2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案新人教A

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航1了解回歸分析的思想和方法.（重點(diǎn)）2掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和判斷線性相關(guān)的方法.（重點(diǎn)）3了解常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的方法.（難點(diǎn)）0，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，(1)正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(X，7 )，(2)正確；AA依據(jù)回歸方程中b的含義可知，x每變化 1 個(gè)單位，y相應(yīng)變化約 0.85 個(gè)單位，(3)正確； 用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)不能得到肯定結(jié)論，故(4)不正確.【答案】(2)(3)教材整理 2 刻畫回歸效果的方式閱讀教材 P4“探究”以下至 P6“例 2”以上內(nèi)容，完成下列問題.殘差A(yù)

2、A對(duì)于樣本點(diǎn)(Xi,yi)(i= 1,2，n)的隨機(jī)誤差的估計(jì)值ei=屮一yi,稱為相應(yīng)于點(diǎn)(Xi,y)的殘差殘差圖利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本 編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖續(xù)表殘差圖法殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型的擬合精度越高殘差平nA殘差平方和為瓦yiyi2,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好方和i = 1nEAyi-yi2i =1相關(guān)指1-,氏表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2數(shù)R2Ei = 1yiy2越接近于1，表示回歸的效果越好-O體驗(yàn)-甲、乙、

3、丙、丁 4 位同學(xué)各自對(duì)A、B兩變量做回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平nA方和 v (yi-yi)2如表所示:i =13小組合作型（1）有下列說法:1線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法;2利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示;3通過回歸方程y=bx+a,可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；4因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B. 2C. 3D. 4A AA（2）如果某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程y=bx+a+e（單位：億元），其中AAb= 0.8 ,

4、a= 2, |e| 0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10 億元，則今年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過_ 億.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092000】【自主解答】（1）反映的是最小二乘法思想， 故正確.反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確.解釋的是回歸方程y=bx+a的作用，故也正確.是不正確的，在求回歸方程之?dāng)M合精度高.【解根據(jù)線性相關(guān)的知識(shí),散點(diǎn)圖同時(shí)保持殘差平方和越小（對(duì)于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù),nR2表達(dá)式中 V （屮一7 ）2為確定的數(shù)，則殘差平方和i = 1越小，R2越大），由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果就越好，由試驗(yàn)結(jié)果知丁要好些【答案】 丁階股21介作探究通關(guān)回歸分析的有關(guān)概念4前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，以體現(xiàn)兩

5、變量的關(guān)系.5由題意可得：y= 0.8x+ 2+e,當(dāng)x= 10 時(shí)，y= 0.8 x 10+ 2+e= 10 +e,又 |e| 0.5 ,9.5 y0 且 1,c0,a,c為常數(shù))的周圍，如何進(jìn)行適當(dāng)變換化為線性關(guān)系？xX【提示】對(duì)y=ca兩邊取自然對(duì)數(shù) Iny= ln(ca),即 Iny= Inc+xlna,y= Iny,令，原方程變?yōu)閥= Inc+x Ina,x=x,然后按線性回歸模型求出 Ina, Inc即可.探究 2 已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個(gè)?y=3X2x 1；y=log2x;2y= 4x;y=x.【提示】觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律可判斷樣

6、本點(diǎn)分布在曲線y= 3X2x1附近所以模擬效果最好的為.枚I某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170所以,5zi = 1氏=1-x123y35.9912.0111體重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回歸方程;12(2)如果一名在校男生身高為168 cm,預(yù)測(cè)他的體重約為多少？【精彩點(diǎn)撥】先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的擬合模型，再通過對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來求

7、解.【自主解答】(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下：60込/20 , *10八身高亦0- - - - - -二-*20 40 60 SO 100 120 140 160 180求由圖看出，這些點(diǎn)分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y=ciec2x的周圍，于是令z= Iny,列表如下:x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散點(diǎn)圖，如下:02040 W U0 )00 120 I4Q 1M)土AA由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為z= 0.693 + 0.020 x，則

8、有y= e693+20 x.(2)由知，當(dāng)x= 168 時(shí)，y= e.693+.2* 57.57，所以在校男生身高為168 cm,預(yù)測(cè)他的體重約為 57.57 kg.兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如y=C1ec2x,我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z= lny,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a a= lnC1,b=C2的周圍.名師j13再練一題3在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的 5 個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表:x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程.【解】 作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖

