(完整版)2013湖南理科數(shù)學(xué)高考試題(含解析與答案)

1、2013 年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類 （湖南卷） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的. 1. （2013 湖南，理 1）復(fù)數(shù) z= i （ + i）（i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：B 解析：z= i + i2=- 1+ i,對應(yīng)點為（1,1），故在第二象限，選 B. 2. （2013 湖南，理 2）某學(xué)校有男、女學(xué)生各 500 名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè) 余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取 100 名學(xué)生進行調(diào)查，則宜采用的

2、抽樣 方法是（ ） A .抽簽法 B .隨機數(shù)法 C系統(tǒng)抽樣法 D 分層抽樣法 答案：D 解析：看男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好是否存在明顯差異，應(yīng)當(dāng)分層抽取，故宜采 用分層抽樣. 3. （2013 湖南，理 3）在銳角 ABC 中，角 A, B 所對的邊長分別為 a, b.若 2asin B = . 3 b, 則角 A 等于（ ) n n n n A . B.- C. D .- 12 6 4 3 答案：D解析: 由 2asin B= b 得 2si n As in B= 3 sin B，故 sin A = n ABC 為銳角三角形，故 A=. 3 4. （2013 湖南，理 4）若變量 x,

3、 y 滿足約束條件 y 2x, x y 1,則 x+ 2y 的最大值是( y 1- 5 A. 2 B . 0 5 C.- 3 5 D.- 2 答案：C 解析：約束條件表示的可行域為如圖陰影部分. 令 x+ 2y= d,即 y1 2 14 5 由線性規(guī)劃知識可得最優(yōu)點為 ，一，所以 dmax= . 3 3 3 3 3 5. (2013 湖南，理 5)函數(shù) f(x) = 2ln x 的圖象與函數(shù) g(x)= x2- 4x+ 5 的圖象的交點個數(shù)為 ( ). A . 3 B. 2 C. 1 D. 0 答案：B 解析：設(shè) f(x)與 g(x)圖象的交點坐標(biāo)為(x, y), 貝 V y= 2ln x,

4、y= x2- 4x+ 5,聯(lián)立得 2ln x= x2- 4x+ 5,令 h(x)= x2- 4x+ 5 2ln x(x 0), 2 由 h(x) = 2x-4=0 得 x1= 1 、Q , x2= 1 舍). x 當(dāng) h(x) v 0 時，即 x (0,1 、2)時，h(x)單調(diào)遞減； 當(dāng) h(x)0，即 x (1 .2 ,+s)時，h(x)單調(diào)遞增. 又 vh(1) = 2 0, h(2) = 1- 2ln 2 v 0, h(4) = 5- 2ln 4 0, h(x)與 x 軸必有兩個交點，故答案為 B. 6. (2013 湖南，理 6)已知 a, b 是單位向量，a b = 0,若向量 c

5、 滿足|c-a b|= 1，則|c| 的取值范圍是( ). A. .2 1, .2 1 B. p.2 1 , 2 2 C. 1 , 2 1 D . 1，-、2 2 答案：A 由題意，不妨令 a= (0,1), b= (1,0), c= (x, y),由 |c- a b|= 1 得(x- 1)2+ (y- 1)2 =1, |c= , x2 y2可看做(x, y)到原點的距離，而點(x, y)在以(1,1)為圓心，以 1 為半徑的 圓上.如圖所示，當(dāng)點(x, y)在位置 P 時到原點的距離最近，在位置 P 時最遠，而 PO = 、2 1 , PO= 2 1，故選 A. 方體的正視圖的面積不可能等于

6、 ( ). A. 1 B. 一 2 答案：C解析: 7. (2013 湖南，理 7)已知棱長為 42 cos 0,如圖所示. 1 的正方形，則該正 解析: /jn 故正視圖的面積為 S= 2 cos 0(0 -), 4 1 w Sw J2 , 2 1 2 1 而 (a + 2b+ 3c)2, 即 a2 + 4b2+ 9c2 12,當(dāng) a= 2b = 3c = 2 時等號成立，所以 a2+ 4b2+ 9c2的最小值為 12. 11. （2013 湖南，理 11）如圖，在半徑為 7 的e O 中，弦 AB, CD 相交于點 P, PA= PB =2, PD = 1,則圓心 O 到弦 CD 的距離為

