曲面造型的發(fā)展趨勢(shì)

1、幾何造型問(wèn)題兒何造型研究三維兒何信息如何在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示、分析和綜合兒何造型是內(nèi) 在的理論基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)，是隨著航空、汽車等現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展與計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而 產(chǎn)生與發(fā)展起來(lái)的一門(mén)學(xué)科幾何造型作為信息技術(shù)的一個(gè)重要組成部分，將計(jì)算 機(jī)高速、海量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)及處理和挖掘能力與人的綜合分析及創(chuàng)造性思維能力結(jié)合 起來(lái)，對(duì)加速產(chǎn)品開(kāi)發(fā)、縮短設(shè)計(jì)制造周期、提高質(zhì)量、降低成木、增強(qiáng)金業(yè)市 場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)能力與創(chuàng)新能力發(fā)揮著重要作用。幾何造型這個(gè)術(shù)語(yǔ)首先是在年代初期，隨著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)鋪助設(shè)計(jì) 和制造技術(shù)的迅速發(fā)展開(kāi)始使用的它是幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)的完美結(jié)合幾何造型包 括兩個(gè)分支第一個(gè)分支研究在計(jì)算機(jī)內(nèi)如何描述一張曲面，如何對(duì)

2、它的形狀進(jìn)行 交互式的顯示與控制，即曲面造型第二個(gè)分支發(fā)展較晚，它著重研究如何在計(jì)算 機(jī)內(nèi)定義、示一個(gè)三維物體，即所謂實(shí)體造型曲面造型與實(shí)體造型是互相支持、 互相補(bǔ)充的光冇曲而造型，我們的目光就會(huì)停留在組成物體的一張張表而上，無(wú) 法去計(jì)算和分析物體的許多整體性質(zhì)，如物體的體積、表面積、重心等，也不能 將這個(gè)物體作為一個(gè)整體去考察它與其它物體相互關(guān)聯(lián)的性質(zhì)如兩個(gè)物體是否 相交如不相交，它們之間的最短距離是多少反之，如果光有實(shí)體造型而無(wú)曲面造 型，我們將無(wú)法準(zhǔn)確地描述和控制物體的外部形狀。在歷史上，曲面造型和實(shí)體 造型是互相獨(dú)立、平行發(fā)展的，彼此z間幾乎沒(méi)冇影響關(guān)于實(shí)體造型的理論的發(fā) 展落后于曲線

3、曲面，雖然近幾年已經(jīng)取得了很大進(jìn)展并進(jìn)入實(shí)際應(yīng)用，但仍不及 曲線曲面理論那樣成熟。一、曲線曲面造型曲面造型(surface modeling)是計(jì)算機(jī)輔助兒何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design,cagd)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(computer graphics)的一項(xiàng)重耍內(nèi) 容，主耍研究在計(jì)算機(jī)圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對(duì)曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示和分析。它 起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由coons、bezier等大師 于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。曲線曲面造型的核心問(wèn)題是計(jì)算機(jī)表示，即要找到既適合計(jì)算機(jī)處理且有效 地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信

4、息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描 述的數(shù)學(xué)方法。早在1963年，美國(guó)波咅飛機(jī)公司的ferguson首先提出將曲線 曲而表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法，并引入?yún)?shù)三次曲線，并構(gòu)造了由四角點(diǎn)的位置 矢量及兩個(gè)方向的切矢定義的雙三次曲面片，從此曲線曲面的參數(shù)化形式成為形 狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。1964年美國(guó)麻省理工學(xué)院的coons發(fā)表種具有般 性的曲面描述方法，稱為超限插值，coons曲面插值給定的四條邊界曲線及其跨 界導(dǎo)矢信息四條邊界曲線可以是任意類型的參數(shù)曲線，但這些稱為雙線性混合的 曲面片一般不能實(shí)現(xiàn)光滑拼接，為了獲得整體上一階參數(shù)連續(xù)曲面，必須應(yīng)用雙 三次混合的coons曲面片，且滿足扭矢相容性條件，c

