微專題：構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題

1、. 微專題：構(gòu)造函數(shù)法解選填壓軸題高考中要取得高分，關(guān)鍵在于選準(zhǔn)選好的解題方法，才能省時省力又有效果。近幾年各地高考數(shù)學(xué)試卷中，許多方面尤其涉及函數(shù)題目，采用構(gòu)造函數(shù)法解答是一個不錯的選擇。所謂構(gòu)造函數(shù)法 是指通過一定方式，設(shè)計并構(gòu)造一個與有待解答問題相關(guān)函數(shù)，并對其進(jìn)行觀察分析，借助函數(shù)本身性質(zhì)如單調(diào)性或利用運(yùn)算結(jié)果，解決原問題方法，簡而言之就是構(gòu)造函數(shù)解答問題。怎樣合理的構(gòu)造函數(shù)就是問題的關(guān)鍵，這里我們來一起探討一下這方面問題。幾種導(dǎo)數(shù)的常見構(gòu)造：1對于xgxf，構(gòu)造xgxfxh若遇到0aaxf，則可構(gòu)axxfxh2對于0 xgxf，構(gòu)造xgxfxh3對于( )( )0fxf x，構(gòu)造xf

2、exhx4對于( )( )fxf x或( )( )0fxf x，構(gòu)造( )( )xf xh xe5對于0 xfxxf，構(gòu)造xxfxh6對于0 xfxxf，構(gòu)造xxfxh一、構(gòu)造函數(shù)法比較大小例1已知函數(shù)( )yf x的圖象關(guān)于y 軸對稱, 且當(dāng)(,0),( )( )0 xfxxfx成立，0.20.22(2)af，log 3(log 3)bf，33log 9(log 9)cf, 則, ,a b c的大小關(guān)系是 ( ) .a abc.b acb.c cba.d bac【解析】因?yàn)楹瘮?shù)( )yf x關(guān)于y軸對稱 , 所以函數(shù)( )yxf x為奇函數(shù) . 因?yàn)? )( )( )xf xfxxfx, 所

3、以當(dāng)(,0)x時,( )( )( )0 xfxf xxfx, 函數(shù)( )yxf x單調(diào)遞減 , 當(dāng)(0,)x時, 函數(shù)( )yxfx單調(diào)遞減 . 因?yàn)?.2122,0131og,3192og, 所以0.23013219ogog, 所以bac, 選 d. 變式 : 已知定義域?yàn)閞的奇函數(shù)( )fx的導(dǎo)函數(shù)為( )fx，當(dāng)0 x時，( )( )0f xfxx，若111(),2( 2),ln(ln 2)222afbfcf，則下列關(guān)于, ,a b c的大小關(guān)系正確的是（d ）.a abc.b acb.c cba.d bac例 2已知( )f x為r上的可導(dǎo)函數(shù)，且xr，均有( )( )f xfx，則有

4、a2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefb2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef. c2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fefd2016( 2016)(0)eff，2016(2016)(0)fef【解析】構(gòu)造函數(shù)( )( ),xf xg xe則2( )()( )( )( )( )()xxxxfx eef xfxf xgxee，因?yàn)?xr均有( )( )f xfx ， 并且0 xe，所以( )0gx，故函數(shù)( )( )xf xg xe在 r 上單調(diào)遞減，所以( 2016)(0)(2016)(0)gggg，即2

5、0162016( 2016)(2016)(0)(0)ffffee，也就是20162016( 2016)(0)(2016)(0)efffef，故選 d變式 : 已知函數(shù)( )f x為定義在r上的可導(dǎo)函數(shù)，且( )( )f xfx對于任意xr恒成立，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（c ）2016. (1)(0)(2016)(0)a fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)b fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)c fe ffef、2016. (1)(0)(2016)(0)d fe ffef、例 3在數(shù)列na中，1()n 1,()nnann則數(shù)列na中的最大項(xiàng)為( )