7、 _ 答案: 解析：如圖所示，取 CD 中點 E,連結(jié) OE, OC. 由圓內(nèi)相交弦定理知 PD PC= PA PB, 2 所以 O 到 CD 距離為 OE = J J7 2 . V 2 2 （二）必做題（1216 題） 12. （2013 湖南，理 12）若 T x2dx= 9，則常數(shù) T 的值為 答案：3 所以 PC= 4, CD = 5，貝 V CE = , OC =詩7 . =x2, 解析： lx3 3 答案：9 解析：輸入 a= 1，b= 2,不滿足 a8,故 a= 3; a= 3 不滿足 a 8，故 a= 5; a= 5 不滿足 a 8，故 a= 7; a= 7 不滿足 a 8，故

8、 a= 9，滿足 a8，終止循環(huán).輸出 a = 9. 2 2 x y 14. (2013 湖南，理 14)設(shè) F1, F2是雙曲線 C:二 2 1(a0, b0)的兩個焦點，P a b 是 C 上一點.若|PF1|+ |PF2|= 6a，且 PF1F2的最小內(nèi)角為 30 則 C 的離心率為 _ . 答案：,3 | PF1 | | PF2 | 6a, 解析：不妨設(shè)|PF1| |PF2|,由 可得 |PF1| |PF2| 2a |PFj 4a, |PF2| 2a. 2av 2C,.ZPF1F2= 30 2 2 2 O 2C 4a 2a cos 30 = - , 2 2 4a 整理得，C2+ 3a2

9、 - 2. 3ac= 0，即 e2- 23e+ 3 = 0,e 3 . 1 15. (2013 湖南，理 15)設(shè) Sn 為數(shù)列an的前 n 項和，Sn= (- 1)nan，n N*，則 T x2dx= 1x3|T 3 1 T3-0= 9,. T = 3. 3 13. (2013 湖南， 理 的值為_ . 13)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 a= 1, b= 2,則輸出的 a 26 (1) a3 = _ ； (2) Si + S2+-+ Sioo= _ . 1 1 1 答案：(1) 16 (2)3 尹 1 16. (2013 湖南，理 16)設(shè)函數(shù) f(x)= ax+ bx-疋，其中 ca

10、0, cb0. (1) 記集合 M = (a, b, c)|a, b, c 不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且 a= b，則(a, b, c) M 所對應(yīng)的 f(x)的零點的取值集合為 _ ； (2) 若 a，b, c 是厶 ABC 的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是 _ .(寫出所有正確 結(jié)論的序號) x ( a, 1), f(x)0; x R，使 ax, bx, cx不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長； 若 ABC 為鈍角三角形，則 x (1,2)，使 f(x) = 0. 答案：(1)x|0v x w 1 (2) 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 1

11、7. (2013 湖南，理 17)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x) sin .2 x g(x) = 2 sin - =151 .3 sin x 1 cos x, 即 73sin x+ cos x 1. 于是sin x 2kn+ 5, k Z , 6 6 2 n 即 2k nW xW 2 k n+ , k Z. 3 故使 f(x) g(x)成立的 x的取值集合為n cos X , 3 (1)若a是第一象限角，且 求使 f(x) g(x)成立的 f(a = 313，求 g( a 的值; 5 x 的取值集合. 解：f(x) sin x cos 1 = sin x cos x+ cos x+

12、2 2 2 =3 sin x, n x 3 ,3 sin x 2 2 x g(x)= 2 sin = 1 cos x. 2 , 3/3 . (1)由 f( a = 得 sin a= 5 又a是第一象限角, 所以 cos a 0. 從而 g( a = 1 cos a= 1 . 1 sin2 (2) f(x) g(x)等價于 , n 從而 2k n+ w x + x|2kn x 2k n 2n,k Z 3 18. (2013 湖南，理 18)(本小題滿分 12 分)某人在如圖所示的直角邊長為 4 米的三角形地 塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點 )處都種了一株相同品種的作物.根 據(jù)

13、歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量 Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù) X 之間 的關(guān)系如下表所示： 4K X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過 1 米. (1) 從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； 從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解：所種作物總株數(shù) N= 1 + 2+ 3+ 4 + 5= 15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為 3, 邊界上的作物株數(shù)為 12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有 1 1 C3C12 = 36 種，選取的兩

