與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明

1、與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明(1)類(lèi)型之一 與切線的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】如圖Z12- 1,0 O的切線PC交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P, C為切點(diǎn)，若/ P=30°,O O的半徑為1,貝U PB的長(zhǎng)為 1.圖 Z12- 1經(jīng)典母題答圖解：（1）證明：v O（* OBOC*Z OBC【解析】如答圖，連結(jié)0C PC為0 0的切線，/ PC3 90°,在 Rt OCP中, v 0C= 1,Z P= 30°,0P= 20C= 2, PB= OP- 0B= 2- 1 = 1.【思想方法】(1)已知圓的切線，可得切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；(2)已知圓的切線，常作過(guò)切點(diǎn)的半

2、徑，得到切線與半徑垂直.【中考變形】2017天津已知AB是O0的直徑，AT是00的切線，/ ABT= 50°, BT交O 0于點(diǎn)C, E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交O 0于點(diǎn)D(1) 如圖Z12-2，求/ T和/ CDB的大??；(2) 如圖，當(dāng)BE= BC時(shí)，求/ CDO的大小.A圖 Z12- 2解：（1）如答圖，連結(jié)AC AT是。0的切線，AB是的直徑， AT 丄 AB,即/ TAB= 90 °,vZ ABT= 50°,AZ T= 90°/ ABT= 40由AB是O O的直徑，得Z AC* 90Z CA圧90°Z ABC= 40°,：Z

3、 CD圧 Z CA*40°中考變形答圖a中考變形答圖如答圖，連結(jié)AD在 BCE中, BE* BC, Z EBC*50°， Z BCEfZ BEC*65°,：Z BAD=Z BC*65v OA* OD Z OD*Z OA* 65°,vZ AD（*Z ABC*50°, Z CD*Z ODZ AD（* 65° 50°* 15° .【中考預(yù)測(cè)】2017宿遷如圖Z12 3, AB與OO相切于點(diǎn)B, BC為。O的弦，OCL OA OA與BC相交于點(diǎn)P.(1)求證：AP* AB；若O44, AB= 3,求線段BP的長(zhǎng).圖 Z12

4、- 3中考預(yù)測(cè)答圖 AB是OO的切線，二 OBLAB,:丄 OBA 90°,AZ ABFZ OBG 90°,v OCLAO / AOA 90°,Z OCBkZ CPO= 90°,vZ APB=Z CPQZ APB=Z ABP AFA AB; 如答圖，作 OHL BC于 H 在 Rt OAB中, v OB= 4, A吐 3, OAA 32 + 42a 5,v AP= AB= 3, PCA 2.在 Rt POC中, PCA OC+ OPA 2 5,1 1v-PC- OHA-OC- OP2 2 'OHAOP- OC 4廂PC A W CHA OC OH

5、A 誓,v OHL BC - CHA BHBCA 2CHA16、:55 , BPA BC PCA55類(lèi)型之二 與切線的判定有關(guān)的計(jì)算或證明【經(jīng)典母題】已知：如圖Z12 4 , A是OO外一點(diǎn),AO的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)C,點(diǎn)B在圓上,A且A吐BC,證明：如答圖,連結(jié)ob0B= OC A吐 BC, / A= 30°,OBC=Z C=/ A= 30° ,:丄 AO圧/ C+Z OBG 60° .vZ ABO= 180° ( Z AO+Z A) = 180° (60 ° + 30°) = 90°, AB丄OB又v OB為OO

6、半徑，二AB是OO的切線.【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法“作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”.【中考變形】1. 2016黃石如圖Z12 5,O O的直徑為AB,點(diǎn)C在圓周上(異于A, B) , AD 丄CD(1)若BJ3, A吐5,求AC的值； 若AC是Z DAB的平分線，求證：直線 CD是O O的切線.圖Z12 5中考變形1答圖解：（1） v AB是OO直徑，C在O O上,'Z ACB= 90 °,又v BC= 3, AB= 5,二由勾股定理，得AC= 4;證明：如答圖，連結(jié)ocv AC是Z DAB的平分線， Z DAGZ BAC又 v ADLDC / ADGZ

7、ACB= 90° , ADCAACB / DCAZ CBA又 v OA= OC / OAGZ OCAvZ OA+Z OBG90°,OC+Z Ad OC圧90° ,直線CD是O O的切線.2. 2017南充如圖Z12 6 ,在Rt ACB中 , Z AC圧90°,以AC為直徑作O O交AB于點(diǎn)D, E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線點(diǎn)F.(1)求證：DE是的切線;圖 Z12- 6若CF= 2, DF= 4,求直徑的長(zhǎng).中考變形2答圖【解析】 連結(jié)0D欲證DE是O O的切線，需證ODL DE即需證/ 0D490°,而/ AC* 90

