】（1）是等邊三角形；（2）【解析】因?yàn)?，所以由，得，因?yàn)?，所以，所以，?），因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，所以是等邊三角形（2）解：取邊的中點(diǎn)，連接，則，且，在中，由余弦定理得，解得，所以，在中由余弦定理得18（12分）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，所以，各項(xiàng)累加可得，又，所以，所以（2）由（1）可得，所以，得，所以，整理得19

11、（12分）如圖，在四棱錐中，且（1）證明：；（2）已知，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，【解析】（1）證明：由已知，得，由，故，又因?yàn)?，所平面，又平面，所以?）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，由已知和（1），易得，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以，所在直線(xiàn)分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，解得或（舍去），所以20（12分）從年月日開(kāi)始，支付寶用戶(hù)可以通過(guò)“掃福字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得福卡（愛(ài)國(guó)福、富強(qiáng)福

12、、和諧福、友善福，敬業(yè)福），除夕夜，每一位提前集齊五福的用戶(hù)都將獲得一份現(xiàn)金紅包某高校一個(gè)社團(tuán)在年后開(kāi)學(xué)后隨機(jī)調(diào)查了位該校在讀大學(xué)生，就除夕夜之前是否集齊五福進(jìn)行了一次調(diào)查（若未參與集五福的活動(dòng)，則也等同于未集齊五福），得到具體數(shù)據(jù)如下表：是否集齊五福性別是否合計(jì)男女合計(jì)（1）根據(jù)如上的列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”？（2）計(jì)算這位大學(xué)生集齊五福的頻率，并據(jù)此估算該校名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù)；（3）以（2）中的頻率作為概率，從該校的名在讀大學(xué)生中隨機(jī)選取名，記這名大學(xué)生集齊五福的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望及方差參考公式：附表：【答案】（1）不能，詳見(jiàn)解析；（

13、2）；（3），【解析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀(guān)測(cè)值為，故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”（2）這80位大學(xué)生集齊五福的頻率為，據(jù)此估算該校10000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù)為（3）從該校的名在讀大學(xué)生中隨機(jī)選取名，每個(gè)學(xué)生集齊五福的概率為，隨機(jī)變量，綜上所述，21（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)不與軸重合的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得直線(xiàn)，的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）存在，詳見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)榻咕酁?，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，即，解得，所以，所以橢圓的方程為（2）由（1）知，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)不與軸重合，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，又，直線(xiàn)，的斜率分別為，所以，要使得直線(xiàn)，的斜率之積恒為定值，直線(xiàn)，解得當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得；當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得，綜上，在軸上