產(chǎn)品的銷量預測

1、B題：產(chǎn)品銷量預測設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場, t時刻的銷量為由于產(chǎn)品性能良好, 每個產(chǎn)品都是一個宣傳品, 因此, t時刻產(chǎn)品銷量與t有關(guān)。1， 設(shè)t時刻產(chǎn)品銷量的增長率與成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；2， 設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N, 統(tǒng)計表明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；3， 試考慮影響產(chǎn)品銷量的其他因素，并建立模型，預測時的產(chǎn)品銷量.摘要在經(jīng)濟學與管理學領(lǐng)域里，人們經(jīng)常遇到涉及有關(guān)經(jīng)濟量的變化，如增長、速率、邊際分析等，通常是根據(jù)動態(tài)平衡法，遵循凈變化率=輸入率-輸出率的規(guī)則，建立起諸經(jīng)濟量之間的相應(yīng)的微分方程模型，用以描述并解釋各個經(jīng)濟量之間的變化規(guī)律，從而做出正

2、確的決策及預測分析。本文首先針對問題一和問題二，建立了簡單的數(shù)學模型。例如問題二中的模型實際上就是著名的邏輯斯蒂(logistic)模型,它在人口、蟲口模型中應(yīng)用廣泛，并且也被用來預測經(jīng)濟學中一些產(chǎn)品銷量等問題，著名的生物增長S型曲線就是通過此模型得到的。文章給出了邏輯斯蒂模型，并解釋了它在產(chǎn)品銷量問題中的應(yīng)用，分析了邏輯斯蒂方程的一些簡單性質(zhì)。針對問題三我們有三種種思路，第一：考慮到在現(xiàn)實中，影響產(chǎn)品銷量的因素有很多，此時問題二中的模型就顯得太過簡單，文章加入了其他的現(xiàn)實因素，比如價格，產(chǎn)品壽命損耗等因素，改進了原來的模型，并簡要分析說明了模型的優(yōu)越性。第二：運用線性回歸的知識建立數(shù)學模型。

3、第三：因為線性回歸方程中汽車銷量需要知道影響因素的一些數(shù)據(jù)，但我們卻并不知道，所以通過線性回歸得到的方程還不夠。這里還有許多其他不確定因素所以我們采用方法二灰色預測的方法來預測汽車銷量。關(guān)鍵詞：邏輯斯蒂模型，改進的模型，線性回歸，灰色預測一、 問題重述B題：產(chǎn)品銷量預測設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場, t時刻的銷量為由于產(chǎn)品性能良好, 每個產(chǎn)品都是一個宣傳品, 因此, t時刻產(chǎn)品銷量與t有關(guān)。1， 設(shè)t時刻產(chǎn)品銷量的增長率與成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；2， 設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N, 統(tǒng)計表明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；3， 試考慮影響產(chǎn)品銷量的其他因素，并建立模型，預

4、測時的產(chǎn)品銷量.一、 基本假設(shè)1、 假設(shè)所考慮因素為全部主要影響因素；2、 假設(shè)數(shù)據(jù)具有真實性；3、 假設(shè)未來幾年里影響因素不會發(fā)生太大的變化；4、 假設(shè)建立模型所需要的初步預測具有可行性。二、 符號的約定xt表示t時刻的銷售量；xt0表示t0時刻的銷售量；N 產(chǎn)品銷售的市場容量;dxdt表示t時刻產(chǎn)品銷量的增長率；三、 問題的分析 此問題是在目前社會經(jīng)濟日益發(fā)展迅速，人們越來越重視經(jīng)濟發(fā)展的情況下提出來的。對于產(chǎn)品的銷售人們也使用越來越注重視其方法以促進產(chǎn)品的銷售。本文根據(jù)問題一：設(shè)t時刻產(chǎn)品銷量的增長率與成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；以及問題二：設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N, 統(tǒng)計表

5、明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；利用所給關(guān)系，通過建立微分方程來求解。針對問題三：試考慮影響產(chǎn)品銷量的其他因素，并建立模型，預測時的產(chǎn)品銷量。對于問題三本文我們以汽車銷售為例。由于影響汽車銷量的因素很多，比如國家政策導向、油價的浮動、汽車壽命、城市交通狀況、GDP水平等等，因此針對如此之多的不確定因素，我們很難分別量化的給出各種因素對產(chǎn)品銷量的影響，鑒于此文章采用灰色預測的方法來預測汽車的銷量，具體分析在下文給出。四、 模型的建立與求解5.1模型一的建立與求解：5.1.1模型一的建立：針對問題一：設(shè)t時刻產(chǎn)品銷量的增長率與成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；建立微分方程如下： (5.1