8、76;，連結(jié) CD根據(jù)“等邊對(duì)等角”可知/ ODEZ OCE= 90°,從而得證；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解.解：(1)證明：如答圖，連結(jié) OD CD AC 是OO 的直徑，/ ADG 90° .Z BDG 90° .又 TE 為 BC的中點(diǎn)，1 DE= 2BC* CE, / EDC=Z ECDv OD= OC / ODGZ OCD Z EDOZ OD*Z ECDbZ OC*Z AC*90° . Z OD*90°,A DE是OO的切線;(2)設(shè)O O的半徑為 x.在 Rt ODF中, OD+ DF* OF,即 x

9、2 + 42* (x + 2)2,解得 x* 3. AO O 的直徑為 6.【中考預(yù)測(cè)】如圖Z12-7, AB是OO的直徑，點(diǎn) C, D在O O上，Z A*2Z BCD點(diǎn)E在AB 的延長(zhǎng)線上，Z AE亠Z ABC(1) 求證：DE與OO相切；(2) 若 BF*2, DF* 10,求O O的半徑.c解：（1）證明：如答圖，連結(jié)0D AB是。0的直徑，:丄 AC* 90°,/ A+Z ABC= 90°,/ BO圧2Z BCD Z A= 2Z BCDZ BO圧 Z A,vZ AED=Z ABC Z BO+Z AED= 90°, Z OD昌 90°, 即卩 OD

10、L DE - DE與O O相切；如答圖，連結(jié)BD,過(guò)點(diǎn)D作DHL BF于點(diǎn)Hv DE與O O相切，/ AC+Z BC亠 Z OD+Z BDE= 90 vZ Ad OBD Z OB圧 Z ODB /.Z BDE=Z BCD vZ AED=Z ABC /Z AFC=Z DBFvZ AFC=Z DFBFDB都是等腰三角形, FH= BH= 2bF= 1, H亠 DF FH= 3 ,在 Rt ODI中,OH+ DH= OD,即（OD- 1）2+ 32 = OD, OD= 5.即O O的半徑是5.與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明(2)CFAOBE1.如圖8, CD是O0的切線，切點(diǎn)為A,AB是O0的直徑.E,

11、F O0上的點(diǎn), 求證：/ DAEM FDE/A B.若EF/CD,求證： AEF是等腰三角形2. 如圖7 O 0的半徑為1,過(guò)點(diǎn)A(2, 0)的直線切 O 0于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.(1) 求線段AB的長(zhǎng)；(2) 求以直線AC為圖象的一次函數(shù)的解析式.D3、在厶ABC中，AB=AC內(nèi)切圓 O與邊BC AC AB分別切于 D E、F.(1) 求證：BF=CE(2) 若/ C=30°, CE =2、3，求 AC.D4. 如圖 10,在O O中，/ ACB=/ BDC=60, AC=/3cm ,(1)求/ BAC的度數(shù)；(2)求0 O的周長(zhǎng)5已知：如圖，AB是OO的直徑，AD是弦，OC垂直

12、AD于F交O O于E,連結(jié)DE BE且/C=Z BEDA(1)求證：AC是O O的切線;(2)若 OA=10, AD=16，求 AC的長(zhǎng).6如圖，MP切OO于點(diǎn)M，直線PO交OO于點(diǎn)A、B，弦AC / MP, 求證：MO / BC.P(2補(bǔ)充)連結(jié)CM,當(dāng)四邊形BCMO菱形時(shí)，求/ P的度數(shù) 或反過(guò)來(lái)問(wèn)：當(dāng).P =30°時(shí),判斷四邊形7如圖，在 ABC中，AB=AC，以AB為直徑的OO交BC于點(diǎn)M , MN丄AC于點(diǎn)N .(1) 求證MN是OO的切線；M(2) 若乂BAC=120°, AB =2，求圖中陰影部分的面積.8如圖， ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過(guò) A作直線 MN若/ MACM ABC .(1) 求證：MN是半圓的切線；(2) 設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié) BD交AC于G 過(guò) D作 DEL AB于 E,交 AC于 F.求證：FD= FGN9. 如圖，半圓的直徑 AB=10，點(diǎn)C在半圓上，BC=6.(1) 求弦AC的長(zhǎng)；(2) 若P為AB的中點(diǎn)，PE丄AB交AC于點(diǎn)E,求PE的長(zhǎng).AB二AC, BC交OO于點(diǎn)D , AC交OO于點(diǎn)E10. 已知：如圖， AB為的直徑, E,BAC =45° .(1 )求.EBC