17-空間向量與立體幾何-及其運(yùn)算題庫

1、空間向量及其運(yùn)算"阿£ 知識(shí)框架,空麗量：L 一潮向§的語與雌J空司向sfi翊癥a）兩個(gè)向量的夾角與數(shù)量積犧a向量的百福半帝盯百角半標(biāo)云篁空間向堂在立體幾何中的應(yīng)用：/屋的方向向量與平面的法向量的假念；空間®至與立先何附平行關(guān)系：啜大與*重合）="匕；I （設(shè)整占，%的方向向量分31為電，平面小£的法向量為小工）線面的平行共系：儀或4 ua o存在買數(shù)口丁，使二燈”十了以；t其中石，曾為平面工內(nèi)的兩個(gè)不聯(lián)的向量）面面的平行關(guān)系：a/f C a -重合、o* 云；直與畫：4 1, o1_L o彳伺=0 ；85© =卜0乂1,3

2、）|（ 8為 1，1 舸角,6e（0,3）；R殿面垂直與線面所成角：?i J_ a。，3 ；cosd = sin。豆（6為&與平面1所成的角.0£（。，口， 2血dM直與面面所成角（_®fti）: , , a J. ©=% l«j oq .0=口 ；sin6 = sin（豆，帚（8為平面a, 0所生成的二面角，&e 0, tt）glMlfe 高考要求空間向量在 立體幾何中 的應(yīng)用要求層次重難點(diǎn)空間直 角坐標(biāo) 系空間直角坐標(biāo)系B（1）空間直角坐標(biāo)系了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直 角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.（2）空間向量

3、及其運(yùn)算了解空間向量的概念，了解空間向 量的基本定理及其意義，掌握空間向量 的正交分解及其坐標(biāo)表示.空間兩點(diǎn)間的距離公 式B空間向 量的應(yīng) 用空間向量的概念B空間向量基本定理A空間向量的正交分解 及其坐標(biāo)表示B空間向量的線性運(yùn)算 及其坐標(biāo)表示C空間向量的數(shù)量積及 其坐標(biāo)表示C掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo) 表示.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表 示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共 線與垂直.運(yùn)用向量的數(shù)量積判 斷向量的共線與垂直C隹例題精講13*板塊一：空間向量及其運(yùn)算（一）知識(shí)內(nèi)容1 .在空間內(nèi)，把具有大小和方向的量叫空間向量，可用有向線段來表示. 用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向

4、量.2 .起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做零向量，記為0或6.在手寫向量時(shí)，在字母上方加上箭頭，如AB.3 .表示向量力的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作1大，有向線段的方向表示向量的方向. 有向線段所在的直線叫做向量的基線.4 .如果空間中一些向量的基線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.a平行于記為a 方.5 .向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算：與平面向量類似；6 .空間向量的基本定理：共線向量定理：對(duì)空間兩個(gè)向量a, b （乃*0）, a /;的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,使。=高.共面向量：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,不共線，則向量與

5、向量。，方共面的充要條件是，存在唯一 的一對(duì)實(shí)數(shù)x , y ,使c = xa + yb .空間向量分解定理：如果三個(gè)向量。，bt "不共面，那么對(duì)空間任一向量萬，存在一個(gè)唯一的有 序?qū)崝?shù)組 x, y , z ,使 = xa + yB + zc.表達(dá)式總+ M + zL叫做向量a, bt 2的線性表示式或線性組合.上述定理中，a, bf 3叫做空間的一個(gè)基底，記作，/；",其中，；，/；，3都叫做基向量.由此定理知，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.7 .兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量£，；，在空間任取一點(diǎn)O,作。4 = a, OB = bt JW

6、ZAQB叫 做向量。與力的夾角，記作九，；.通常規(guī)定0W6"；Wjt.在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向量的夾角就被唯一確定了，并且。，/；）=/；，a）.如果，司= 90。，則稱。與方互相垂直，記作8 .兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知空間兩個(gè)向量a, 6,定義它們的數(shù)量積（或內(nèi)積）為：/；=l£ll/；lcos5"；空間兩個(gè)向量的數(shù)量積具有如下性質(zhì)：(l)a e =1 a Icos(£r > e) ； (2)。_L = a = 0 ；I a F = a a ； (4) a b W a b .空間兩個(gè)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：(l)(2d)- h = A(a - b)

