元二次方程根的分布練習及答案

1、【定理11 xi0 , x2推論：x10 , x20【例1】圍。若一元二次方程(m 1)x22(m 1)x m 0有兩個正根，求m的取值范一元二次方程根的分布一 一元二次方程根的基本分布一一零分布所謂一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相對于零的關系。比如二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根 分布在零的兩側。設一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個實根為x1, x2，且x1 x2。b2 4ac 00(兩個正根)b ，x x20acxix20a22b 4ac 0 b 4ac 0a 0或 a 0f (0) c 0 f (0)

2、 c 0b 0b 0上述推論結合二次函數(shù)圖象不難得到。,，、24(m 1)4m(m 1) 0分析：依題意有2(m 1) 0m 10< m <1。b2 4ac 0【定理2】x10, x2 0x1x20'a推論：x1 0 , x2 0由二次函數(shù)圖象易知它的正確性?！纠?】若一元二次方程，.12(k 或 k>3)5c cx1x20a,22.b 4ac 0 b 4ac 0a 0或 a 0f(0) c 0 f (0) c 0b 0b 02kx3kx k 3 0的兩根都是負數(shù)，求k的取值范圍。【定理3】x10x2- 0a【例3】k在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程2kx 3kx k 3

3、0有一個正根和一個負 k 3分析：依題意有 L<0=>0<k<3【定理4】 xi 0, X20 c 0且b 0；ab x10, x20 c 0 且一0。a【例4】若一元二次方程kx2 (2k 1)x k 3 0有一根為零，則另一根是正根還 是負根分析：由已知k-3=0, . k =3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根為負。.一元二次方程的非零分布k分布.2b 4ac 0【定理1】kx1x2設一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0)的兩實根為x1, x2，且x1 x20k為常 數(shù)。則一元二次方程根的 k分布(即x1, x2相對于k的位置)有以下若干定理。af (

4、k) 0A k 2a【定理2 x1 x2 kb2 4ac 0af (k)2a【定理3】xik x2af (k) 0。推論 1 x10 x2ac 0。推論 2 x11 x2a(a b c) 0?！径ɡ?】有且僅有k1 x1(或x2)k2f(k1)f(k2)0【定理 5】k1x1k2 P1 x2P2a 0 a 0 f(k1) 0 f (k1) 0f(k2) 0 或 f(k2) 0f(P1) 0 f(d) 0f(P2) 0fg) 0此定理可直接由定理 4推出，請讀者自證。,22b 4ac 0 b 4ac 0【定理6】k1xX2 k2a 0a 0f (k1) 0 或 f(k1)0f(k2) 0f(k2

5、) 0k1 k22ak1k22a、例題與練習【例5】已知方程x2 11xm 2 0的兩實根都大于1,求m的取值范圍。12 m吧)4次方程(m(3)若一例6范圍。(2)(3).次方程1千 一或m2已知方程已知方程(12已知方程式：改為較小實根(4)若方程x2(5)若方程x2求k的取值范圍。2mx (m2褥)mx2 (m1)x1)x2 mx2m2(m 2)x2)3222m0的兩個實根都大于 -1 ,0的兩實根都小于2,求m的取值范圍。求m的取值范圍。0有一根大于2,另一根比2小，求m的取值二)20有一實根在0和1之間，求m的取值范圍。(m2)x2m0的較大實根在0和1之間，求實數(shù)m的取值范圍。(不

6、可能;m 2)(k2)x2.3(k(6 )已知關于xk1一)20的兩實根均在區(qū)間(1、1)內(nèi)，求k的取值范圍。2)x2k 1(-k2的方程(m0的兩根中，一根在23)1)x2 2mx m20和1之間，另一根在1和2之間,1 ，求m的取值范圍。m 6 0的兩根為J7 或 2mJ7 )且滿足【例7】已知關于x的二次方程x2+2m)+2n+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1 , 2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.本題重點考查方程的根的分布問題，解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所 具有的意義.技巧與方法：設出

7、二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線 內(nèi)，畫出示意圖，得f(x)=x2+2m*2mH與x軸的交點分別在區(qū)間( 1, 0)和(1, 2)f(0) f( 1) f(1) f(2)2m24m6m10, 20,0, 012R,1256f(0) 0,(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，列不等式組 f(1) 0, 0,0 m 112,(這里0<nr1是因為對稱軸x=- m應在區(qū)間(0 , 1)內(nèi)通過)12,.2或m 1 . 2, m 0.1.若方程4x (m 3)?2x m 0有兩個不相同的實根，求 m的取值范圍。提示：令2x=t轉(zhuǎn)化

8、為關于t的.次方程有兩個不同的正實根。答案:0Vm <12.若關于x的方程 范圍。ig(x220x) lg(8x6a3)0有唯一的實根,求實數(shù)a的取值提示：原方程等價于20x 02(M x 020x 8x 6a12x 6a 3令 f (x) = x2+12x+6a+311(1)若拋物線丫 = "*)與*軸相切，有 =1444(6 a+3)=0即a =11。2將a =11代入式有x =- 6不滿足式，.aw11。22(2)若拋物線丫="*)與*軸相交，注意到其對稱軸 為x =- 6,故交點的橫坐標有且僅有一個滿足式的充要條件f( 20) - f(0) 0.當回是0解得1

9、631a -。626另法：原方程等價于1 ，一時原方程有唯一解。22x +20x=8x 6a 3(x <20 或 x >0)d是方程f(x) =0的兩根A、<a < b<B、a < < <b問題轉(zhuǎn)化為：求實數(shù)a的取值范圍，使直線y=8x 6 a 3與拋物線y = x2 +20 x ( x < 20或x >0)有且只有 一個公共點。雖然兩個函數(shù)圖像都明確，但在什么條件下它們有且 只有一個公共點卻不明顯，可將變形為 x2+12x+3=- 6a(x<20或x>0),再在同一坐標系中分別也作出拋 物線y = x2+12x+3和直線y =-6a ,如圖，顯然當 3<1631-6 a <163 IP a 時直線y= 6a與拋物線62有且只有一個公共點。3 .已知 f (x) =( x - a )( x-b)-2(a<b),并且(< ),則實數(shù)a , b,、 的大小關系是()<a< &