9、如圖所示.由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系.t4210.50.25y1612521由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系.55又t= 1.55 ,y= 7.2，二:tiyi= 94.25，二 t：= 21.312 5 ,i =1i =194.255X1.55X7.2221.312 55X1.554.134 4 tf 5t2i =1a=yb t=7.24.134 4X1.550.8,y= 4.134 4t+ 0.8.A4 134 4所以y與x的回歸方程是y=+ 0.8.01234 Jki設(shè)y= -，令t= -，貝 Vy=kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表:XX作出y與t的散點(diǎn)圖如圖所示

10、.5_ _vtiyi- 5t yi =1514i.下列結(jié)論正確的是()函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；回歸分析是對(duì)具有 函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn) 行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.A.B.C.D.【解析】 函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系， 故正確；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，故錯(cuò)誤，正確.【答案】 C2下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回歸方程必過點(diǎn)()x1234y1357A.(2,3)B. (1.5,4)C. (2.5,4)D. (2.5,5)【解析】

11、線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心(x,y),即(2.5,4)，故選 C.【答案】 C3在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4 個(gè)不同的模型它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A. 模型 1 的相關(guān)指數(shù)R2為 0.98B. 模型 2 的相關(guān)指數(shù)R2為 0.80C. 模型 3 的相關(guān)指數(shù)R2為 0.50D. 模型 4 的相關(guān)指數(shù)R2為 0.25【解析】 相關(guān)指數(shù)氏越接近于 1，則該模型的擬合效果就越好，精度越高.【答案】 A4.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y,由測(cè)得的一組數(shù)據(jù)求得回歸直線的斜率為6.5 ,且恒過(2,3)點(diǎn)，則這條回歸直線的方程為 _ .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092002】

12、階股3體驗(yàn)落實(shí)評(píng)價(jià)(課堂回請(qǐng)即時(shí)達(dá)標(biāo)15_ AA _ A_【解析】由題意知x= 2,y= 3,b=6.5，所以a=ybx= 3 6.5x2= 10, 即回歸直線的方程為y= 10+ 6.5x.A【答案】y= 10+ 6.5x5.某零售店近五個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表:月份ABCDE銷售額x(千萬兀)35679利潤(rùn)額y(百萬兀)23345畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，說明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)關(guān)系；(2)用最小二乘法求利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x的線性回歸方程；當(dāng)銷售額為 4(千萬元)時(shí)，利用的結(jié)論估計(jì)該零售店的利潤(rùn)額(百萬元).【解】(1)散點(diǎn)圖如下.-02468萬無兩個(gè)變量呈正線性相關(guān)關(guān)系.設(shè)線性回歸方

13、程是y=bx+a. 由題中的數(shù)據(jù)可知y= 3.4 ,x= 6.5Z XixyiyAi =1所以b=-5 2Z Xixi =1+1Xijjl+!XLI+1X0.6+3X1.6=9+1+1+9_ u=20=2.A _ A1a=yb x=3.4x6=0.4.所以利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x的線性回歸方程為y= 0.5x+ 0.4.A(3)由(2)知，當(dāng)x= 4 時(shí)，y= 0.5x4+ 0.4 = 2.4 ,所以當(dāng)銷售額為 4 千萬元時(shí)，可以估計(jì)該店的利潤(rùn)額為2.4 百萬元.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)16nA2（yiyi）2越小，即殘差平方和越小，故選B.i =1【答案】B3.已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)xo123y1357則

14、y與x的線性回歸方程y=bx+a必過點(diǎn)()A. (2,2)B. 2, 0C. (1,2)D. 2，4131【解析】 x = 4(0 + 1 + 2+ 3) = 2，y= -(1 + 3+ 5+ 7) = 4,A A A冷、選擇題（建議用時(shí)：45 分1 在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面敘述正確的是（）【解結(jié)合線性回歸模型y=bx+a+e可知，解釋變量在x軸上，預(yù)報(bào)變量在y軸上，故選 B.2.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和（)A.越大B.越小C.可能大也可能小D.以上均錯(cuò)yiyi【解 R2= 1 一nzi = 12yiyR2越大時(shí),【答案】BnZi =1八217回歸方程y=bx+a

15、必過點(diǎn)；2,【答案】4.已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分?jǐn)?shù)y的回歸方程為y= 0.577X 0.448，如果某人 36 歲，那么這個(gè)人的脂肪含量()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092003】A. 定是 20.3%B. 在 20.3%附近的可能性比較大C. 無任何參考數(shù)據(jù)D. 以上解釋都無道理【解析】 將X= 36 代入回歸方程得y= 0.577X36 0.44820.3.由回歸分析的意義知，這個(gè)人的脂肪含量在 20.3%附近的可能性較大，故選B.【答案】 B5.若一函數(shù)模型為y=ax2+bx+c(a0),為將y轉(zhuǎn)化為t的線性回歸方程，則需作變 換t=()22A. xB.(x+a)C.x+舊2D.以上都不對(duì)