5、oons方法在曲線曲面造型 屮具有重大影響，它在飛機(jī)外型設(shè)計(jì)中取得了很大成功，并且可作進(jìn)一步推廣。 1946年schoenberg提岀的樣條函數(shù)方法，提供了解決連接問(wèn)題的一種技術(shù)，用 丁形狀描述的樣條方法是它的參數(shù)形式，即參數(shù)樣條曲而，它用于解決插值問(wèn)題, 特別用于構(gòu)造整體達(dá)到某種參數(shù)連續(xù)階的插值曲面是很方便的，但不存在局部形 狀調(diào)整的自曲度，并且樣條曲面的形狀難以預(yù)測(cè)。1971年法國(guó)雷諾汽車公司的 bezier提出一種由控制多邊形設(shè)計(jì)曲線的新方法，這種方法不僅簡(jiǎn)單易用，而且 漂亮地解決了整休形狀控制問(wèn)題，把曲線曲面的設(shè)計(jì)向前推進(jìn)了一大步，為曲面 造型的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但bezie

6、r方法仍存在連接問(wèn)題和局部修 改問(wèn)題，而且當(dāng)特征多邊形邊數(shù)較多時(shí)，多邊形對(duì)曲線的控制減弱。到1972年, de-boor總結(jié)、給出了關(guān)于b樣條的一套標(biāo)準(zhǔn)算法,1974年gordon和riesenfeld 又把b樣條理論應(yīng)用于形狀描述，最終提出了b樣條方法。這種方法繼承了 bezier方法的一切優(yōu)點(diǎn)，克服了 bezier方法存在的缺點(diǎn)，較成功地解決了局部 控制問(wèn)題，又輕而易舉地在參數(shù)連續(xù)性基礎(chǔ)上解決了連接問(wèn)題，從而使自由型曲 線曲面形狀的描述問(wèn)題得到較好解決。上述各種方法尤其是b樣條方法較成功地解決了自由型曲線曲面形狀的描 述問(wèn)題然而將其應(yīng)用于圓錐截線及初等解析曲面卻是不成功的，都只能給出近 似

7、表示，不能滿足大多數(shù)機(jī)械產(chǎn)品的要求。但隨著生產(chǎn)的發(fā)展，b樣條方法顯示 出明顯不足棗不能精確表示圓錐截線及初等解析曲而，這就造成了產(chǎn)品幾何定義 的不唯一，使曲線曲面沒(méi)有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述形式，容易造成生產(chǎn)管理混亂。在參 數(shù)表示范圍里，福利斯特首先給出了表達(dá)為冇理貝齊爾形式的圓錐截線(for1968.鮑爾(ball, 1974, 1975, 1977)在他的consurf系統(tǒng)中提出的有理 方法在英國(guó)飛機(jī)公司得到廣泛的使用。為了滿足工業(yè)界進(jìn)一步的要求，1975年 美國(guó)syracuse大學(xué)的versprille首次捉出冇理b樣條方法。后來(lái)由于piegl和 tiller等人的功績(jī)，終于使非均勻冇理b樣條(n

8、urbs)方法成為現(xiàn)代曲面造型中 最為廣泛流行的技術(shù)。nurbs方法的提出和廣泛流行是生產(chǎn)發(fā)展的必然結(jié)果。nurbs方法的突岀優(yōu)點(diǎn)是：可以精確地表示二次規(guī)則曲線曲面，從而能用 統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式表示規(guī)則曲而與自由曲而，而其它非冇理方法無(wú)法做到這一點(diǎn)； 具有可影響曲線曲面形狀的權(quán)因了，使形狀更宜于控制和實(shí)現(xiàn)；nurbs方法是 非有理b樣條方法在四維空間的直接推廣，多數(shù)非冇理b樣條曲線曲面的性質(zhì) 及其相應(yīng)算法也適用于nurbs曲線曲面，便于繼承和發(fā)展。由于nurbs方法 的這些突岀優(yōu)點(diǎn)，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(iso)于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交 換的step國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，將nurbs方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品

