共線向量與共面向量,新

1、共線向量與共面向量共線向量與共面向量1. 平面向量共線的充要條件平面向量共線的充要條件:若若 不共線不共線,則平面內(nèi)任一向量則平面內(nèi)任一向量,a b 2.平面向量基本定理平面向量基本定理:1212(,)pabR 復(fù)習(xí)平面向量復(fù)習(xí)平面向量那么空間向量共線、共面的條件是什么?R)R)( ( b b a a) )0 0b b( ( b b a aacb零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線一、共線向量一、共線向量1.2.BCBCABAB A、B、C三點(diǎn)共線A、B、C三點(diǎn)共線例例1 1已知已知A A、B B、P P三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，O O為空間任為空間任意一點(diǎn)，且意一點(diǎn)，且 ，求，求 的值的值.

2、. OPOAOBOABPal 1 , 1 OB t-1 ) OB( . PB,A, : 得得由由又又三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線證明證明ttOAOPOBtOAOAtOAOPOAOBABABtOAOP 與直線與直線l l平行的向量平行的向量a叫做叫做直線直線l l的方向向量。的方向向量。二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量。叫做共面向量。OAaa注意：注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。任意三個(gè)向量就不一定共面的了。ObAPp 2.2.共面向量定理（平面向量基本

3、定理）共面向量定理（平面向量基本定理）: : 如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向與向量量 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使, a byx,Pxayb, a b paABC p, a b, a b p, a b, a b p, a b, a b推論推論: :空間四點(diǎn)空間四點(diǎn) P P、A A、B B、C C 共面的充要條件共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)( (x, , y) 使使 或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O,O,有有 1 ; ACyABxAP(2) . OCz OByOA x OP只是向量的表示方法不相同共面向量定理中的與說(shuō)明

4、, y P :baxACyABxAP其中其中x+y+z=1同。對(duì)空間任意一點(diǎn)對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿，滿足向量關(guān)系式足向量關(guān)系式 （其中）的四點(diǎn)（其中）的四點(diǎn)P、A、B、C是否是否共面？共面？ OPxOAyOBzOC1xyz空間四點(diǎn)空間四點(diǎn)P、A、B 、C共面共面,xyCPxCAyCB （） 使得P88 思考思考AP=m AB+n ACAP=m AB+n AC將將AP=OP-OA,AB=OB-OA,AC=OC-OA代入可得。代入可得。存存在在唯唯一一實(shí)數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)例例2如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平，過(guò)平面面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O作射線作射線

5、OA，OB，OC，OD在四條射線上分別取點(diǎn)在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并使，并使 求證：求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面； OEkOA OFkOBOGkOC OHkODHEFGDABCOkODOHOCOGOBOFOAOE 分析：由已知有分析：由已知有共面向量定理（平面向量基本定理）共面向量定理（平面向量基本定理）: : 如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向與向量量 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使 p, a b, a bPxayb類似于平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理：類似于平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理：a,

6、 b, c叫做空間的一個(gè)叫做空間的一個(gè)基底基底，a, b, c 都叫做都叫做基向量?；蛄??？臻g任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底?？臻g任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底?？臻g向量基本定理：空間向量基本定理：如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量a, b, c不共面，不共面，那么對(duì)空間任一向量那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使使得得 p=xa+yb+zc.三、三、 單位正交基底：?jiǎn)挝徽换祝涸O(shè)設(shè) 為有公共起點(diǎn)為有公共起點(diǎn)O的三個(gè)兩兩垂直的單位向量，我們稱它們?yōu)榈娜齻€(gè)兩兩垂直的單位向量，我們稱它們?yōu)閱挝徽换?。單位正交基底?21 , , eee 在空

7、間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系Ox y z中，對(duì)空間中，對(duì)空間任一點(diǎn)任一點(diǎn) P,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OP，于是存在唯一，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使，使 OP=x e 1+y e 2+z e3 在單位正交基底在單位正交基底 中中,與向量與向量OP對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，叫做，叫做點(diǎn)點(diǎn) P在此空間直角坐標(biāo)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作系中的坐標(biāo)，記作 P(x, y, z)，其中，其中x叫做點(diǎn)的叫做點(diǎn)的橫坐橫坐標(biāo)標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P 的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) P 的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo).321 , , eeeBANCOMQP例例4、如圖，、如圖，