7、 ； (2) a 6 = B 4 ； (3) (a + 區(qū)). c = a . c + B . c .9 .空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：建立空間直角坐標(biāo)系。斗，分別沿工軸，y軸，z軸的正方向引單位向量；，j,"這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底G，N,這個(gè)基底叫做單位正交基底.空間直角坐標(biāo)系6”,也常說成空間直角坐標(biāo)系。：7,10 .坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，已知任一向量。，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一數(shù)組a, %, %), 使£ = a/+aJ + %R , %；，分別叫做向量£在；，1,1方向上的分量，有序?qū)崝?shù)組 (% , 出 , %)叫做向量。在此

8、直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).上式可以簡(jiǎn)記作£ = (，見，/).若a = (q ,生，)，b = (bt , h2 , b3), 9 -W-W貝!J： a + = (q + ， + % , % +。3); 。一 = (q - ，/ 一 , % 4)； Aa = (24 , Aa2 , Aa3) ； a b = ab + a2b2 + ayb3 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).11.空間向量的平行和垂直的條件：設(shè)£ =(%,伉，G),方=(4,2，么)，a1=Ah1a / b (8x6)a = Ab <=> <a2

9、= Ah2 ；% = Ab3a±b<=>ab = O<=> ab + a2b2 + a3b§ = 0 .兩個(gè)向量的夾角與向量的長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式：7,而=Hl=Jb；+b；+b；, a1bl + a2b2 +a3b3(二)主要方法：1 .通過對(duì)題目的分析找到相應(yīng)的邊角互換功能的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)換.2 .利用正余弦定理可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.(三)典例分析：【例1】已知空間兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(m, 1 + ?，2 + m), B(-m, 3- 2m, 3m),則1411的最小值是【例2】 已知4 = (2,4,5), = (3,

10、 x, y),若aZ?,則尤=, y =.【例3】已知向量。=(0,2,1)5 = (-1,1,-2),則。與/；的夾角為.【例4】已知兩個(gè)非零向不，石不共線，如果血=4+&,衣=24+此，A力=3耳-3弓, 求證：A,5,C,O共面.【例5】 已知G = (l, 1,0),萬=(0, 1, 1), d = (l, 0, 1),萬=2-凡 * = d + 2方-5 ,則無*=【例6】已知點(diǎn)A3,0,0),8(0,，0),C(0,0,c),其中血工0,求平面A3C的一個(gè)法向.【例7】 若0 + 3萬»(71-5母,且(G-祠),(7"55),則不與B的夾角為【例8】關(guān)

11、于空間向的四個(gè)命題中正確的是()A. OP = -OA + -OBf則尸、A、3三點(diǎn)共線 23B. =2OA-OB-OC t 則M、A、8、C 四點(diǎn)共面C. AABC為直角三角形的充要條件是前 衣=0D.若，兒狗為空間的一個(gè)基底，則 +九/； +屋+。構(gòu)成空間的另一個(gè)基底【例9】已知兩個(gè)非零向怎不共線，如果A* = + , AC = 2e1 +8< ,人萬=壇-壇，求證：A, B,C,。共面；【例10】已知A, 8, C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間中一點(diǎn)尸，滿足條件。戶=:以+ ：。8 + 2反，試判斷：點(diǎn)JU0。與A, 5, C是否一定共面？【例11】設(shè)四面體。43c的對(duì)邊8C的中點(diǎn)分別為P,

12、Q; OB, G4的中點(diǎn)分別為R, S; OC 9居的中點(diǎn)分別為U, V時(shí)，試證明三線段P。，RS . i/V的中點(diǎn)值合.【例12】已知斜三棱柱ABC-ABC,設(shè)A* = 6, AC； =凡A4； =心 在面對(duì)角線AU和棱8C上分別取點(diǎn)M和N,使得AM=RAC；,W1),求證：A/M與向心亍共面.【例13如圖，在空間四面體A8C0中，P、。、M、N分別為邊AB、AD , BC、8的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向:【例14】平行六面體ABCD-AMCQ中，M為AC和4。的交點(diǎn)，設(shè)A8； = a，4“ =九4印=(：，化簡(jiǎn):一L+Lj+3；上+上+凝上辦演一上,B+乙 22222