16、【解析】y關(guān)于t的線性回歸方程，實(shí)際上就是y關(guān)于t的一次函數(shù)，又因?yàn)閥=b 4acb2a x+石 +4a，所以可知選項(xiàng) C 正確.【答案】 C二、填空題6. 在一組樣本數(shù)據(jù)(X1, y , gy2)，(xn,yn)(n2,X1,X2,Xn不全相等)1的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(為，yi)(i= 1,2，n)都在直線y= x+ 1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_.【解析】 根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當(dāng)所有樣本點(diǎn)都在直線上時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1.【答案】 17.已知方程y= 0.85x 82.71 是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，其中x的單位是 cmy的單位是 kg，那么針對(duì)某個(gè)體(1

17、60,53)的殘差是_ .18【解析】 把x= 160 代入y= 0.85x 82.71 ,得y= 0.85X160 82.71 = 53.29 ,所以殘差e=yy= 53 53.29 = 0.29.【答案】 0.29&調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查19于是a=yb x= 5 1.23X4= 0.08.所以線性回歸方程為y= 1.23x+ 0.08.當(dāng)x= 10 時(shí)，y= 1.23X10+ 0.08 = 12.38(萬元),即估計(jì)使用 10 年時(shí)維修費(fèi)用是 12.38 萬元.顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)

18、x的回歸直線方程：y= 0.254x+ 0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1 萬元，年飲食支出平均增加_萬元.【解析】以X+ 1 代X,得y= 0.254(x+ 1) + 0.321，與y= 0.254x+ 0.321 相減可得,年飲食支出平均增加 0.254 萬元.【答案】0.254三、解答題9關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：X23456y2.23.85.56.57.0(2)估計(jì)使用年限為 10 年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?【解+ 3 + 4 + 5+ 6(1)x= 4,2.2 + 3.8 + 5.5 + 6.5 + 7.05=5,52 Xi=9

19、0,i =15% Xiyi= 112.3 ,i = 15xXiyi 5x yi =1A112.35X4X52905X41.23.如由資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:n(1)線性回歸方程:ybx,i = 1n Xin xi =12010 關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：21x24568y3040605070為了對(duì)x,y兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：甲模型乙模型y= 7x+ 17,試比較哪一個(gè)模型擬合的效果更好.因?yàn)?84.5%82%所以甲模型擬合效果更好.能力提升1 某學(xué)生四次模擬考試時(shí)，其英語作文的減分情況如下表:考試次數(shù)x1234所減分?jǐn)?shù)y4.5432.5顯然所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)

20、x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，則其線性回歸方程為( )A.y= 0.7x+ 5.25B.y= 0.6x+ 5.25C.y= 0.7x+ 6.25D.y= 0.7x+ 5.25【解析】由題意可知，所減分?jǐn)?shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負(fù)相關(guān)，所以排除A.考1 1試次數(shù)的平均數(shù)為x= 4x(1 + 2 + 3 + 4) = 2.5，所減分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為y=(4.5 + 4 + 3+ 2.5) = 3.5.即直線應(yīng)該過點(diǎn)(2.5,3.5)，代入驗(yàn)證可知直線y= 0.7x+ 5.25 成立，選 D.【答案】 D2.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為

21、y=bx+a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù) 據(jù)(1,0)和(2,2)求y= 6.5x+ 17.5 ,【解5Zi =1R甲= 1 5Zi = 1yiy155-=1 -1 0002=0.8455Zi = 1Rl= 1 八2yiyi1801 000=0.8222得的直線方程為y=b x+a , 則 以 下 結(jié) 論 正 確 的 是23由(1,0) , (2,2)求b,aa=02X1= 2.求b,a時(shí)，6、Xiy= 0+ 4 + 3 + 12+ 15 + 24 = 58,i =113x=3.5,y=6,6、X2= 1 + 4 + 9+ 16+ 25 + 36 = 91,i =113586X3.5X A6b=2916X3.5ba【答案】 C3.已知x,y的取值如下表所示，由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y= 0.95x+ 2.6，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為_x0134y2.24.34.8m0+ 1 + 3 + 422+ 4.3 + 4.8 +m11.3 +m一x=4=2，y=4=廠，把(x，113 +m回歸方程得4=0.95X2+ 2.6，解得 m= 6.7.【答案】 6