9、幾何形狀的唯一數(shù)學(xué) 描述方法，從而使nurbs方法成為曲面造型技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)中最重要的基礎(chǔ)。二、曲面造型的發(fā)展如今經(jīng)過(guò)三十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以非均勻有理b樣條 (nurbs)參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面(implicit algebraic surface)表示這兩 類方法為主體，以插值(interpolation)擬合(fitting)逼近(approximation)這三 種手段為骨架的幾何理論體系。近年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)圖形顯示對(duì)于真實(shí)性、實(shí)時(shí)性和交互性要求的口益增強(qiáng), 隨著圖形工業(yè)和制造工業(yè)邁向一體化、集成化和網(wǎng)絡(luò)化步伐的日益加快，隨著激 光測(cè)距掃描等三維數(shù)據(jù)采用技術(shù)和碩件設(shè)備的

10、日益完善，參數(shù)曲線曲面造型取得 了迅猛的發(fā)展這主要表現(xiàn)在研究領(lǐng)域的急劇擴(kuò)展，表示方法不斷涌現(xiàn)和研究工 具、研究方法的開(kāi)拓創(chuàng)新(wang2001.從研究領(lǐng)域來(lái)看，曲面造型技術(shù)已從傳 統(tǒng)的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，擴(kuò)充到曲面變形、曲面重建、曲面簡(jiǎn) 化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性新的研究方法主要有基于偏微分方程(pde)的曲面造 型方法、基于物理模型的曲面造型方法、基于細(xì)分的曲面造型方法。曲線曲面造 型屮雖然出現(xiàn)了這么多新的造型技術(shù)，但是其基礎(chǔ)述是以nurbs為代表的曲線 曲面造型技術(shù)，如:空間變形方法基于參數(shù)曲線曲面變形，參數(shù)化的好壞直接影 響變形的效果;曲面重建的關(guān)鍵技術(shù)是插值與逼近，而參數(shù)曲

11、面重建方法是最常 用的方法:在曲面轉(zhuǎn)換屮隱式曲面轉(zhuǎn)換成參數(shù)曲面存在參數(shù)化的問(wèn)題，有理 bezier曲線曲面的降階離不開(kāi)逼近技術(shù)和參數(shù)化;等距曲線曲面更是基于重新參 數(shù)化和逼近技術(shù)參數(shù)化和插值與逼近技術(shù)是參數(shù)曲線曲而造型技術(shù)的基礎(chǔ)問(wèn) 題。曲面變形(deformation or shape blending)傳統(tǒng)的nurbs曲面模型僅允許調(diào)整控制頂點(diǎn)或權(quán)因子來(lái)局部改變曲面形 狀，至多利用層次細(xì)化模型在曲而特定點(diǎn)進(jìn)行直接操作；一些簡(jiǎn)單的基于參數(shù)曲 線的曲面設(shè)計(jì)方法，如掃掠法(sweeping)蒙皮法(skinning)、旋轉(zhuǎn)法和拉伸法 也僅允許調(diào)整生成曲線來(lái)改變曲面形狀。計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)業(yè)和實(shí)體造型業(yè)迫切

12、需要發(fā) 展與曲面表示方式無(wú)關(guān)的變形方法或形狀調(diào)配方法，于是產(chǎn)生了自由變形(ffd ) 法、基于彈性變形或熱彈性力學(xué)等物理模型的變形法、基于求解約束的變形法、 基于幾何約束的變形法等曲而變形技術(shù)，以及基于多而體對(duì)應(yīng)關(guān)系或基于圖彖形 態(tài)學(xué)中minkowski和操作的曲面形狀調(diào)配技術(shù)。曲面重建(reconstruction)在精致的轎車車身設(shè)計(jì)或人臉類雕塑曲面的動(dòng)畫(huà)制作屮，常先用油泥制模， 再作三維型值點(diǎn)采樣。在醫(yī)學(xué)圖象可視化中，也常用ct切片來(lái)得到人體肌器表 而的三維數(shù)據(jù)點(diǎn)。從曲而上的部分采樣信息來(lái)恢復(fù)原始曲而的幾何模型，稱為曲 面重建。采樣工具為激光測(cè)距掃描器、醫(yī)學(xué)成像儀、接觸探測(cè)數(shù)字轉(zhuǎn)換器、雷

