最優(yōu)策略例題——飛機與防空火炮

1、飛機與防空炮的最優(yōu)策略一、問題重述：紅方攻擊藍方一目標，紅方有2架飛機，藍方有4門防空高炮，紅方只要有一架飛機 突破藍方的防衛(wèi)則表示紅方攻擊成功。其中共有四個區(qū)域1,11,iii,iv去接近目標，藍 方可在上述區(qū)域內(nèi)任意設(shè)置高炮，但一門炮只能防衛(wèi)一個區(qū)域，且只能擊落一架飛機, 其射中概率為1。問雙方各應采取什么策略？二、問題假設(shè)：1、紅方和藍方在決策z前都不知道對方確切的策略，但可以猜測對方可能的決策；2、藍方只有5種分配方式，但當藍方把3門或4門炮放在一個區(qū)域的話炮的個數(shù)將大 紅方飛機的個數(shù)，顯然這種方法是不可収的，所以這里只考慮3中分配方式；3、紅方只有兩種非配方案，即兩架飛機進攻同一個區(qū)

2、域或一架飛機選擇一個區(qū)域進攻, 共進攻兩個區(qū)域；4、假設(shè)藍方的人炮必須全部用完，紅方的飛機全部用完；5、雙方同吋做出策略。三、問題分析：紅方和藍方若不考慮區(qū)域，則紅方有兩種策略，藍方有三種策略。表i 紅方與藍方的決策行動及其產(chǎn)生的結(jié)果紅方藍方2架一起兩架分開四個1分配1.()().0()211分配0.750.5022分配0.500.83其中數(shù)值表示紅方的勝率四、模型建立參與博弈的雙方用n二1,2表示，其中1為紅方，2為藍方藍方可能的策略記為al,紅方可能的策略記為a2。藍方可能的決策行動記作alwa1二1,2,3,其中分別表示的策略為四個區(qū)域都分配1門防空炮、一個區(qū)域分 配2門防空炮剩下兩門防

3、空炮各分配與其它任意兩個區(qū)域，兩個區(qū)域分配2門防 空炮；紅方可能的決策行動記作a2ea2= 1,2,中分別表示的策略為2架一起 進攻同一個區(qū)域、兩架分開各攻擊任意兩個區(qū)域。對于雙方每一種的決策(al,a2), 令“=pi .00 0.000.75 ().50().50 ().83故紅方的效用函數(shù)為ul (al, a2),贏得矩陣必；丿故藍方的效用函數(shù)為u2 (al, a2),贏得矩陣為e-m；"o.oo1 .()(廠e-m=0.250.500.500.17用(al*,邊*)表示紅方和藍方的實際決策行動。在博弈的雙方都力求通過決策行動使己方的效用函數(shù)最大化，即純納什均衡，則應： ul(

4、al*,a2*)nul(al,a2*);u2 (a 1 *,a2*)nu2(a 1 *,a2);明顯，雙方都隨機的采取行動，即雙方都會某一決策行動賦了一定的概率，形成混合 策略，所以可判斷不存在純納什均衡。因此需建立一個混合策略博弈模型：設(shè)藍方釆取行動i的概率為pi(i=1 ,2,3),紅方采取行動j的概率為qjo=1,2),則藍方與紅方策略集分別為：s1= p= ( p1 , p2 , p3 ) 0< pi<1,zpi=1 ,s2= q= ( q1 , q2 ) 0< qi<1,xqi=1 。在混合策略下,雙方的效用函數(shù)用期望效用定義,記作ul=p (e-m) q l

5、, u2= pmq 1-藍方希望最大化他的期望效用所血臨的決策問題是maxu1 ( p,q)而紅方血臨的決策等價于 minu1 ( p , q b五、模型求解：運用lingo程序求解，下血為運行程序： model:sets:k/l. 3/:p;n/1. 2/:q;pay (k, n) :m;endsetsdata:m =0. 00 1. 000. 25 0. 500. 50 0. 17;enddatamax=lanfang;for (n(j):lanfang<sum (k(i) : p(i)*m(i, j););©sum (k:p)=l;endmodel:sets:k/l. 3

6、/:p;n/1. 2/:q; pay (k, n):m;endsetsdata:m =1.00 0. 000. 75 0. 500. 50 0. 83;enddatamax=hongfang;©for (k(i):hongfang<sum (n(j):q(j)*m(i, j););sum(n:q)=l; end0. 37593980.000000variablelanfangp( 1)p( 2)p( 3)q( 1)q( 2)value0. 37593980.24812030. 0000000. 75187970. 0000000. 000000reduced cost0.000

7、0000. 0000000.3195489e-010.0000000. 0000000. 000000global optimal solution found.objective value:infeasibilities:total solver iterations:global optimal solution found.0. 62406020. 000000objective value:infeasibilities:total solver iterations:variablevaluereduced costhongfang0.62406020.000000p( 1)0.

8、0000000. 000000p( 2)0. 0000000. 000000p( 3)0. 0000000.000000q( 1)0. 62406020.000000q( 2)0.37593980.000000以上可以看出：藍方的納什均衡為pl二 0.2481203, p2=0, p3=0.7518797最優(yōu)值為0.3759398; 紅方的納什均衡為q = 0.6240602, q2 = 0.3759398最優(yōu)值為0.6240602。紅方的決策是：兩架e機一起進攻同一個區(qū)域；藍方的決策是：四個區(qū)域個安置一門防空炮。五、模型求解：運用lingo程序求解，卜面為運行程序： model:model:

9、sets:sets:k/l. 3/:p; n/1. 2/:q; pay (k, n):m;k/l. 3/:p; n/1. 2/:q; pay (k, n):m;endsetsdata:m =0. 00 1. 000. 25 0. 500. 50 0. 17;enddata max=lanfang;for (n(j):lanfang<sum (k(i) : p(i)*m(i, j);); ©sum (k:p)=l;end0. 75 0. 500. 50 0. 83;enddatamax=hongfang;8for (k(i):hongfang<sum (n(j):q(j)*

10、m(i, j););©sum(n:q)=l; end下面是程序運行結(jié)果:global optimal solution found.objective value:0. 3759398infeasibilities:0.000000total solver iterations:variablelanfangp( 1)p( 2)p( 3)q( 1)q( 2)value0.37593980. 24812030. 0000000. 75187970. 0000000.000000reduced cost0. 0000000.0000000.3195489e-010. 0000000. 0000000.000000endsetsdata:m =1.00 0. 00global optimal solution found.0. 62406020.000000objective value:infeasibilities:total solver iterations:variablevaluereduced costhongfang0.62406020.000000p( 1)0. 0000000. 000000p( 2)0. 0000000.000000p( 3)0. 0000000.000000q( 1)0.62406020. 000000q( 2)0.375939