14、株作物恰好 “相近”的不同結(jié)果有 3 + 3+ 2= 8 種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好 “相近”的概率為 8 2 36 9. (2) 先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量 Y 的分布列. 因為 P(Y= 51)= P(X= 1), P(Y= 48) = P(X= 2), P(Y= 45) = P(X= 3), P(Y= 42)= P(X= 4), 所以只需求出 P(X= k)( k= 1,2,3,4)即可. 記 nk為其“相近”作物恰有 k 株的作物株數(shù)(k= 1,2,3,4)，則 n1 = 2, n2= 4, n3= 6, n4= 3. 由 P(X

15、 = k) = 得 N 2 4 6 2 3 1 P(X = 1) = , P(X = 2) = , P(X = 3) = , P(X = 4)= . 15 15 15 5 15 5 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 2 4 2 1 15 15 5 5 所求的數(shù)學(xué)期望為 2 4 2 1 34 64 90 42 E（Y）= 51 X + 48 X + 45 X + 42 X = = 46. 15 15 5 5 5 19. （2013 湖南，理 19）（本小題滿分 12 分）如圖，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AD / BC , / BAD = 90 AC 丄 BD, BC

16、 = 1 , AD = AA匸 3. (1)證明：AC 丄 BiD; (2)求直線 BiCi與平面 ACDi所成角的正弦值. 解法 1: (1)如圖，因為 BBi丄平面 ABCD , AC 平面 ABCD，所以 AC 丄 BBi. 又 AC 丄 BD，所以 AC 丄平面 BBiD . 而 BiD 平面 BBiD，所以 AC 丄 BiD. 的角(記為0). ABCD AiBiCiDi 是直棱柱，且/ BiAiDi = ZBAD = 90 所 以 AiBi丄平面 ADD iAi. 從而 AiBi丄 ADi. 又 AD = AAi= 3，所以四邊形 ADDiAi是正方形，于是 AiD 丄 ADi.

17、故 ADi丄平面 Ai BiD，于是 ADi丄 BiD . 由 知，AC 丄 BiD，所以 BiD 丄平面 ACDi.故/ADBi = 90 0 在直角梯形 ABCD 中，因為 AC 丄 BD，所以/ BAC = ZADB .從而 RtKBCRt ADAB , AB BC - - 故 即 AB= DA BC 、3 . DA AB 連結(jié) ABi，易知 ABiD 是直角三角形， 且 BiD2= BBi2+ BD2= BBi2+ AB2 + AD2= 2i, 即 BiD = 2i . D、因為 BiCi/AD ,所以直線 BiCi與平面 ACDi所成的角等于直線 AD 與平面 ACDi所成 如圖，連

18、結(jié) AiD,因為棱柱 在 RtAABiD 中, AD cos/ADB i = - BiD 3 2i ；2i ，即 cos(90 解法 2: (i)易知，AB, AD , AAi兩兩垂直.如圖，以 A 為坐標(biāo)原點，AB, AD , AAi所 在直線分別為 x軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè) AB = t，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為：A(0,0,0), B(t,O,O), Bi(t,0,3), C(t,1,0), Ci (t,1,3), D(0,3,0), Di (0,3,3).即直線 BiCi與平面 ACDi所成角的正弦值為 2i 7 從而 sin 0= 由題設(shè)，k1 + k2= 2, k1

19、0, k2 0, k1 工 k2, D Di A uuun uuur uuu B1D = (-1,3, 3), AC = (t, 1,0), BD = (- t,3,0). uur uur AC 丄 BD，所以 AC -BD =- t2+ 3+ 0= 0解得 t , 3 或 t 3 (舍去). umu uuur - BQ = ( 、3 , 3,- 3), AC = (、3 , 1,0). uuur uuu uur uuLur AC BD =- 3 + 3+ 0= 0，所以 AC 丄 B1D，即 AC 丄 B1D. uuur uuur 廠 uuju 從而 因為 因為 由(1)知，AD1 = (0

20、,3,3), AC = (、3 , 1,0), B1C1 = (0,1,0). 設(shè) n = (x, uuur n AC uuiur n AD1 y, z)是平面 ACD1的一個法向量, 即 3x y , 0, 3y 3z 0. 則 n = (1, .3 , .3). 令 x= 1 , 設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為 0則 uuuu 山山 n BG n IB1C1 sin 0= |cos n, BCi1= -21 7 即直線 BiCi與平面 ACDi所成角的正弦值為 7 20)(本小題滿分 13 分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，將從點 M 出發(fā)沿 20. (2013 湖南，理 縱、橫方向