13、達(dá) 或地震勘探儀器等。根據(jù)重建曲面的形式，它可分為函數(shù)型曲面重建和離散型曲 面重建。前者的代表工作有eck于1996年建立的任意拓?fù)鋌樣條曲面自動(dòng)重建 法和sapidis于1995年創(chuàng)造的離散點(diǎn)集擬和法。后者的常用方法是建立離散點(diǎn) 集的平而片逼近模型，如hoppe于1992年和1994年先后創(chuàng)造的分片線性或分 片光滑的曲面模型。對(duì)于離散型重建，要求輸出曲面具有正確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并且隨 著采樣密度的增加而收斂到原始曲面。當(dāng)重建曲面為閉曲面時(shí)，miller等人發(fā)展 出一種基于可變形模型的曲面重建方法。1998年amenta等人又提出了基于計(jì) 算兒何中voronoi圖和delaunay三角化的全新的曲面

14、重建算法，稱為外殼(crust) 算法。這種算法的優(yōu)點(diǎn)在丁輸出的離散曲而在細(xì)節(jié)區(qū)域具冇密集點(diǎn)，而在無(wú)特征 的區(qū)域具有稀疏點(diǎn)。最近幾年，曲面重建的研究形成了熱潮，這幾年的 siggraph 會(huì)議 siggraph(special interest group for computer graphics,計(jì)算 機(jī)圖形圖像特別興趣小組)上有多篇文章對(duì)此進(jìn)行了專門(mén)報(bào)告。曲面簡(jiǎn)化(simpl if icat ion)與曲而重建一樣，這一研究領(lǐng)域目前也是國(guó)際熱點(diǎn)之一。其基本思想在于從 三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結(jié)果(主要是三角網(wǎng)絡(luò))中去除冗余信 息而又保證模型的準(zhǔn)確度，以利于圖形顯示的實(shí)吋性、數(shù)

15、據(jù)存儲(chǔ)的經(jīng)濟(jì)性和數(shù)據(jù) 傳輸?shù)目焖傩?。?duì)于多分辨率曲面模型而言，這-技術(shù)還有利于建立曲面的層次 逼近模型，進(jìn)行曲面的分層顯示、傳輸和編輯。具體的曲面簡(jiǎn)化方法有網(wǎng)格頂點(diǎn) 剔除法、網(wǎng)格邊界刪除法、網(wǎng)格優(yōu)化法、最大平而逼近多邊形法以及參數(shù)化重新 采樣法。曲面轉(zhuǎn)換(conve r s i on)同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學(xué)形式，這一思想不僅具有理論意義，而且 具有工業(yè)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)意義。例如，nurbs這種參數(shù)有理多項(xiàng)式曲面雖然包括了 參數(shù)多項(xiàng)式曲而的一切優(yōu)點(diǎn)，但也存在著微分運(yùn)算繁瑣費(fèi)時(shí)、積分運(yùn)算無(wú)法控制 謀差的局限性。而在曲面拼接及物性計(jì)算中，這兩種運(yùn)算是不可避免的。這就提 出了將一張nurbs曲面轉(zhuǎn)化

16、成近似的多項(xiàng)式曲面的問(wèn)題。同樣的要求更體現(xiàn)在 nurbs曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)與多項(xiàng)式曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)傳遞和無(wú)紙化生產(chǎn)的 工藝中。再如，在兩張參數(shù)曲面的求交運(yùn)算中，如果把其中一張曲面的nurbs 形式轉(zhuǎn)化為隱式，就容易得到方程的數(shù)值解。近幾年來(lái)，國(guó)際圖形界對(duì)曲而轉(zhuǎn)換 的研究主要集中在以下幾方面：nurbs曲面用多項(xiàng)式曲面來(lái)逼近的算法及收斂 性；bezier曲線曲面的隱式化及其反問(wèn)題;consurf飛機(jī)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的ball曲 線向高維推廣的各種形式比較及互化；有理bezier曲線曲面的降階逼近算法及 誤差估計(jì)；nurbs曲面在三角域上與矩形域上的互相快速轉(zhuǎn)換。曲面等距性(offset)它在計(jì)算機(jī)圖形及