6、a2b33c55d不存在【解析】由已知12a，323a，4342a，545a易得12234,.aa aaa. 猜想當(dāng)2n時，na是遞減數(shù)列又由11nnan知ln(1)ln1nnan，令ln( )xf xx，則221ln1ln( )xxxxfxxx當(dāng)3x時，ln1x，則1ln0 x，即( )0fx( )f x在3,內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，2n時，lnna是遞減數(shù)列，即na是遞減數(shù)列又12aa，數(shù)列na中的最大項(xiàng)為323a故選 b練習(xí)1 已知函數(shù))(xfy對任意的)22(，x滿足( ) cos( ) sin0fxxfxx, 則（）a)4(2)0(ff b. )3(2)0(ff c. )4()3(2ff

7、d. )4()3(2ff提示：構(gòu)造函數(shù)( )( )cosf xg xx，選 d. 二、構(gòu)造函數(shù)法解恒成立問題例 1若函數(shù)y=)(xf在r上可導(dǎo)且滿足不等式( )( )0 xfxf x恒成立， 對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）a( )( )af bbf ab( )( )bf aaf bc( )( )af abf bd( )( )bf baf a【解析】由已知( )( )0 xfxf x構(gòu)造函數(shù))()(xxfxf，則( )fx( )( )0 xfxf x， 從而)(xf在r上為增函數(shù)。ab( )( )f af b即( )( )af abf b，故選 c。例 2已知)(xf是定義在（ 0，+）上

8、的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足)()(xfxf x0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）a( )( )af bbf ab( )( )bf aaf bc( )( )af abf bd( )( )bf baf a【解析】xxfxf)()(，0)()()(2xxfxxfxf，故xxfxf)()(在（ 0，+）上是減函數(shù)，由ba，有bbfaaf)()(，即( )( )af bbf a。故選 a。變 式1. 設(shè)( )( )f xg x、是r上 的 可 導(dǎo) 函 數(shù) ，( )( )fxg x、分 別 為( )( )f xg x、的 導(dǎo) 函 數(shù) ， 且 滿 足( )( )( )( )0fx g xf x gx，則當(dāng)

9、axb時，有（c ）.( ) ( )( ) ( )a f x g bf b g x.()()()(b fx g afa g x. ( ) ( )( ) ( )c f x g xf b g b.()()()(d fx g xfb g a變式 2. 設(shè)函數(shù)bxaxgxfbaxgxf則當(dāng)且上均可導(dǎo)在),()(,)(),(時，有（ c ）a)()(xgxfb)()(xgxfc)()()()(afxgagxf d)()()()(bfxgbgxf例 3設(shè)函數(shù)( )f x在 r 上的導(dǎo)函數(shù)為( )fx，且22 ( )( )f xxfxx，下面不等式恒成立的是（）a0)(xfb0)(xfcxxf)(dxxf)

10、(【解析】由已知，首先令0 x得0)(xf，排除 b，d令2( )( )g xx f x，則( )2 ( )( )g xxf xxfx，當(dāng)0 x時，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函數(shù)( )g x單調(diào)遞增，所以當(dāng)0 x時，( )(0)0g xg，從而0)(xf. 當(dāng)0 x時，有2( )2( )( )( )0gxf xxfxxg xx，所以函數(shù)( )g x單調(diào)遞減，所以當(dāng)0 x時，( )(0)0g xg，從而0)(xf綜上0)(xf故選 a例 4 如果22(1)(1)1xxyy，那么下面的不等式恒成立的是（）a0 xyb0 xyc0 xyd0 xy【解析】構(gòu)造函數(shù)

11、2( )lg(1)()f xxxxr，易證( )f x在 r 上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增22(1)(1)1xxyy2( )()l g(1 )fxfyxx+2lg(1)yy=22lg(1)(1)xxyy=lg1 = 0 ()()fxfy即：( )()f xfy又( )f x是增函數(shù)xy即0 xy。故選 b練習(xí) 1. 已知yxyx)5. 0(log)() 5. 0(log31313131，則實(shí)數(shù)yx,的關(guān)系是（ d ）a.0yx b. 0yx c. 0yx d.0 xy【解析】構(gòu)造函數(shù)133( )(log 2)xf xx，( )fx是增函數(shù)，又( )()fxfy，0 xy， 故選 d練習(xí) 2. 已知函數(shù)

