數列解題技巧歸納總結-打印

1、優(yōu)秀教案歡迎下載等差數列前n項和的最值問題：1、若等差數列na的首項10a，公差0d，則前n項和ns有最大值。（）若已知通項na，則ns最大100nnaa；（）若已知2nspnqn，則當n取最靠近2qp的非零自然數時ns最大；2、若等差數列na的首項10a，公差0d，則前n項和ns有最小值（）若已知通項na，則ns最小100nnaa；（）若已知2nspnqn，則當n取最靠近2qp的非零自然數時ns最??；數列通項的求法：公式法 ：等差數列通項公式；等比數列通項公式。已知ns（即12( )naaaf n）求na， 用作差法 ：11,(1),(2)nnnsnassn。已知12( )na aaf n求

2、na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。已知條件中既有ns還有na，有時先求ns，再求na；有時也可直接求na。若1( )nnaaf n求na用累加法 ：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。已知1( )nnaf na求na，用累乘法 ：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。已知遞推關系求na，用構造法 （構造等差、等比數列）。特別地 ， （1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列 后，再求na；形如1nnnakak的遞推數列都可以除以nk得到一個等差數列后

3、，再求na。（2）形如11nnnaakab的遞推數列都可以用倒數法求通項。（3）形如1knnaa的遞推數列都可以用對數法求通項。（7） （理科） 數學歸納法 。（8）當遇到qaadaannnn1111或時， 分奇數項偶數項討論，結果可能是分段優(yōu)秀教案歡迎下載一、典型題的技巧解法1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。(1) 遞推式為 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 為常數）例 1、已知 an 滿足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解an+1-an=2 為

4、常數an是首項為1，公差為2 的等差數列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知na滿足112nnaa，而12a，求na=？（2）遞推式為 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1， 2， （n-1 ） ，代入得（ n-1 ）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1）2434)1211(211nnnaan說明只要和f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2，（n-1 ）代入，可

5、得n-1 個等式累加而求an。(3) 遞推式為 an+1=pan+q（p，q 為常數）例 4、na中，11a，對于 n1（n n）有132nnaa，求na. 解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數列 an+1-an是公比為3 的等比數列，其首項為a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得 an+1-an是公比為3 的等比數列， 于是有：a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ，a

6、n-an-1=4 3n-2，把 n-1 個等式累加得：an=23n-1-1 (4) 遞推式為 an+1=p an+q n （p，q 為常數）優(yōu)秀教案歡迎下載)(3211nnnnbbbb由上題的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32 (5) 遞推式為21nnnapaqa思路：設21nnnapaqa, 可以變形為：211()nnnnaaaa，想于是 an+1- an是公比為 的等比數列，就轉化為前面的類型。求na。(6) 遞推式為 sn與 an的關系式關系；（2）試用 n表示 an。優(yōu)秀教案歡迎下載)2121()(1211nnnnnnaass11121nnnnaaannn

7、aa21211上式兩邊同乘以2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 則2nan 是公差為 2 的等差數列。2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 2數列求和問題的方法（1） 、應用公式法等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。13 5 (2n-1)=n2【例 8】求數列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 項的和。解本題實際是求各奇數的和，在數列的前n 項中，共有1+2+n=)1(21nn個奇數，最后一個奇數為：1+21n(n+1)-12=n2+n-1 因此所求數列的前n 項的和為（2）

8、 、分解轉化法對通項進行分解、組合, 轉化為等差數列或等比數列求和?！纠?9】求和 s=1 （n2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32） +n（n2-n2）解 s=n2（1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+n3）優(yōu)秀教案歡迎下載（3） 、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnsccnc例 10、解0120363nnnnnnscccnc sn=3n2n-1 （4） 、錯位相減法如果一個數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列

9、的公比，然后錯位相減求和例 11、求數列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 項的和解設 sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0時， sn=1(3) 當 x0 且 x1 時，在式兩邊同乘以x 得 xsn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5) 裂項法：把通項公式整理成兩項( 式多項 ) 差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn優(yōu)秀教案歡迎下載注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。在掌

10、握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在解決數列問題時的應用。二、常用數學思想方法1函數思想運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函數問題解決。【例 13】等差數列 an的首項 a10，前 n 項的和為sn，若 sl=sk（l k）問 n 為何值時sn最大？此函數以n 為自變量的二次函數。a10 sl=sk（l k）， d0 故此二次函數的圖像開口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】設等比數列 an前 n 項和為 sn，若 s3+s6=2s9，求數列的公比q。分析本題考查等比數列的基礎知識及推理能力。解依題意可知q1。如果 q=1，則 s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1。由此應推出a1=0 與等比數列不符。 q1 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q0 此題還可以作如下思考：s6=s3+q3s3=（1+q3）s3。s9=s3+q3s6=s3（1+q3+q6），由 s3+s6=2s9可得