基本不等式知識(shí)點(diǎn)和基本題型

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)基本不等式專題輔導(dǎo)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、基本不等式原始形式（1）若rba,，則abba222（2）若rba,，則222baab2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,rba，則abba23、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若*,rba，則abba2（2）若*,rba，則22baab總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，它們的和有最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)取“ =”4、求最值的條件： “一正，二定，三相等”5、常用結(jié)論（1）若0 x，則12xx ( 當(dāng)且僅當(dāng)1x時(shí)取“ =” ）（2）若0 x，則12xx ( 當(dāng)且僅當(dāng)1x時(shí)取“

2、=” ）（3）若0ab，則2abba (當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)取“ =” ）（4）若rba,，則2)2(222babaab（5）若*,rba，則2211122babaabba特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)取“ =”6、柯西不等式（1）若, , ,a b c dr，則22222()()()abcdacbd（2）若123123,a aa b b br，則有：222222212311231 12233()()()aaabbba ba ba b（3）設(shè)1212,nna aabb與b是兩組實(shí)數(shù)，則有22212(naaa )22212)nbbb(21 122()nna ba ba b二、題型分析題型一：利

3、用基本不等式證明不等式1、設(shè)ba,均為正數(shù)，證明不等式:abba1122、已知cba,為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：cabcabcba2223、已知1abc，求證：22213abc4、已知, ,a b cr，且1abc，求證：abccba8)1)(1)(1(已知, ,a b cr，且1abc，求證：1111118abc6、選 修 45：不等式選講設(shè), ,a b c均為正數(shù) , 且1abc, 證明:( )13abbcca; ()2221abcbca. 7、選 修 45：不等式選講：已知0ba，求證 :baabba223322題型二：利用不等式求函數(shù)值域?qū)W習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)1、求下列函數(shù)的值域（1）22

4、213xxy（2）)4(xxy（3）)0(1xxxy（4）)0(1xxxy題型三：利用不等式求最值（一） （湊項(xiàng)）1、已知2x，求函數(shù)42442xxy的最小值；變式 1：已知2x，求函數(shù)4242xxy的最小值；變式 2：已知2x，求函數(shù)4242xxy的最大值；練習(xí)： 1、已知54x，求函數(shù)14245yxx的最小值；2、已知54x，求函數(shù)14245yxx的最大值；題型四：利用不等式求最值（二） （湊系數(shù)）1、當(dāng)時(shí)，求(82 )yxx的最大值；變式 1：當(dāng)時(shí)，求4 (82 )yxx的最大值；變式 2：設(shè)230 x，求函數(shù))23(4xxy的最大值。2、若02x，求yxx()63的最大值；變式 ：若4

5、0 x，求)28(xxy的最大值；3、求函數(shù))2521(2512xxxy的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）變式： 求函數(shù))41143(41134xxxy的最大值；題型五：巧用“1”的代換求最值問題1、已知12,0,baba，求tab11的最小值；法一：法二：變式 1：已知22,0,baba，求tab11的最小值；變式 2：已知28,0,1x yxy，求xy的最小值；變式 3：已知0, yx，且119xy，求xy的最小值。變式 4：已知0, yx，且194xy，求xy的最小值；變式 5： （1）若0, yx且12yx，求11xy的最小值；（ 2）若ryxba,且1ybxa，求yx的最小值；

6、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)變式 6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列na滿足：5672aaa，若存在兩項(xiàng)nmaa ,，使得14aaanm，求nm41的最小值；題型六：分離換元法求最值（了解）1、求函數(shù))1(11072xxxxy的值域；變式： 求函數(shù)) 1(182xxxy的值域；2、求函數(shù)522xxy的最大值；（提示：換元法）變式： 求函數(shù)941xxy的最大值；題型七：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知1loglog22ba，求ba93的最小值2、 （2009 天津）已知0,ba，求abba211的最小值；變式 1： （2010 四川）如果0ba，求關(guān)于ba,的表達(dá)式)(112baaaba的最小值；變式2： （2012 湖北

7、武漢診斷）已知，當(dāng)1,0 aa時(shí)，函數(shù)1)1(logxya的圖像恒過定點(diǎn)a，若點(diǎn)a在直線0nymx上，求nm24的最小值；3、已知0, yx，822xyyx，求yx2最小值；變式 1：已知0,ba，滿足3baab，求ab范圍；變式 2： （2010 山東） 已知0, yx，312121yx，求xy最大值；（提示：通分或三角換元）變式 3： （2011 浙江） 已知0, yx，122xyyx，求xy最大值；4、 （2013 年山東 （理） ）設(shè)正實(shí)數(shù)zyx,滿足04322zyxyx, 則當(dāng)zxy取得最大值時(shí) ,zyx212的最大值為 （ 1 ）（提示：代入換元, 利用基本不等式以及函數(shù)求最值）變

8、式： 設(shè)zyx,是正數(shù)，滿足032zyx，求xzy2的最小值；題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1、 （2012 沈陽檢測）已知0, yx，且9)1)(yaxyx恒成立，求正實(shí)數(shù)a的最小值；2、已知0zyx且zxnzyyx11恒成立，如果nn，求n的最大值；（參考： 4）（提示：分離參數(shù)，換元法）變式： 已知0,ba滿則241ba，若cba恒成立，求c的取值范圍；題型九：利用柯西不等式求最值學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)1、二維柯西不等式),(時(shí)等號(hào)成立；即當(dāng)且僅當(dāng)bcaddbcardcba若, , ,a b c dr，則22222()()()abcdacbd2、二維形式的柯西不等式的變式bdacdcba2

9、222)1(，),(時(shí)等號(hào)成立；即當(dāng)且僅當(dāng)bcaddbcardcbabdacdcba2222)2(),(時(shí)等號(hào)成立；即當(dāng)且僅當(dāng)bcaddbcardcba2)()()(3(bdacdcba，),0,(時(shí)等號(hào)成立；即當(dāng)且僅當(dāng)bcaddbcadcba3、二維形式的柯西不等式的向量形式，),0(等號(hào)成立時(shí)使或存在實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)kak4、三維柯西不等式若123123,a aab b br，則有：222222212311231 12233()()()aaabbba ba ba b),(332211時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)bababarbaii5、一般n維柯西不等式設(shè)1212,nna aabb與b是兩組實(shí)數(shù)，則有:

10、22212(naaa )22212)nbbb(21 122()nna ba ba b),(2211時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)nniibababarba題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè),x y zr，若2224xyz，則zyx22的最小值為時(shí)，),(zyx析：2)2(1)()22(2222222zyxzyx3694，zyx22最小值為6此時(shí)322)2(16221222zyx，32x，34y，34z2、設(shè),x y zr，226xyz，求222xyz的最小值m，并求此時(shí), ,x y z之值。ans：)34,32,34(),(;4zyxm3、設(shè),x y zr，332zyx，求222) 1(zyx之最小值為，此時(shí)y（析：0)1(32332zyxzyx）4、 （2013 年湖南卷（理） ）已知, ,236,a b cabc則22249abc的最小值