8、M，N分別是四面體分別是四面體OABC的邊的邊OA，BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，P，Q是是MN的三等分點(diǎn)。用向量的三等分點(diǎn)。用向量 表示表示 和和 。,OA OB OC OP OQ 112311111()()23236111366O QO MM QO AM NO AO NO AO AO BO CO AO BO C OCOBOAMNOAMPOMOP3131613221練習(xí)：課本第98頁(yè) 第 6，7，8題.,.成成角角的的余余弦弦值值所所與與求求四四等等分分點(diǎn)點(diǎn)的的一一個(gè)個(gè)分分別別是是中中形形在在正正方方如如圖圖例例11111111111117135DFBEDCBAFEDCBAABCD .,.111111

9、余余弦弦值值進(jìn)進(jìn)而而求求出出它它們們所所成成角角的的它它們們的的數(shù)數(shù)量量積積與與模模計(jì)計(jì)算算出出的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示我我們們可可以以通通過(guò)過(guò)此此因因所所成成的的角角與與就就是是所所成成的的角角與與分分析析DFBEDFBEDFBEABCD1D1C1B1A1F1EO1713 .圖圖ABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖則系基底建立空間直角坐標(biāo)為單位正交分別以正方體的棱長(zhǎng)為不妨設(shè)如圖解,.OxyzDDDCDA111713 ,1 ,41, 0,0 , 0 , 0,1 ,43, 1,0 , 1 , 111 FDEB ,1 ,41, 00 , 1 , 11 ,43, 11 BE所以所以

10、,1 ,41, 00 , 0 , 01 ,41, 01 DF ,1 ,41, 00 , 0 , 01 ,41, 01 DFABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713 .圖圖417|1 DF417|1 BE.16151141410011 DFBE.17154174171615|,cos111111 DFBEDFBEDFBE所以所以.1715,11所成角的余弦值是所成角的余弦值是與與因此因此DFBE.,.1111111118136DAEFBDBBFEDCBAABCD 的中點(diǎn)求證的中點(diǎn)求證分別是分別是中中方形方形在正在正如圖如圖例例1813 .圖圖ABCD1D1C1B1AFEOxyz則則角坐標(biāo)

11、系角坐標(biāo)系位正交基底建立空間直位正交基底建立空間直為單為單分別以分別以設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為妨妨不不圖圖如如證明證明, 1,181 . 31OxyzDDDCDA .21,21,21,1 ,21,21,21, 1 , 1 EFFE所以所以 .1 , 0 , 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 111 DADA所以所以又又1813 .圖圖ABCD1D1C1B1AFEOxyz . 01 , 0 , 121,21,211 DAEF所以所以.,11DAEFDAEF 即即因此因此求求解解問(wèn)問(wèn)題題的的思思路路. .運(yùn)運(yùn)算算坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式或或字字母母形形式式的的并并用用向向量量運(yùn)運(yùn)算算素素,

12、,體體會(huì)會(huì)用用向向量量表表示示相相關(guān)關(guān)元元零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. . 1.1.共線向量共線向量: :如果表示空間向量的如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合有向線段所在直線互相平行或重合, ,則這些則這些向量叫做共線向量向量叫做共線向量( (或平行向量或平行向量),),記作記作ba/ 2.2.共線向量定理共線向量定理: :對(duì)空間任意兩個(gè)向?qū)臻g任意兩個(gè)向量量 的充要條件是的充要條件是存在實(shí)數(shù)使存在實(shí)數(shù)使 ba / ), 0 ( , babba 三、課堂小結(jié)：三、課堂小結(jié)：3.3.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .4.4.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個(gè)向量如果兩個(gè)向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使使, a byx,Pxayb, a b P兩個(gè)推論兩個(gè)推論5、空間向量基本定理空間向量基本定理FEDCBA練習(xí)練習(xí):如圖如圖,已知空間四邊形已知空間四邊形ABCD,連接連接AC,BD, E,F分別是分別是BC,CD中點(diǎn)中點(diǎn).化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式,并標(biāo)并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量:(1);1(2