17、加工中有著廣泛的應(yīng)用，因而成為這幾年的熱門(mén)課題z 一。例如，數(shù)控機(jī)床的刀具路徑設(shè)計(jì)就要研究曲線的等距性。但從數(shù)學(xué)表達(dá)式中 容易看出，一般而言，一條平面參數(shù)曲線的等距曲線不再是有理曲線，這就超越 了通用nurbs系統(tǒng)的使用范圍，造成了軟件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定 性。為解決這一問(wèn)題，十幾年來(lái)國(guó)際圖形界捉出了用簡(jiǎn)單曲線來(lái)逼近等距曲線的 種種算法，這又帶來(lái)了收斂性考核、計(jì)算不穩(wěn)定、誤羌難控制等問(wèn)題。那么，是 否存在具有精確有理等距曲線的某種參數(shù)曲線(or曲線)呢？ 1990年美國(guó)學(xué)者 farouki首次找到某一類特殊的平面參數(shù)多項(xiàng)式曲線具有這種性質(zhì)，稱之為ph 曲線。而到1993年，浙江大學(xué)的

18、呂偉利用復(fù)分析法、重新參數(shù)化和代數(shù)幾何技 術(shù)，完整地給出了or多項(xiàng)式和有理參數(shù)曲線的一般形式，徹底解決了平面曲線 的等距線的有理化問(wèn)題。在曲面等距性問(wèn)題上，呂偉于1996年證明了常用二次 曲面的有理等距曲面均可用有理參數(shù)樣條精確表示的結(jié)論；同年他與奧地利學(xué)者 pottmann等揭示岀有理直紋面的等距面可以有理參數(shù)化，同時(shí)證明了脊線為有 理樣條曲線的管道曲而可以精確表示為冇理樣條曲而。曲線曲而的等距性還與機(jī) 械學(xué)中的形位公差理論及幾何設(shè)計(jì)中的區(qū)間曲線曲面有著密切的關(guān)系。網(wǎng)格細(xì)分(subd i v i s i on)nurbs盡管早已被國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織作為定義工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的step標(biāo) 準(zhǔn)，在工業(yè)

19、造型和動(dòng)畫(huà)制作中得到了廣泛的應(yīng)用，但仍然存在著局限性。單一的 nurbs曲面與其他參數(shù)曲面一樣，僅限于表示在拓?fù)渖系葍r(jià)于一張紙、一張圓 柱面或一張圓環(huán)面的曲面，不能表示任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面。為了表達(dá)特征動(dòng)畫(huà)中 更復(fù)雜的形狀，如人的頭、手或服飾，我們而臨著一場(chǎng)技術(shù)挑戰(zhàn)。細(xì)分方法作為 曲線曲面的離散造型方法，其處理過(guò)程簡(jiǎn)單，對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算、生成和顯示的速度快, 因而得到了廣泛的重視，并在幾何造型中得到應(yīng)用。1978年,catmull clark和 doo2sabin分別提出將b樣條曲面推廣到任意拓?fù)渚W(wǎng)格的細(xì)分算法，標(biāo)志著細(xì)分 方法正式成為曲面造型的一種手段。balla. a.給tbt catmull

20、clark細(xì)分曲面 g1連續(xù)的嚴(yán)格分析。loop在1987年捉岀了著名的適用于三角形網(wǎng)格的loop 細(xì)分模式，同時(shí)分析了這種細(xì)分模式的收斂性和連續(xù)性。maillot, j. stam, j. warren利用因子分解法(factorization )研究了混合網(wǎng)格的細(xì)分。j. stam,j. warren的細(xì)分方法能夠在四邊形網(wǎng)格和三角形網(wǎng)格上分別產(chǎn)牛catmull clark 細(xì)分和loop細(xì)分，但當(dāng)初始網(wǎng)格給定后,最終的物體造型也隨之確定，不具有可 調(diào)性。現(xiàn)冇的細(xì)分方法不具冇可調(diào)性，即在給定網(wǎng)格和細(xì)分算法的情況下,所得曲 面是唯一確定的，這對(duì)實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)是不方便的。derose成功地應(yīng)用了