6、)5.1.2模型一的求解：對（5.1）進行分離變量法，然后積分；求解得： （5.2）所以時刻的銷售量為： （5.3）5.2模型二的建立與求解： 5.2.1模型二的建立：針對問題二：設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N, 統(tǒng)計表明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比, 預測時的產(chǎn)品銷量；建立微分方程如下： （5.4）5.2.2模型二的求解：對于式（5.4）進行分離變量法得到，然后積分，可以得到解為： （5.5）式（5.4）恰好是logistic模型。由式（5.5）很容易得知： (5.6) (5.7)5.2.3模型的分析：從該模型的結(jié)果可以得出結(jié)論：1、 當時，銷售量單調(diào)遞增；2、 當時，此時為拐點；3、 當

7、時，此時增長速率遞減；4、 當時，此時增長速率遞增。這說明當銷售量達到市場最大需求量N的一半時，產(chǎn)品為暢銷時期，當銷售量不足最大需求一半的時候銷售速度不斷增加；而當銷量超過最大需求N的一半之后時，銷量速度開始下降，此時商家應(yīng)該考慮研究開發(fā)新產(chǎn)品或適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，以求不斷達到市場的占有率，提高經(jīng)濟效益。研究與調(diào)查發(fā)現(xiàn)表明：許多產(chǎn)品的銷售曲線都與logistic曲線十分相似，許多分析專家認為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)該采取小批量生產(chǎn)，并且加強廣告宣傳，而在用戶達到20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)該大批量產(chǎn)，在用戶超過80%之后應(yīng)該轉(zhuǎn)產(chǎn)。5.3模型三的建立與求解：本文我們以汽車銷售為例。方法一：首先講一個故事：一

8、則營銷經(jīng)典案例，是關(guān)于牙膏企業(yè)如何擺脫困境、擴大銷售業(yè)績的。一牙企對近幾年的公司業(yè)績感到不滿，便召開全國經(jīng)理級高層會議，以商討對策。會議中，有名年輕經(jīng)理站起來，對董事部說：“我手中有張紙，紙里有建議，若您要使用我的建議，必須付我5萬元！” “好！”總裁接過那張紙，閱完后，馬上簽了一張5萬元支票給那名年輕經(jīng)理。那張紙上只寫了一句話：將現(xiàn)有的牙膏開口擴大一毫米。這個決定，使該公司當年的營業(yè)額增加了32%。在現(xiàn)實中有許多其他影響產(chǎn)品銷量的因素，除去問題二中所提到的潛在客戶的影響，還有其他許多的影響，上面故事就是一個認為干預的一個因素。例如對于羽絨服的銷量問題，它的銷量會受到天氣的變化影響，如果某個冬

9、天異常的冷，那么羽絨服銷量一定會增多，而這個冬天很暖和的話銷量一定會減少，另外羽絨服的壽命也是影響銷量的一個因素。又例如打火機的銷量，它的銷量一會與抽煙人群數(shù)量的大小有關(guān)，與科技發(fā)展有關(guān)，因為如果不出現(xiàn)煤氣灶、電飯鍋等，人們將會更多的燒火；它也與天氣有關(guān)，眾所周知，天氣炎熱時打火機容易被燒爆，這樣就會增加打火機的銷量。還有許多其他的例子，在這里不在繁舉。使用邏輯斯蒂模型對于描述產(chǎn)品增長還是過于簡單，如實際中還要考慮到產(chǎn)品的使用壽命的問題，例如最典型的燈泡，使用壽命越短，就需要更多的產(chǎn)品用于更新，以補償損耗掉的產(chǎn)品，達到市場平衡，計入這一因素，我們將對邏輯斯蒂模型進行改進得到其中代表產(chǎn)品自身的損

10、耗，表示產(chǎn)品的平均使用壽命。計入使用壽命，飽和產(chǎn)量或者說是最大銷量就不是了，由上式，令得到此時的最大銷售量為與問題二中方法相似，我們可以得到他的解，首先,分離變量得到左右積分得到整理得到其中為一常數(shù)。1. 當時，的值為2. 由于，所以產(chǎn)量是遞增的，即是增函數(shù)。3. 當較大而較小時，將很大，于是，于是，近似于指數(shù)增大，銷售速度不斷增大。4. 當變大后，趨向于0，而分母趨向于1，此時銷售速度開始下降，的值接近市場飽和值方法二：線性回歸04到10年汽車銷售量年份2004200520062007200820092010汽車銷量50757672287993813641806增長率16%14%25%22%