13、222【例15如圖所示，在平行六面體中，p是CA,的中點(diǎn)，M是CR的中點(diǎn)，N是G2的中點(diǎn)，點(diǎn)。在 C4 上，且 CQ：QA=4:1,設(shè) A* = a, AZ5 = /；, AC： = Z,用基底“，/；,狗表示 以下向:(Dap； (2)am； (3)an；豆.【例 16已知 6 = (5,-2,0), /； = (一1,3, - 2) , 3 = (0,1,2),求( + 5).(B-2c), a + 2b + 2c ；(2)問當(dāng)實(shí)數(shù)的值為多少時(shí)，坂+工的模最??；問是否在實(shí)數(shù)入，使得向量。垂直于向量B +問是否在實(shí)數(shù)儲(chǔ) 使得向量。平行于向量5+后:.【例17】設(shè)Q/i = a, OB = b

14、9 OC = c9則使A、3、。三點(diǎn)共線的條件是()A. c = a + B. c = ci + -h C. c = 3n-助 D. c = 4a-3b 23【例18】設(shè)向量n = (3,5,-4), B = (2,1,8),試確定乙的關(guān)系，使/+ /；與z軸垂直.【例19】已知47,0,1), 8(-y,4), C(l,4,7),且A, 8, C三點(diǎn)在同一直線上，求實(shí)數(shù).一)，的值.【例20】已知平行六面體ABCO-AFCT/,如圖，在面對(duì)角線AD',上分別取點(diǎn)M, N ,使4 _ -AM = AADf, BN = ABD (0<2<l),記A8 =。, AD = b .

15、 AAr = c 9(D若用基底表示向量a3、mc. CN.2求證：向量用2與向量a, 2共面.例 21 已知三個(gè)非零向 i，j ,及 不共面，i = i + 2j + 3k 9b = 3i + 2j + k 9 c = 7/+ 8y + 9k 9 求證：a9b,c這三個(gè)向量共面；【例22】設(shè)點(diǎn)O為空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)A, 8,C是空間不共線的三點(diǎn)，又點(diǎn)夕滿足等式：7)P = xOA + yOB + zOC ,其中x,y,zeR,求證：P，A, 8, C四點(diǎn)共面的充要條件是 x + y + z = .【例23】設(shè)向量。與/；互相垂直，向量；與它們構(gòu)成的角都是60、且面=5, 1/7 1=3,3=8

16、,那么(a + 3c) (3b - 2。)=9 I 2。+ B - 3cl=【例24】已知。和是非零向量,且11 = 11 = 1"-I,求。與。+人的夾角.【例25】已知向。和(不共線，向6 s且(a b)c = S.c)a , 2 = a + c,則()，/»=.【例26】已知工是空間中兩兩垂直的單位向, m=a+b,n=b-c,則而與的夾角為【例 27】設(shè) l?l=ly 11=2, 2】 + 與，一 3 垂直，a = 4m - n 9 = 7， + 2，貝Ijln 1=, b 1=。，b) =.【例28】已知空間四邊形ABC。中，AB±CDf AC1.BD,

17、求證：ADLBC.A【例29】已知向a = Q + l，0,2/l), B = (6,2-1,2),若。/；,則九=, /=.例30若 A(m +1, /? +1,3) f B(2m, n, m-2n),+ 3, 一3,9)三點(diǎn)共線.則 m + =.【例31已知£ = (2,4,x), b = (2, y,2)9 若 1。1=6,且貝lx + y =.Q【例32若向量£ = (1，2), B = (2, -1,2),。/夾角的余弦值為：，貝1/=-【例 33如圖，在空間四邊形 OA4c 中，3 = 8, AB = 69 AC = 4, BC = 5, ZOAC = 450

18、9 ZOAB = 60°9求。4與8C的夾角的余弦值.【例34】在正方體A8C。-a4Gs中，求二面角A-Q-G的大小.【例35】已知A(2,2,1), B(-l,2,4), C(-2,4,3),。(一 1,4,2),求線段AC、的長(zhǎng)；求證：這四點(diǎn)A、B、C、。共面；求證：ab/cd9 ac±bd；求向量AC與AB所成的角.【例36】已知A(0,2,3), 8(-2,1,6),。(1,一1,5),求平面ABC的一個(gè)單位法向量；證明：向量工=(3,-4,1)與平面ABC平行.【例37如圖，已知矩形A5C。和矩形APQ所在平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別是對(duì)角線8。，AE的 中點(diǎn).求