21、 c-c細(xì) 分曲面造型法，同吋發(fā)明了構(gòu)造光滑的變半徑的輪廓線及合成物的實(shí)際技術(shù)，提 出了在服飾模型屮碰撞檢測(cè)新的有效算法，構(gòu)造了關(guān)于細(xì)分曲面的光滑因子場(chǎng)方 法。在1998年siggraph會(huì)議的報(bào)告中，有十篇有關(guān)曲面造型的論文，除了 冇一篇是介紹幾何體的變形方法以外，其余九篇均是關(guān)于曲而離散造型的算法或 者在離散型曲面上精確求值及進(jìn)行參數(shù)化的工作。特別是，有三篇論文都與catmull和clark在1978年所創(chuàng)立的用網(wǎng)格細(xì)分產(chǎn)生離散曲而的方法（以下簡(jiǎn)稱 c-c法）緊密相關(guān)。從這里我們可以看出當(dāng)今國(guó)際圖形界在曲面造型理論研究和 實(shí)際應(yīng)用中的熱點(diǎn)所在?；谖锢砟Ｐ偷那嬖煨同F(xiàn)有的cad/cam系統(tǒng)

22、中的曲面造型方法建立在傳統(tǒng)的cagd純數(shù)學(xué)理論 的基礎(chǔ)之上，借借助控制頂點(diǎn)和控制曲線來(lái)定義曲面，具冇調(diào)整曲面局部形狀的 功能。但這種靈活性也給形狀設(shè)計(jì)帶來(lái)許多不便：1）典型的設(shè)計(jì)要求既是定量的乂是定性的，如“逼近一組散亂點(diǎn)且插值于 一條截而線的整體光順又美光的曲而”。這種耍求對(duì)曲而的整體和局部都具冇約 束，現(xiàn)有曲面生成方式難以滿足這種要求。2）設(shè)計(jì)者在修改曲面時(shí)，往往耍求 面向形狀的修改。通過(guò)間接的調(diào)整頂點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量進(jìn)行形狀修改既繁瑣、 耗吋又不直觀，難以既定性又定量地修改曲面的形狀。局部調(diào)整控制頂點(diǎn)難以保 持曲面的整體特性，如凸性或光順性。基于物理模型的曲而造型方法為克服這些不足捉供

23、了一種手段。用基于物理 模型的方法對(duì)變形曲面進(jìn)行仿真或構(gòu)造光順曲面是cagd和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中一 個(gè)重要研究領(lǐng)域。1987年加拿大學(xué)者terzoulos等率先將基于能量的彈性可變形自由曲面造 型技術(shù)引用到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，受到了國(guó)際上眾多學(xué)者的重視。willians以虛 擬彈性薄板總能量作為能量泛函用冇限插分法構(gòu)造光順曲而。celniker和 gossard提出了基丁有限元分析的門(mén)由曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)。moreton和seqin提出 了設(shè)計(jì)光順曲面的函數(shù)優(yōu)化方法。他們首先建立使用曲面插值給定點(diǎn)、法矢和曲 率的幾何約束方程，然后再利用非線性優(yōu)化技術(shù)使反映曲面形狀的光順函數(shù)最 小。使用這種技術(shù)，可以較好地

24、將形狀約束和兒何約束結(jié)合在一起，克服傳統(tǒng)上 的不足。該方法可以產(chǎn)生高質(zhì)量的曲而，但其計(jì)算耗費(fèi)較大。welch和witkin 提出了變分曲面設(shè)計(jì)方法。這種方法也是從設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，將整張曲面看作是 一張有彈性的曲面，可以用曲面上任意一些點(diǎn)或曲線控制其形狀，或者要求曲面 在一些關(guān)鍵點(diǎn)插值于給定的法矢或高斯曲率。同吋，要求曲面滿足設(shè)計(jì)者的定性 要求，如形狀光順而美光等。根據(jù)這些要求建立優(yōu)化的約束方程，然后用數(shù)值方 法求解得到所要求的曲而。所采用的能量泛函與celniker和gossard的工作類 似，但在曲面表達(dá)上作了改變：采用了 forsey和bartels的分層b樣條曲面表 達(dá)形式以提高局部控制