12、)(xfy是r上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)0 x時，有0)()(xxfxf, 則函數(shù)xxxfxf1)()(的零點(diǎn)個數(shù)是 ( b ) a.0 b.1 c. 2 d.3【解析】由xxxfxf1)()(，得1( )xfxx， 構(gòu)造函數(shù)g( )( )xxf x，則g ( )( )( )xf xx f x， 當(dāng)0 x時，有0)()(xxfxf, 當(dāng)0 x時，( )( )0 xfxf xx即當(dāng)0 x時，g ( )( )( )0 xf xx f x，此時函數(shù)g( )x單調(diào)遞增，此時g( )g(0)0 x，當(dāng)0 x時，g ( )( )( )0 xf xx f x，此時函數(shù)g( )x單調(diào)遞減，此時g( )g(0)0 x，作

13、出函數(shù)g( )x和函數(shù)1yx的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），由圖象可知函數(shù)xxxfxf1)()(的零點(diǎn)個數(shù)為1 個故選b三、構(gòu)造函數(shù)法解不等式例 1. 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閞，f(1)2，對任意x r，( )2fx，則 f(x)2x4 的解集為 () a(1,1) b(1， )c(， 1) d(， ) . 【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)2x4，所以( )( )2g xfx，由于對任意xr，( )2fx，所以( )( )2g xfx0 恒成立，所以g(x)f(x)2x4 是 r 上的增函數(shù)，又由于 g(1)f(1)2(1)40，所以 g(x)f(x) 2x40，即 f(x)2x 4

14、的解集為 ( 1， )，故選 b.變式 1. 已知函數(shù))(rxxf滿足1)1(f，且21)( xf，則212)(xxf的解集為（）a. 11xxb. 1xxc. 11xxx或d. 1xx【解析】 構(gòu)造新函數(shù)1( )( )()22xf xfx, 則11(1)(1)()1 1022ff，1( )( )2fxfx，對任意xr，有1( )( )02fxfx，即函數(shù)( )f x在 r上單調(diào)遞減，所以( )0f x的解集為(1,)，即212)(xxf的解集為(1,)，選 d. 變式2.定義在r上的函數(shù)( )f x，其導(dǎo)函數(shù)( )fx滿足( )1fx，且23f，則關(guān)于x的不等式1fxx的解集為(,2)變式

15、3.已知函數(shù)( )f x為定義在r上的可導(dǎo)函數(shù)， 且( )( )f xfx對于任意xr恒成立， 且(1)fe，則( )1xf xe的解集為(,1)變式 4.函數(shù))(xf的定義域是r，2)0(f，對任意rx，( )( )1f xfx，則不等式1)(xxexfe的解集為（ a ）a. 0 xx b. 0 xx c. 1x-1xx或 d. 101xxx或例 2 設(shè)( )f x是定義在r 上的奇函數(shù)，且(2)0f，當(dāng)0 x時，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，則不等式2( )0 x f x的解集是解：因?yàn)楫?dāng)x0 時，有2( )( )0 xfxf xx恒成立，即 ( )f xx0 恒成立，所以(

16、 )f xx在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減因?yàn)?2)0f，所以在（ 0，2）內(nèi)恒有( )0f x；在(2,)內(nèi)恒有( )0f x又因?yàn)? )f x是定義在r 上的奇函數(shù)，所以在(, 2)內(nèi)恒有( )0f x；在( 2,0)內(nèi)恒有( )0f x又不等式2( )0 x f x的解集，即不等式( )0f x的解集所以答案為(, 2)（ 0， 2） 變式 1. 已知定義在)0 ,(上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為( )fx，且有22 ( )( )f xxfxx，則不等式. 0)2(4)2014()2014(2fxfx的解集為（c）a)2012,( b. )02012(， c. )2016,( d. )02016(，變式