19、證：MN平面COE.【例38】已知A, 3, C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間中一點(diǎn)尸，滿足條件。戶=+ Q月+機(jī)玩，試判斷：點(diǎn)JOP與A, 5, C是否一定共面？【例39如圖，已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線。8, AC, A1,N分別是對(duì)邊OA, 3c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG = 2GN,用基底向量方，0氏天;表示向量。匕.o【例40如圖，在四面體ABC。中，。，0,加，"分別為邊43,從。，3。，8的中點(diǎn)，G為MCO的重心.(D 求證：AG = L(AB + AC + AD).3記 A 片=«, AC = h9 AD = c9 用基底a,/；，c表示向量 86、0C、PN

20、 .【例41】設(shè) 1)1=1,面=2,且£,/；的夾角為 120。，則0 + &.(】-2) =, I2Z + /；I=.【例42】已知)，B, 2是空間中兩兩垂直的單位向量，m = a + b , n = b-c ,則;與n的夾角為 (例43】校長(zhǎng)為。的正四面體ABCD中，AB BC AC 8力的值等于.【例44已知a = (l,2,-2), 5 = (3,4,0), " = (-2,-4,3),求 a + B + c , 3b + 2c ；(2)計(jì)算：(a + + c).(3加 + 2c) 9 a + b + c 9 (a 9 a+ b + c)；(3)寫出與向

21、量£ + $ +(：平行的單位向量；寫出與向量£3同時(shí)垂直的，且長(zhǎng)度為何的向量；當(dāng)實(shí)數(shù)2的值為多少時(shí)，a±(b+Ac).【例45】【例46】已知)= (5,-2,0),5=(-1,3,-2). 2 = (0,1,2),求(a + b) (b - 2c) , a+ 2b + 2c i問當(dāng)實(shí)數(shù)的值為多少時(shí)，方+蘇的模最??；問是否在實(shí)數(shù)儲(chǔ) 使得向量。垂直于向量B + &：；問是否在實(shí)數(shù)4,使得向量。平行于向量(2004年北京)如圖，在正方體A8CD-A4Gq中，夕是側(cè)面38CC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若尸到直線8c與直線G2 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是()A.直線

22、 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線【例47】【例48】(2004年北京)在正方體中，。是側(cè)而88£C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若P到直線CR與它到直線BC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是;若P到直線CR的距離是它到直線BC的距離的;，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是若P到直線GR的距離是它到直線8c的距離的2倍,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡所在的曲線是(2000年上海春)四棱錐P-ABC。中，底面 A5CD是平行四邊形，aQ =(2,-1,-4), AZ> =(4,2,0), 而=(-1,2,-1).求證：姑_1平面鉆8.求四棱錐P - ABCD的體積；對(duì)于向量£ =區(qū)，升，4),B =(z，%，z

23、. ) = 3，%，Z3),定義一種運(yùn)算：(axb) c=內(nèi)力Z3 +占4 +x3ytz2一%)%3 - Wi，試計(jì)算CAAx而).衣的絕對(duì)值；說明其與四棱錐尸-ABCZ)的體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(AB x AD)- AP的絕對(duì)值的幾何意義.【例49】（2004年北京）如圖，在正方體A8CD-A4G，中，p是側(cè)面3片G。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若尸到直線8。與直線GR 的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所在的曲線是（A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線【例50】（2007北京東城二模）如圖，在四棱錐P-ABCO中，側(cè)面姑。為正三角形，底面ABCO為正方形，側(cè)面鬼。_1底 面458. M為底面A3co

24、內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=MC.則點(diǎn)M在正方形A5CQ內(nèi)的 軌跡為（）比分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且都垂直【例51】在位的二面角的棱上，有A,8兩點(diǎn)，線段AC、于已知AB = 4, AC = 69 BD = 8 .求CO的長(zhǎng)度；求CD與平面a所成的角.【例52】（2000年上海春）四棱錐尸-他8中，底面A5c。是平行四邊形，加=（2,-1,-4）, Xd =（4,2,0）, 而=（-1,2,-1）.求證：必_1平面450求四棱錐尸-ABCD的體積；（3）對(duì)于向量£ =（%，K , 4）,5 = （4，%，4）9 2 = （&，X，q）,定義一種運(yùn)算:（"xB）2=玉為