25、能力，但使用起來(lái)仍不方便。1994年，terzopoulos等在nurbs曲面的定義中增加了一個(gè)時(shí)間變量， 又提出了基于能量模型的動(dòng)態(tài)nurbs （d_nurbs）曲而。terzopoulos的基 本思想是根據(jù)lagrange動(dòng)力方程建立一個(gè)偏微分方程，按照曲面的變形耍求施 加一個(gè)外力，以給定偏微分方程的邊界條件建立曲面的幾何邊界約束，通過(guò)方程 屮表示形狀變化的能量函數(shù)的內(nèi)部參數(shù)來(lái)反映曲面的物理屬性，最后由數(shù)值計(jì)算 方法得到這張曲面離散或精確形式的解。這些方法具冇如下特點(diǎn)： 曲面形狀的改變服從物理準(zhǔn)則，通過(guò)計(jì)算仿真可以動(dòng)態(tài)地顯示模型在某 個(gè)外力作用下的變形； 在給定的約束條件下，這種動(dòng)態(tài)模型的

26、平衡狀態(tài)具有勢(shì)能最小的特點(diǎn)， 可以建立滿足局部或整體設(shè)計(jì)要求的勢(shì)能函數(shù)和規(guī)定與形狀設(shè)計(jì)有關(guān)的兒何約 束； 能量模型建立在傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)純幾何模型的基礎(chǔ)上。這意味著盡管交互或 自動(dòng)的形狀設(shè)計(jì)可以在基于能量模型的物理層進(jìn)行，但在幾何層上仍然可以調(diào)用 現(xiàn)在的幾何操作庫(kù)?；谖锢砟Ｐ偷那嬖煨头椒ㄔ诰唧w實(shí)施上有以下三種不同的方式：力學(xué)原理的選擇：在不考慮時(shí)間因素時(shí)，可用梁或板的平衡方程或相應(yīng)能量 泛函的變分原理來(lái)建立曲線、曲面的控制方程。當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)，則用 langrange方程建立運(yùn)動(dòng)方程作為曲線、曲面的控制方程。能量泛函的選擇：i）由曲線、曲面的第一和第二基木形式構(gòu)造；ii）由曲面 主曲率平方和或

27、主曲率變化率的平方和的積分構(gòu)造:iii）由曲面的一階和二階偏 導(dǎo)數(shù)的加權(quán)平方和構(gòu)造。前兩種方法完金從幾何概念出發(fā)，他們是曲而物理坐標(biāo) 的非線性函數(shù)，計(jì)算耗費(fèi)較大。曲線、曲面的表達(dá)方式：口j采用各種不同的曲面表達(dá)形式。因nurbs曲面 符合step標(biāo)準(zhǔn)，是各種cad/cam系統(tǒng)廣泛采用的曲線、曲面的幾何表達(dá)形 式，故具有重要的意義。但由于權(quán)因子的存在，其控制方程是非線性的，降低了 計(jì)算效率。對(duì)權(quán)因子取值范圍的約束也存在一定的問(wèn)題。盡管terzopoulos捉岀 并研究了 nurbs表達(dá)式的變形曲面，但在實(shí)際應(yīng)用中，一般仍取權(quán)因了為1, 即從nurbs簡(jiǎn)化為非有理b樣條?；谖锢砟Ｐ偷淖冃吻€、曲

28、面造型研究己經(jīng)取得了巨大的成就，但還有許 多問(wèn)題需要解決，其屮包括：計(jì)算效率問(wèn)題，采用冇限元方法限制了交互速度的 提高；交互控制問(wèn)題，如何交互地選擇物理參數(shù)仍有待研究；能量泛函的選擇， 如何在提高計(jì)算效率和保證曲面質(zhì)量之間的平衡?；谄⒎址匠蹋╬de）的曲面造型pde曲面使用一組橢圓偏微分方程產(chǎn)生曲面，出leeds大學(xué)的bloor等 人于80年代末將之引入cagd領(lǐng)域。其思想起源于將過(guò)渡面的構(gòu)造問(wèn)題看作 一偏微分方程的邊值問(wèn)題，而后發(fā)現(xiàn)使用該方法可以方便地構(gòu)造大量實(shí)際問(wèn)題 屮的曲而形體。他們探索了 pde方法在構(gòu)造過(guò)渡而、自由曲而及n邊域中的 應(yīng)用。同時(shí)也探索了這種方法在功能曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