11、7%46%32.40%04到10年汽車銷售趨勢圖 從圖中可以看出來汽車銷售量隨著時間不斷的增加。2008年增長率變小時由于經(jīng)濟危機的影響。紅色曲線表示4次多項式擬合 藍色表示N次多項式擬合N此多項式擬合結(jié)果General model Fourier1: f(x) = a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 = 2088 (-1.077e+004, 1.494e+004) a1 = -1436 (-1.483e+004, 1.196e+004) b1 = -565.3 (-1997,

12、866.2) w = 0.2461 (-1.06, 1.552)Goodness of fit: SSE: 3.525e+004 R-square: 0.9728 Adjusted R-square: 0.9455 RMSE: 108.44次多項式擬合Linear model Poly4: f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 1.11 (-14.21, 16.43) p2 = -9.563 (-255.7, 236.5) p3 = 34.13 (-1317

13、, 1385) p4 = 47.73 (-2862, 2957) p5 = 426.6 (-1548, 2401)根據(jù) Matlab四次多形式擬合模型得油價隨時間的回歸方程為：f(x) = 1.11*x4-9.563*x3 + 34.13*x2 + 47.73*x + 426.6根據(jù)此公式，當知道預測時間時，帶入公式便可求得此時間段的汽車銷量。此結(jié)果的分析及驗證：根據(jù) Matlab四次多形式擬合模型得汽車銷量隨時間的回歸方程為的參數(shù)指標如下Goodness of fit: SSE: 1.147e+004 R-square: 0.9911 Adjusted R-square: 0.9734 RM

14、SE: 75.74據(jù)以上分析此模型擬合度符合要求，此模型合理并能很好的進行汽車銷量的預測。方法三：利用灰色預測法預測汽車銷量1.選取的數(shù)據(jù)時從04年至10年的汽車銷量,時間序列初始值為：設(shè)原始數(shù)為=507,577,722,879,934,1364,18072.生成累加序列把數(shù)列各項（時刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程。令稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列的1次累加生成數(shù)列。代入數(shù)據(jù)有=507,1084,1806,2685,3619,4983,66903.計算級比定義級比為：=0.477 =0.596 =0.670=0.740=0.725=0.744如果所有的級比都落在可容覆蓋區(qū)間內(nèi)，則數(shù)據(jù)列可以建立

15、GM(1,1)模型且可以進行灰色預測。建立GM（1.1）模型解為5.3.2模型三的求解：a和u可以通過如下最小二乘法擬合得到式中，Y為列向量Yx(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(7)T；Y=557,722,879,934,1364,1807TB為構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣：B=通過matlab計算得出a=-0.2376u=355.4599得到預測式子.1式=2073-1496在利用累減=通過計算得到以下數(shù)據(jù)=577=1132 由模型的得到的05年汽車銷量為=555=1838 由模型的得到的06年汽車銷量為=706=2732 由模型的得到的07年汽車銷量為=894=3866 由模型的得到的08年汽車銷量

16、為=1132=5305 由模型的得到的09年汽車銷量為=1439=7128 由模型的得到的10年汽車銷量為=1823=9441 由模型的預測的11年汽車銷量為=2313由于沒有找到11年全年的汽車銷量所以11年的作為一個預測值=12375 由模型的預測的12年汽車銷量為=2934=16095 由模型的得到的13年汽車銷量為=3720=20813 由模型的得到的14年汽車銷量為=4718=26796 由模型的得到的15年汽車銷量為=5983六、模型檢驗?zāi)Ｐ?.3.1的檢驗：(1) 殘差檢驗：計算相對殘差通過計算得：=0, 0.038, 0.022, -0.017 , -0.212, -0.055

17、, -0.009如果對所有的，則認為達到較高的要求；否則，若對所有的，則認為達到一般要求?？梢钥吹匠?8年的數(shù)據(jù)外其余的都還算理想，由于08年出現(xiàn)金融危機，對汽車的銷售有一定的影響，所以出現(xiàn)了誤差較大的情況七、模型評價通過對該模型的檢驗，該模型能基本描述汽車市場的銷量。不過該模型并未考慮經(jīng)濟市場的因素，尤其是類似08年金融危機那樣的因素，所以也只能作為一個理想的模型考慮。還有汽車是屬于使用時間比較長的商品，隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展，汽車的保有量會趨向與一個較為穩(wěn)定的數(shù)值。類似于人口增長模型。汽車的年銷售量也不可能無限之上升，所以該模型也只適用于短時間內(nèi)的預測。八、參考文獻1. 高等出版社 數(shù)學模型（第三版） 姜啟源 謝金星 葉俊 編2. 哈爾濱工業(yè)大學出版社 數(shù)學建模 么煥民 孫秀梅 孟凡友 編著3. 灰色模型講義附錄矩陣計算程序>> B=-785.5 1;-1425 1;-2025.5 1;-3132 1;-4281 1;