高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的微分學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的微分高階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的微分第一頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。 前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的各種求導(dǎo)法。顯然y=x2 的導(dǎo)數(shù)是y=2x，而y=2x這個(gè)函數(shù)仍然可導(dǎo)，(2x) =2. 定義定義2.2 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若其導(dǎo)數(shù)，若其導(dǎo)數(shù)y = f (x)可導(dǎo)，則稱可導(dǎo)，則稱y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x) 為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，的二階導(dǎo)數(shù)，記作：記作： y 或或f (x)或或或或y(2)。 即：即： y =(y ) ，f (x)=f (x) 。 同樣地，若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)y= f (x)仍然可導(dǎo)，即f (x)存在，則稱f (x)為函

2、數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)。2.4 2.4 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)/共14頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。 類似地，若函數(shù)類似地，若函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y 仍可導(dǎo)，則稱仍可導(dǎo)，則稱y 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，的三階導(dǎo)數(shù)， 記作：記作： y(3) ，即，即y(3) =(y ) 。 依此類推，若函數(shù)依此類推，若函數(shù)y=f(x)的的n 1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)y( n 1) 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則稱稱y( n 1)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為y=f(x)的的n階導(dǎo)數(shù)，階導(dǎo)數(shù)， 記作：記作： y( n) ，即，即y( n) =y( n 1) 。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。二階及

3、二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。第2頁(yè)/共14頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。例1 設(shè)y=ln(22x)，求y解 先求一階導(dǎo)數(shù)y=ln(2 2x)22(221xxx22211x再求二階導(dǎo)數(shù)y =(y)11x211x例2 設(shè)y(6)=x2sinx，求y(8)解=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(sinx)=2sinx+4xcosx x2sinxxxxxxxyycossin2)sin()(22)6()7()cossin2()(2)7()8(xxxxyy第3頁(yè)/共14頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。例3 求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：（1）y=sinx; （2）y=xn.(1) 解解

4、: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n第4頁(yè)/共14頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。 （2）y=(xn) =nx n1y =(nxn1) =n(n1)xn2y =n(n1)xn2=n(n1)(n2)xn3于是，可知y (n)=n(n1)(n2)1 =n！第5頁(yè)/共14頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。練習(xí)：練習(xí)：1.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）y=ex lnx （2）y=x2 e-2x （3）y =2

5、)1(1xx2.求求 y = e 2x，(n N)的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)21xeyx )482(22xxeyx 4) 1(102 xxyxnney2)(2第6頁(yè)/共14頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。2.5 2.5 函數(shù)的微分函數(shù)的微分一、微分概念一、微分概念引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長(zhǎng)為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xAxx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小0 x時(shí)為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時(shí),0 x變到,0 x

6、x邊長(zhǎng)由其第7頁(yè)/共14頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。定義定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo),自變量在點(diǎn)x的改變量為x，則乘積函數(shù)f (x) x稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的微分微分，記為dy.即dy= f (x) x這時(shí)，也稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x可微可微。對(duì)函數(shù)y=x， 由于y =(x) =1 ，因而dy=dx=1 x = x 于是，函數(shù)y=f(x)的微分，一般記為dy=f (x) dx即函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x的微分等于函數(shù)在點(diǎn)的微分等于函數(shù)在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積乘積。改寫為導(dǎo)數(shù)又稱為微商。dxdyxf)(第8頁(yè)/共14頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。

7、練習(xí)：練習(xí)：函數(shù)y=f(x)可微的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的微分記為dy|x=x0即dy|x=x0 = f (x0) dx例1 若y =f(x) =x2，求x =1, x =0.01時(shí)函數(shù)的改變量y與微分dy .解由上述條件，x =1, x =0.01， 因此y = f(1+x)f(1)= (1+x)212= 0.0201當(dāng)x =1, x = 0.01時(shí)，f (1)= (x2)|x=1=2x|x=1=2，于是dy = f (1) x = 20.01= 0.02設(shè)y =x2+x，求在x =1, x =0.1 ，x =0.01時(shí)函數(shù)改變量y與微分dy .定理定理

8、第9頁(yè)/共14頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。二、微分計(jì)算二、微分計(jì)算dy= f (x) dx例例2 求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分：xxycos3) 1 (2xxytan)2(xysinln)3(解 （1）由于)cos3(2xxyxxsin6 所以dxydydxxx)sin6(（2）由于)tan(xxyxxxx2sectan21所以dxydydxxxxx)sectan21(2（3）由于)sin(lnxyxxx21cossin1xx2cot所以dxydydxxx2cot第10頁(yè)/共14頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。練習(xí)練習(xí):dxxdyx)62ln2(dxxxxxdy)sincos31(33222sin)3(xeyxdxxxexedyxx)cos2sin2(2222求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分：4sin32) 1 (2xyxxxycos)2(3第11頁(yè)/共14頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期三：八點(diǎn) 五十五分。3.3.函數(shù)微分的求法函數(shù)微分的求法1.1.求導(dǎo)法則及其應(yīng)用求導(dǎo)法則及其應(yīng)用2.2.