2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)刷題專練解答題真題分類匯編全集文

1、解答題(一)17. (2019 安徽皖南八校第三次聯(lián)考 )黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小 康社會(huì)必須打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.為堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村 脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式， 現(xiàn)對(duì)兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間80,100的為優(yōu)等品；指標(biāo)在區(qū)間60,80)的為合格品，現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn) 品中，各自隨機(jī)抽取 100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下：甲種生產(chǎn)方式:指標(biāo)區(qū)間65,70)70,75)75,80)80,85)85,90)90

2、,95頻數(shù)51520301515乙種生產(chǎn)方式:指標(biāo)區(qū)間70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100頻數(shù)51520302010(1)在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中，按合格品與優(yōu)等品采用分層抽樣方式，隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品，求這5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品和合格品各有多少件；再?gòu)倪@5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽出 2件,求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率；(2)所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品，若是優(yōu)等品每件可售55元，若是合格品每件可售 25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計(jì)總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下，該扶貧單位應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該 扶貧村

3、脫貧？解(1)由頻數(shù)分布表知：甲的優(yōu)等品率為0.6 ,合格品率為0.4,所以抽出的5件產(chǎn)品中，優(yōu)等品有3件，合格品有2件.記3件優(yōu)等品分別為 A, B, C,2件合格品分別為a, b,從中隨機(jī)抽取2件，抽取方式有AB AC Aa, Ab, BG Ba, Bb, Ca Cb, ab共10種，設(shè)“這 2件中恰有1件是優(yōu)等品”63為事件M則事件M發(fā)生的情況有6種，所以PM)=-.10 5(2)根據(jù)樣本知甲種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有60件優(yōu)等品，40件合格品；乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)100件農(nóng)產(chǎn)品有80件優(yōu)等品，20件合格品.設(shè)甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn) 100件所獲得的利潤(rùn)為 T1元，乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn) 100

4、件所獲得 的禾 I潤(rùn)為 T2 元，可得 T1 = 60X(55- 15)+40X(25 15) = 2800(元)，T2 = 80X(55 - 20) + 20X(25 20) =2900(元),由于T1VT2,所以用樣本估計(jì)總體知乙種生產(chǎn)方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)較高，故 該扶貧單位應(yīng)選擇乙種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村脫貧.18 .已知等差數(shù)列an的公差d>0,其前n項(xiàng)和為且S5 = 20, a3, as, 8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;1(2)令tn = -+n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. an * an+1解 (1)因?yàn)?amp;=5 ai + as20,所以 a + a

5、5=8,-23 -所以a3=4,即a-2d=4,2因?yàn)閍3, as, a8成等比數(shù)列，所以 as = a3a8,所以(a + 4d) 2= (a+2d)( a1+7d),化簡(jiǎn)，得a12d,聯(lián)立和，得a1=2, d=1,所以 an= n+ 1.1111(2)因?yàn)?bn = o +n=nn7 + n= nT7-nZ2 +n，1 1111 111所以 Tn= 2 3+1+ 34+2 + 4 5+3+ ，存 +n11n+1n+2+ (1 +2+3+ n)11 n n+1n n n + 12-n+ 2 +2=2n+2 + T n3+ 3n2+ 3n2 n+219 . (2019 廣東梅州總復(fù)習(xí)質(zhì)檢 )如

6、圖，在矩形 ABC珅，AD= 2AB= 2,點(diǎn)E是AD的中 點(diǎn)，將 DEC& CE折起到 D EC的位置，使二面角 D' EC- B是直二面角.(1)證明：BE! CD ;(2)求點(diǎn)E到平面BCD的距離.解 證明：AA 2AB= 2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn), BAE CDE等腰直角三角形，Z BE仔 90 ,即 BE± EC又平面D，ECL平面BEC平面D' ES平面BEC= EC BE?平面BECBE!平面 D' EC CD ?平面 D EC . . BE! CD .(2)由已知及(1)得，BE!平面D' EC BE= 乖，VBa ec= -BE-

7、 Sad- e(3= -x 2/2 x -x 1 x 1 = 332ED' ?平面 D' EC BEX ED , ED = 1,. BD = 正 在ABD C中，BD ="，CD=1, BC= 2.BC= (BD )2+(CD )2,BD C= 90 .13Sabd C= BDCD ="2".設(shè)點(diǎn)E到平面BCD的距離為d.貝 U VB D EC= VE BCD = d Sa BCD3,1x 近d= 步 d=m,3X 2 d 6，倚 d 3 .所以點(diǎn)E到平面BCD的距離為當(dāng).20 . (2019 安徽江淮十校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x 1卜，g

8、(x) = (ln x)2-2aln x1 x+ a.3(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若存在xi 0,1,使得對(duì)任意的X2C1 , e2 , f (xi) >g(x»成立，求實(shí)數(shù) a的取值 范圍.八,1一一一一，解 (1) f ( x) = 1 H式x2>0,又 xw 1,故 f(x)在(00, 1)為增函數(shù)，在 (-1, +°° )也為增函數(shù)., 一，, 一一一1(2)由(1)可知，當(dāng)x 0,1時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)max= f (1) =2，由題意可知 g(x) =21120,2，(ln x) 2aln x + /w2對(duì)任意的 x C