17、 2. 函 數(shù)( )f x的定義域?yàn)閞，( 2)2016f，對任意xr，都有( )2fxx成立，則不等式2( )2012f xx的解集為（c） a. ( 2,2) b. ( 2,) c. (, 2) d. (,)變式3. 設(shè))(xfy是定義在r上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為( )fx，若( )( )1f xfx，(0)2017f, 則不等式( )2016xxf x ee的解集為（ d ）a. (2016,) b. (,0)(2016,) c. ),0()0,( d. ),0(變 式4.函 數(shù))(xf是 定 義 在r上 的 偶 函 數(shù) ,0)2(f, 且0 x時 ,( )( )0f xxfx, 則 不 等

18、 式0)(xxf的解集是 _ 2,02,)_（提示：構(gòu)造的( )( )g xxf x為奇函數(shù)，(0)0f）例 4設(shè)( )( )fxg x、是r上的可導(dǎo)函數(shù)，( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，( 3)0g， 則不等式( ) ( )0f x g x的解集為( 3,)變式 1設(shè)( )( )f xg x、分別是定義在r上的奇函數(shù)、 偶函數(shù)， 當(dāng)0 x時，( ) ( )( )( )0fx g xf x gx，( 3)0g，則不等式( ) ( )0fx g x的解集為(,3 )( 0 , 3. 變式 2已知r上的函數(shù)( )( )fxg x、滿足( )( )xf xag x，且 ( )

19、 ( )( ) ( )f x g xf x g x，若( 1 )( 1 )5( 1 )( 1 )2ffgg，則關(guān)于x的不等式log1ax的解集為1( 0)2，.變式 3. 設(shè)奇函數(shù))(xf定義在),0()0,(上，其導(dǎo)函數(shù)為( )fx，且02f，當(dāng)x0時，sincos0fxxfxx，則關(guān)于x的不等式fx2sin6fx的解集為 _(,0)(,)66. （提示：構(gòu)造的( )( )sinf xg xx為偶函數(shù)）四、構(gòu)造函數(shù)法求值例 1設(shè)( )fx是r上的可導(dǎo)函數(shù)，且( )( )fxf x，(0)1f，21(2)fe.則(1)f的值為. 提示：由( )( )fxf x得( )( )0fxf x，所以(

20、 )( )0 xxe fxe f x，即( )0 xe f x，. 設(shè)函數(shù)( )( )xf xe f x，則 此時有1(2)(0)1ff，故( )( )1xf xe f x，1(1)fe變式 已知( )f x的導(dǎo)函數(shù)為( )fx，當(dāng)0 x時，2( )( )f xxfx，且(1)1f，若存在xr，使2( )f xx，則x的值為1 .（提示：構(gòu)造2( )( )f xg xx）例 2已知定義在r上的函數(shù)( )( )f xg x、滿足( )( )xf xag x，且( ) ( )( )( )fx g xf x gx，(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，若有窮數(shù)列*( )()( )f nnng n

21、的前n項(xiàng)和等于3132，則n等于5 . 解：( )( )( )( )fx g xf x gx，2( )( )g()( )g ( )0( )( )f xfxxf xxg xgx，即函數(shù)( )( )xf xag x單調(diào)遞減，0a1又(1)( 1)5(1)( 1)2ffgg，即152aa解得12a或 a=2（舍去）( )1()( )2xfxg x，即(n)1()(n)2nfg，數(shù)列1() 2n是首項(xiàng)為112a，公比12q的等比數(shù)列，11( )2nns，由1311()232nns，解得 n=5。變式 1已知)(xf,)(xg都是定義在 r上的函數(shù)，0)(xg，( )( )( )( )fxg xf x g x， 且)()(xgaxfx（0a，且1a） 。25)1() 1()1 ()1(gfgf，若數(shù)列)()(ngnf的前n項(xiàng)和大于62，則n的最小值為（ a ） a 8 b 7 c 6 d 5 變式2已知( )f x、( )g x都是定義在r 上的函數(shù)，( )( )( )( )0fx g xf x gx，( ) ( )xf x g xa，5(1) (1)( 1) ( 1)2fgfg在區(qū)間 3,0上隨機(jī)取一個數(shù)x，( )( )f x g x的值介于4 到 8 之間的概率