21、到達點 N 的任一路徑稱為 M 到 N 的一條“ L路徑”.如圖所示的路徑 MM1M2M3N 與路徑MNiN都是M到N的“ L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)， 分別位于平面xOy內(nèi)三 點A(3,20), B(- 10,0), C(14,0)處.現(xiàn)計劃在 x 軸上方區(qū)域(包含 x 軸)內(nèi)的某一點 P 處修建一 個文化中心. M2 (1) 寫出點 P 到居民區(qū) A 的“ L 路徑”長度最小值的表達式 (不要求證明)： (2) 若以原點 O 為圓心，半徑為 1 的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“ L 路徑”不能進入保護區(qū)，請 確定點 P 的位置，使其到三個居民區(qū)的“ L 路徑”長度之和最小. 解：設(shè)點 P 的坐

22、標(biāo)為(x, y). (1)點 P 到居民區(qū) A 的“L 路徑”長度最小值為 |x- 3|+ |y- 20|, x R, y 0 ,+). (2)由題意知，點 P 到三個居民區(qū)的“ L 路徑”長度之和的最小值為點 P 分別到三個居民 區(qū)的“L 路徑”長度最小值之和(記為 d)的最小值. 當(dāng) y1 時，d= |x+ 10|+ |x 14|+ |x 3|+ 2|y|+ |y 20|, 因為 di(x)= |x+ 10|+ |x 14|+ |x 3| |x + 10|+ |x 14|, (*) 當(dāng)且僅當(dāng) x= 3 時，不等式(*)中的等號成立， 又因為 |x+ 10|+ |x 14| 24, (*)

23、當(dāng)且僅當(dāng) x 10,14時，不等式(*)中的等號成立. 所以 d1(x)24,當(dāng)且僅當(dāng) x = 3 時，等號成立. d2(y) = 2y+ |y 2021，當(dāng)且僅當(dāng) y= 1 時，等號成立. 故點 P 的坐標(biāo)為(3,1)時，P 到三個居民區(qū)的 “L 路徑”長度之和最小，且最小值為 45. 當(dāng) 0W y 21. 由知，d1(x)24,故 d1(x) + d2(y)45，當(dāng)且僅當(dāng) x= 3，y = 1 時等號成立. 綜上所述，在點 P(3,1)處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的 “L 路徑”長 度之和最小. 21. (2013 湖南，理 21)(本小題滿分 13 分)過拋物線 E: /=

24、 2py(p 0)的焦點 F 作斜率分 別為 k1, k2的兩條不同直線 11，12，且 k1 + k2= 2, 11與 E 相交于點 A，B，12與 E 相交于點 C， D，以 AB, CD 為直徑的圓 M,圓詁址叫為圓心)的公共弦所在直線記為 I. (1) 若 k1 0, k2 0,證明：FM -FN v 2p2; 7X/5 (2) 若點 M 到直線 l 的距離的最小值為 ，求拋物線 E 的方程. 5 解：(1)由題意，拋物線 E 的焦點為 F 0,衛(wèi)，直線 2 l1的方程為 y = k1x+衛(wèi)， 2 E 由丿 1 2,得 x2 2pk1x p2= 0. 2 小 x 2py 設(shè) A, B

25、兩點的坐標(biāo)分別為(x1, y1), 則 X1, X2是上述方程的兩個實數(shù)根. 從而 X1 + x2= 2pk1, 2 y1 + y2= k1(x1 + X2)+ p = 2pk1 + p. 所以點 M 的坐標(biāo)為 pk1, pk12衛(wèi) (X2, y2), uuuu ,FM =(pk1, 2 pk1). 由題設(shè)，k1 + k2= 2, k1 0, k2 0, k1 工 k2, 2 同理可得點 N 的坐標(biāo)為 pk2, pk2 uuur uuur 于是 FM FN = 2+ 22. uuur 2 FN = (pk2, pk2). uuuu uuir 故 FM FN 0, 所以點 M 到直線 I的距離 2 d |2pk1 pk1 p | d 5 _ p|2k12 k1 1| = 1 P2 k1 1 = :5 故所求的拋物線 E 的方程為 x2= 16y. 22. (2013 湖南，理 22)(本小題滿分 13 分)已知 a0,函數(shù) f(x)= (1) 記 f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為 g(a),求 g(a)的表達式； (2) 是否存在 a,使函數(shù) y= f(x)在區(qū)間