9、0,2恒成立.令 t = ln x,則當(dāng) xC1,e時(shí)，t令h(t) = t2-2at + 1a-1,問題轉(zhuǎn)化為h(t)wo對(duì)任意的t C 0,2恒成立，由拋物線 h(t)的 32開口向上，知h 0<0,h 2<0,a < 03a 24- 4a+；a-0,3221 3藥2 .213解得22 aw 2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是21 . (2019 安徽蚌埠第三次質(zhì)檢 )已知點(diǎn)E( 2,0) , F(2,0) , Rx, y)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，一 ， 一， , 1P可以與點(diǎn)E, F重合.當(dāng)P不與E, F重合時(shí)，直線 PE與PF的斜率之積為-. 4(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；22 ) 一個(gè)

10、矩形的四條邊與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡均相切，求該矩形面積的取值范圍.1解 (1)當(dāng)P與點(diǎn)E, F不重合時(shí)，kPE- kPF=y y 1x22得方口=4,即N+y=1(yw0)，當(dāng)P與點(diǎn)E, F重合時(shí)，P( 2,0)或P(2,0).2綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為4+y2=1.(2)記矩形面積為S,當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知S= 8.當(dāng)矩形各邊均不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為y=kx+E則其對(duì)邊方程為y= kxe另一邊所在直線方程為y= ：x+n,則其對(duì)邊方程為y = gxn,x2+ 4y2= 4, 聯(lián)立kky= kx+ mj得(1 +4k2)x2+8km肝4(M1)=0,則 A =

11、 0,即 4k2+ 1 = m2.|2 m矩形的一邊長(zhǎng)為di =2 m ,同理,t/kn矩形的另一邊長(zhǎng)為x = i +1 cos e,22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為y = y3 + tsin 00 ,).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓兀p = 8sin 9 +.(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，求圓C的圓心的直角坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)R1 ,小)，若直線l與圓C交于A, B兩點(diǎn)，求證：| PA 該定值.解 (1)圓C的極坐標(biāo)方程為p =4寸3sin 0 +4cos 0 ,又 p 2= x2+ y2, x= p cos 0 , y= p sin 0 ,則圓 C: x

12、2+y24x 4>/3y = 0,圓心坐標(biāo)為C(2 , 2g3).(t為參數(shù))，e CC的極坐標(biāo)方程為I PB為定值，并求出(2)證明：將x= i + tcos e ,y= 3+ tsin 0代入圓 C: x2+y24x 4my=0,得t2-(2 /3sin 0 +2cos 0 )t -12=0,設(shè)點(diǎn)A, B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,則t1t2= 12, |PA - I PB=|t1t2| =12.23. (2019 四川廣安、眉山畢業(yè)班第一次診斷性考試)已知不等式|2x+1| + |x- 1|<3的解集為M求M,、 m- n(2)右 m nC M 求證：mnr 1 <

13、1.一 11解 (1)當(dāng)x<2時(shí)，不等式即為2x-1-x+1<3,解得1<x< 2；1當(dāng)一Wxwi時(shí)，不等式即為 2x+1 x+1<3,解得2< x<1;當(dāng)x>1時(shí)，不等式即為 2x+ 1+x-1<3,此時(shí)無解.綜上可知，不等式的解集M= x| -1<x<1.(2)證明：m n ( - 1,1),欲證 m1- n <1,mnr 1需證 | m- n|<| mnr 1| ,即證(m- n) 15S= acsin B= ac = j15, a ac= 8. 8<( mnr 1)2,即 m2+n2 2mn<m2

14、n22mn 1,即證(m21)( n2- 1)>0 ,因?yàn)?my nC ( 1,1),所以(m1)( n 1)>0顯然成立.m- n所以< <1成立.mnr 1解答題(二)- 一一，,2c2A17.在ABC43,角A,B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,面積為S,已知2acos2+2ccos 2：求證：2(a+c)=3b；1(2)若 cosB= 4, S= V15,求 b.5.解 (1)證明：由已知得，a(1 +cosQ + c(1 + cos A) = 2b.3由余弦定理可得a+c=2b,即2(a+c)=3b.115(2) . cosB= 4( BC (0 ,兀),s

15、in B= 4.又 b2= a2 + c2 2accosB= ( a+ c)22ac(1 + cos B),2( a+ c) = 3b,b2=9b216X1+4 .b= 4.18. (2019 河北唐山一模)如圖，在 ABC中，AB= BC= 4, Z ABC= 90° , E, F分別為AB, AC邊的中點(diǎn)，以 EF為折痕把 AEF折起，使點(diǎn) A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB= BE(1)證明：BCL平面PBE(2)求點(diǎn)F到平面PEC勺距離.解(1)證明：因?yàn)镋, F分別為AB, AC邊的中點(diǎn)，所以 EF/ BC因?yàn)? ABC= 90。，所以EFL BE, EF± PE,又因?yàn)?

