《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第五章 第2節(jié) 微積分基本公式

1、1微積分基本公式第二節(jié)一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓萊布尼茨公式四、小結(jié)2變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動中路程為變速直線運(yùn)動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs 一、問題的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中3 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，

2、定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)4abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、積分上限函數(shù)的性質(zhì)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x5 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf

3、)( ,之間和介于xxxxx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x6、變限積分求導(dǎo)公式、變限積分求導(dǎo)公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）證明（證明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf7)(,sin)(xFdttxFx求求例例15321解：解：)()sin()(11232xxxF112232

4、xxx)sin(2例例)(,)(sinarctanxFdttxFxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxF25112xx)(arctan8例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.9例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證證明函數(shù)明函數(shù) xxdttfdt

5、ttfxF00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增加內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)函數(shù). 證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).11例例 5 5 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfx

6、x在在1 , 0上上只只有有一一個個解解. 證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令12定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函

7、數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.13定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證三、牛頓萊布尼茨公式14令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF )

8、,()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式15)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.166例例dxx10210331x317例例dxx3121131xarctan)a

9、rctan(arctan13)(43 12717例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例9 9 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1218例例10 10 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122

10、 19例例11 11 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx12013例例dxx 01 sindxxx 0222)cos(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1242114例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdxx)cos(

11、sincossin2212021343232)(2215例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解：解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim233.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系2424325P習(xí)題1110912119753165432,),)()()()()(,25思考題思

12、考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？26思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 27一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _

13、 _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)、設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題28（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_

14、. . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .29二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 30三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20si

15、ndxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .31五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時，時，或或，當(dāng)，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達(dá)式內(nèi)的表達(dá)式 . .32八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內(nèi)有且僅有一個根內(nèi)有且僅有一個根 . .33一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5