25、+&一芯為乙2 一%，R3一天為1，試計(jì)算(而X而).麗的絕對(duì)值；說明其與四棱錐尸-ABC。的體積的關(guān)系，并由此猜想向量 這一運(yùn)算(AB xAD)AP的絕對(duì)值的幾何意義.地州里課后作業(yè)【例53】已知向量 =(0,2,1), = (-1,1,-2),則公與的夾角為()A. 0°B. 45° C. 90° D. 180°【例54】設(shè)“ = (-2,2, 5)、)=(6,-4, 4)分別是平面a/的法向£ 則平面的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定【例55】已知A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,3,2), 5(4,-3,7)

26、, C(0,5,l),則8c邊上的中線長(zhǎng)為( )A. 2B. 3C. 4D. 5【例56】已知向a = (2/，m，2),方=。，"1 + 1, -5) 9若。，8垂直，則 +。=【例57】已知正方體A8C。一 A4G2中，A后=1而一若荏=八湎+義,萬+陋)，則4【例58】已知向£ = (2,-3,0)4=伙，0,3),若。與/；成120。角，貝必=.【例59已知刁= (1,1,0), /； = (-1，0,2),且依+/?與垂直，貝必的值為()A. 1 B. 1 C. 3D. Z555【例60】已知0。垂直正方形ABC。所在平面，AB = 29 £是總的中點(diǎn)，

27、cos<DP,AE>=-.以A4、 3DC、OP所在直線分別為x軸、)，軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，則點(diǎn)上的坐標(biāo)為;又在平面EW內(nèi)有一點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)F是 時(shí)，EF上平面PCB.【例61】空間四邊形。48c中，QB = OC, ZAO8 = ZAOC = m，貝Ijcosc),灰：的值是()A. 1 B.正 C. -1 D. 0222【例62若向。= (1, 0, 2),方=(0, 2, 1)確定平面的一個(gè)法向= = (x, y, 2),則向c = (l,后，2)在'上的射影的長(zhǎng)是【例63】在平行六面體中，下列四對(duì)向:A月與G"；AC；與3D；;AD；與C.B；4)與BC,

28、其中互為相反向的有對(duì)，貝|J=()A. 1B. 2C. 3D. 4【例64已知a = (2, - 1,3)高=(-1,4,-2),二(7,5,/1),若九九Z三向共面，則等于()A. B. 9 C. D, 777【例65】空間四邊形(M5C中，OAa.OBb.OCc ,點(diǎn)M在OA上，且2。面=/加，N為8c的中點(diǎn)，則a/N=.(用向量£，九2來表示.).【例66若辦均為單位向，且&畫= 60。,則+留=;【例67】已知I。1=2,=3,且。與8的夾角為三，< =* + 2/? , d = ma-b 9若則加=. 2【例68已知 = (2,2,1) , /> = (

29、4,5,3), a = .B = 0, 且貝。=【例69】已知I力=1, 11=1 , 13-2/7 1=3,貝小32 + 加=.【例70】已知空間四邊形ABCO,連結(jié)AC, 5。，設(shè)M , G分別是BC, CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式,并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向:(Dab + bc + cd；()AB + -(BD + BC)； 2(S)AG-(AB + AC). 2【例71】已知向量)= (0,3,3), t = (-l,l,0),則n與的夾角為;【例72】已知向a = (l，l，0), B = (-l,0,2),且U+ /；與2a-互相垂直，則上的值是.【例73已知麗= (1,2,3),麗= (2,1,2),麗= (1,1,2), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)豆型取得最小值時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為【例74】已知點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(-2,3,5),(1,-1,-7),則向量A8的相反向量的坐標(biāo)是【例 75】已知三棱錐。-ABC, OA = 49 03 = 5, OC = 3, ZAQ3 = ZB" = 60° , ZCOA = 900 9 M、N分別是棱3、BC的中點(diǎn)，求：直線MN與AC所成角的余弦值.【例76已知S是邊長(zhǎng)為1的正三角形所在平面外一點(diǎn)，RSA = SB = SC = 19 M9 N分別是AB,