圓錐曲線的切點弦方程（精編版）

1、2011 年江西高考一道試題解法的推廣圓錐曲線的切點弦方程圓錐曲線問題是高考的重點，曲線的切線又是近幾年的熱點，這類題對學生的要求比較高，充分考查學生的邏輯思維能力，本文在對江西高考試題分析的基礎上歸納總結(jié)出圓、橢圓、拋物線、雙曲線的切點弦方程的求法。背景知識已知圓222:0c xyrr, 點00,a xy是圓c上一點，求以點a為切點的切線方程 .分析 ：易知以00,a xy為切點的直線方程為：2000 xxyyrr（2011 年江西高考理科第14 題）問題 1：若橢圓22221xyab的焦點在x軸上，過點11,2作圓221xy的切線，切點分別為ab、， 直線ab恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，

2、則橢圓方程是 _. 解：設1122,a x yb xy點ab、在圓221xy上，則過點11,a x y的切線方程為111:1lx xy y.過點22,b xy的切線方程為222:1lx xy y.由于12,ll經(jīng)過點11,2則1122111,122xyxy. 故1122,xyxy均為方程112xy的解。經(jīng)過ab、兩點的直線方程1:12ab xy.設橢圓22221xyab的右焦點為,0c, 上頂點為0,b.由于直線ab經(jīng)過橢圓右焦點和上頂點。1,12bc即2b2225abc故橢圓方程為22154xy.由此題的解題方法，可得到如下推廣：結(jié)論一：（圓的切點弦方程）過圓2220 xyrr，外一點,p

3、a b作圓的兩切線，切點為mn、，則直線mn的方程為：2axbyr.問題 2： 過橢圓22143xy外一點1,2p作橢圓的兩切線， 切點為mn、求直線mn的方程 .解：設1122,mx yn xy則過mn、的切線方程分別為；11221,14343x xy yx xy y由于兩切線都過1,2p，則11143x xy y22143x xy y這兩式表示直線2143xy經(jīng)過mn、，所以直線mn的方程為：2143xy。結(jié)論二：（橢圓的切點弦方程）過橢圓222210 xyabab外一點00,p xy作橢圓的兩切線，切點為mn、則直線mn的方程為：00221x xy yab問題3： 過拋物線24yx外一點

4、1, 2p作拋物線兩切線，切點分別為mn、，求直線mn的方程。解：設1122,mx yn xy則過mn、的切線方程為11222,2y yxxy yxx由于過mn、的切線都經(jīng)過1, 2p則1122221 , 221yxyx直線mn的方程為221yx即10 xy結(jié)論三：（拋物線的切點弦方程）過拋物線220ypx p外一點00,p xy作兩切線，切點為mn、，則直線mn的方程為00yyp xx.問題4：過雙曲線22154xy外一點3,3p作雙曲線兩切線，切點分別為mn、，求直線mn的方程。解：設兩切點的坐標為1122,mx yn xy則兩切線方程為11221,15454x xy yx xy y，由于兩切線均過3,3p則112233331,15454xyxy故1122,xyxy均為方程33154xy的解，則過mn、的直線方程為：33154xy結(jié)論四：（雙曲線的切點