29、。船體、飛機(jī)外形、螺 旋漿葉片等外形都可曲pde方法構(gòu)造。pde曲面的形狀由邊界條件和所選擇的片微分方程確定。該方法具有以下 特點(diǎn)： 構(gòu)造過(guò)渡而簡(jiǎn)單易行，只需給出過(guò)渡線并計(jì)算過(guò)渡線處的跨界導(dǎo)矢； 所得曲面口然光順。曲面由曲面參數(shù)的超越函數(shù)，而不是簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式; 確定一張曲面只需少量的參數(shù)，并且對(duì)設(shè)計(jì)者的數(shù)學(xué)背景要求較少：用 戶只需給出邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即可產(chǎn)生一張光順的曲面。因此，用戶的輸入工 作量較??； 可通過(guò)修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即方程屮的一個(gè)物理參數(shù)來(lái)調(diào)整曲而形 狀; 便丁功能曲而的設(shè)計(jì)。功能曲而設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為一些泛函的極值問(wèn)題， 這些泛函的口變量是形狀參數(shù)，形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛

30、函極值問(wèn)題時(shí)計(jì) 算量的大小。pde曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參量較少，從而可 以降低計(jì)算耗費(fèi)。pde方法是一種新型的曲面造型技術(shù)，該方法僅是一種曲面設(shè)計(jì)技術(shù)，而 不是一種曲而的表達(dá)方式。流曲線曲面造型在cad領(lǐng)域，許多曲線曲面的設(shè)計(jì)涉及到運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)，如汽車、 飛機(jī)、船舶等。這些物體在空氣、水流等流體屮相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由于流體對(duì)運(yùn)動(dòng)物體 產(chǎn)生阻力，運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)將變得十分重要。運(yùn)動(dòng)物體外型的光滑與否將直 接影響其運(yùn)動(dòng)性能。人們常常希望所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)物體的外型具冇“流線型”，因?yàn)?具有“流線型”外型的運(yùn)動(dòng)物體不僅外觀漂亮宜人，而且能極大地減少而進(jìn)過(guò)程中 流體對(duì)物體的阻力。針對(duì)這些運(yùn)動(dòng)

31、物體的外型設(shè)計(jì)，-種以流體力學(xué)為背景的流曲線曲面的造型 方法被捉出。由流體力學(xué)理論可知，流曲線曲而上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的水流或 氣流的流動(dòng)矢量方向吻合，因此，用流曲線曲面設(shè)計(jì)的外型貝有良好的物理性能, 同時(shí)外型也十分美觀。該方法的思想以流體力學(xué)中的平面定常理想不可壓縮無(wú)旋 動(dòng)為力學(xué)背景，將流體力學(xué)屮流函數(shù)的概念引人到cad屮，從而建立流曲線曲 面的數(shù)學(xué)模型。該方法的研究剛剛起步，造型方法的理論和流函數(shù)的建立尚不完善，故目前 也處于探索階段，其基木理論、數(shù)學(xué)模型和一些相關(guān)算法還有待進(jìn)一步研究。另外，其他方法還冇：散亂點(diǎn)的曲線曲面的造型方法、小波曲線曲面的造型 方法等。三、實(shí)體造型實(shí)體在計(jì)算機(jī)屮常用線框、表而和實(shí)體三種表示模型。線框模型是最早用來(lái) 表示形體的模型，至今仍廣泛應(yīng)用；表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上，增加了有 關(guān)生成三維物體各表面的數(shù)據(jù)信息，包括表面的環(huán)、表面特征、棱邊鏈接方向等; 實(shí)體模型是在表面模型的基礎(chǔ)上，明確定義了在表面的哪一側(cè)存在物體，完整地 定義了立體圖形，能區(qū)分內(nèi)外部，能捉供清晰剖而圖等，是三種模型屮最為重要 的一種。實(shí)體造型技術(shù)是基于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造的需要而發(fā)展起來(lái)的。早在20 世紀(jì)50年代，美國(guó)麻