(完整word版)武漢大學(xué)2008-2009第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)B(216)B卷.

1、武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 B 卷20082009 第一學(xué)期微積分 A1期末考試試題(216 學(xué)時(shí))、試解下列各題：(”？=8756)1、 求極限：221lim (cot x x x-2、yfl + f (.v)ln(i + 2x) - 1已知 0lim41x e =,求極限 0lim ( x f x、3 試證:若(f x 是可導(dǎo)的周期為 l 的函數(shù)，則(f x 也是以 I 為周期的周期函數(shù).4、求函數(shù) xx x x f 1(1 (2-=的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。5、已知sin 1（F x =?,求（x F 6 設(shè)函數(shù) y y x =（由方程 0yxy e +=確定，求 d d y x7、 計(jì)算不定

2、積分+-? 11（1 d x xx ex x8、 計(jì)算定積分？1ln exdx二、（10 分）設(shè)（x y y =由參數(shù)方程 sin cos x t t y t =+?=?確定，求曲線（x y y =在 2nt 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方3三、（8 分）設(shè)函數(shù)+?sin 0( 0axx x b x f x e x，問(wèn)、a b 為何值時(shí)，（x f 在 0=x 處可導(dǎo).四、（10 分）曲線 2y -+=與直線 0 x =, x t = （0t ）及 0y =圍成一曲邊梯形，該曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為（V t，側(cè)面積為（S t，在 x t=處的底面積為（F to （1）求（S t V t 的

3、值；（2）計(jì)算極限（lim(t S t F t+x五、(10 分)設(shè) 4y f x x =-求：1）函數(shù)（x f 的單調(diào)增加、單調(diào)減少區(qū)間，極大、極小值；2）曲線（x f y =的凸性區(qū)間、拐點(diǎn)。六、（6 分）設(shè)（x f 為可微函數(shù)，試證：在任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必有點(diǎn) f x2=武漢大學(xué) 2008 2009 第一學(xué)期 B 卷微積分 A1試題參考答案（216 學(xué)時(shí)用一、試解下列各題：（”？=8756） 1、解：222222232 1cos sin cos sin sin 2lim (cot lim2lim2lim 3 sin 3x x x x x x xx x x xx xxx-2、解(x) 1n(

4、l + 2A) - 1:011( In (12(214limlim lim lim ( 2221x x x x f x x f x x f x xxe +=故 0lim ( 8 =x f x 3、解：設(shè) x 是定義域中任意一點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)定義有:? +?-+=?0(limx f x l x f x l f x l x+?-=?0(lim(x f x x f x f x x即(f x 也是以 I 為周期的周期函數(shù).4、解：由初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)知(x f 的間斷點(diǎn)為 1,0=x x .因 111lim ( lim2x x x f x x+=而(x f 在仁 x 處無(wú)定義，故 1=x 為其可去間

5、斷點(diǎn).又 01( limx x f x x+ = =x 0=x 為(x f 的無(wú)窮間斷點(diǎn).綜上得 1=x 為(x f 的可去間斷點(diǎn)，0=x 為(x f 的無(wú) 窮間斷點(diǎn).5、解：(x F =x x cos sin ? +116 解：等式兩端對(duì) x 求導(dǎo)得 e 0y y xy y +=整理得 2e yyy x=+ 7、解：+? 111112(1 d d (1d d d x x x x x xxxxxx ex ex x ex ex x exx+-=+? mid d x x x x x-+-=0(0sin 11ex xe ex xe c8、解：=-=-=? 1111In In |1eeeexdx x

6、x dx e x二、（10 分）解：sin 1cos dydyt dx dx tdt+ ; |1t dy dxn故切線方程為：(1 2三、(8 分)解：要(x f 在 0=x 處連續(xù)，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是lim ( lim ( (0 x x f x f x f - + =成立。因?yàn)?0lim ( lim (si n x x f x x x b b -=+=, 00lim ( lim 1axx x f x e +=,于是有 1(0b f =，即卩 1b =時(shí)函數(shù)在 0=x 處連續(xù)。由-00-+-=0(0(0=m-imOxxfxfxxfxx(0(o=mxfxffx+ 0+J HplabHH

7、-達(dá)(XfmOHX淳凹迦.BU20)孺Q)0(2fSfHH2厶；JU2yj + f+ 2.vJI + Sill .Ve e -n? += ?202n? += ?x x te e dx 所以(2( S t V t =。F t yn=22t t e e -?n+= ?(lim(t S t F t+x20222lim(2)2( x tt t te e dx e en+x-?+?=?+?222lim222t t t t t t t e e e e e e - ?+?= ?+-? ?lim五、(10 分)解 函數(shù)的定義域?yàn)?(+ 4. 3(3223=-=x x x x y，令,0=y 駐點(diǎn)3, 02 仁=乂 x列表X(CO .0)0(02)2(2,3)3(3.+oo )yr00+y*+yX下凸拐點(diǎn)(0,0)X拐點(diǎn)X下凸極小下凸故單調(diào)減區(qū)間為 3, (-4,單調(diào)增區(qū)間為,3(+4極小值 427 3(-=y , 093=x y 得 427 3(-=y 是極小值。2363(2 y x x x x =-=-令 0y =得 0, 2x =，拐點(diǎn)：(0, 0)( 2, -7)上凸區(qū)間: (0, 2)下凸區(qū)間：(-g, 0)(2, +x)六、(6 分)證 21, x x ?為(x f 的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)(xg x ef x -弍由條件(x g 在a,b連續(xù)