16、BEA PE= E,所以EFL平面PBE所以BCL平面PBE(2)如圖，取BE的中點(diǎn)Q連接PQ由(1)知BCL平面PBEBC?平面 BCFE所以平面 PBEL平面BCFE因?yàn)镻B= BE= PE所以POL BE,又因?yàn)镻O?平面PBE平面PBm平面BCFE= BE,所以POL平面BCFE,在 Rt POO, PC= .PO+ OC = 2g 在 RtAEBC, EC= EB+BC2 = 2g在 PEO43, PC= EC= 2而 PE= 2,所以 S»A PEC= 19 ,又Sxeci= 2,設(shè)點(diǎn)F到平面PEC勺 距離為d,由VFPEC= Vp- ECF 得 JSa PEC，d =

17、SL ECF , PO即和xd=2xq§,所以 d=2H7即點(diǎn)F到平面PEC勺距離為2 ,',571919. (2019 黑龍江哈爾濱六中第二次模擬)某大型商場(chǎng)去年國(guó)慶期間累計(jì)生成2萬張購(gòu)物單，從中隨機(jī)抽出100張，對(duì)每單消費(fèi)金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到下表：消費(fèi)金額(單位：元)0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000購(gòu)物單張數(shù)252530?由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)已無法辨識(shí)，但當(dāng)時(shí)記錄表明，根據(jù)由以上數(shù)據(jù)繪制成 的頻率分布直方圖所估計(jì)出的每單消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等.用頻率估計(jì)概率， 完成下列問題：(1)估計(jì)去年國(guó)慶期間該商場(chǎng)累計(jì)生成的貝

18、物單中，單筆消費(fèi)金額超過800元的概率；(2)為鼓勵(lì)顧客消費(fèi)，該商場(chǎng)打算在今年國(guó)慶期間進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡單筆消費(fèi)超過600元者，可抽獎(jiǎng)一次，中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的顧客可以分別獲得價(jià)值500元、200元、100元的獎(jiǎng)品.已知中獎(jiǎng)率為 100%且一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率依次構(gòu)成等比數(shù)列，其，一，1中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為二r.若今年國(guó)慶期間該商場(chǎng)的購(gòu)物單數(shù)量比去年同期增長(zhǎng)5%,預(yù)測(cè)商場(chǎng)今年國(guó)慶期間采購(gòu)獎(jiǎng)品的開銷.解(1)因消費(fèi)金額在區(qū)間0,400的頻率為0.5 ,故中位數(shù)估計(jì)值即為400.設(shè)所求概率為p,而消費(fèi)金額在(0,600的概率為0.8,故消費(fèi)金額在區(qū)間(600,800內(nèi)的 概率為0.2

19、p.因此消費(fèi)金額的平均數(shù)可估計(jì)為100X 0.25+300X0.25+500X0.3 +700X(0.2 p) +900 x p.令其與中位數(shù)400相等，解得p=0.05.12(2)設(shè)等比數(shù)列公比為 q(q>0),根據(jù)題意211+21+21=1,即q2+q 20=0,解得q=4.,1416故一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率分別為21，21，16.今年的購(gòu)物單總數(shù)約為20000X 1.05 = 21000.其中具有抽獎(jiǎng)資格的單數(shù)為21000X (0.15 + 0.05) = 4200,故一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)單數(shù)可估計(jì)為200,800,3200.于是，采購(gòu)獎(jiǎng)品的開銷可估計(jì)為200X 50

20、0+800X200+ 3200X 100= 580000(元).20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)R1,0)，直線l : x= 1,動(dòng)直線l '垂直l于點(diǎn)H,線段HF的垂直平分線交l '于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C(1)求曲線C的方程;(2)以曲線C上的點(diǎn)Qx0, y0)( y0>0)為切點(diǎn)作曲線 C的切線l1,設(shè)l 1分別與x軸、y軸交于A, B兩點(diǎn)，且l1恰與以定點(diǎn)M( a, 0)( a>2)為圓心的圓相切，當(dāng)圓 M的面積最小時(shí)，求 ABF 與/ QAMM積的比.解由題意得| PH = | PF ,點(diǎn)P到直線l: x=1的距離等于它到定點(diǎn) F(1,0)的距離，點(diǎn)P的軌

21、跡是以l為準(zhǔn) 線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線，點(diǎn)P的軌跡C的方程為yy0 *2即 y- y0= y x-,整理得 4x2yoy+y0= 0.= 4x.(2)解法一：由 y2 = 4x,當(dāng) y>0 時(shí)，y = 2x,V'=十， x以Q為切點(diǎn)的切線l1的斜率為k=3,x。，以Qxq, yo)( y0>0)為切點(diǎn)的切線方程為 y-y0=-jL(x-x0),令 x= 0,則 y=y20,B 0,令 y= 0,則 x= 一2y0x0,. .A x0,0),一 x°, ,-丫0+ 4a x/y0+ 4 2a 2f,y0 =點(diǎn) M(a,0)到切線11的距離 d = 2, 2二 =2十 ,

22、 2+4口2.21(當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a2,2 40二2)時(shí)，滿足題意的圓 M的面積最小.此時(shí) A(2 a, 0) , B(0 ,北2).11Saabf= 2|1 -(2 -a)| /a2| =2(a-1)fa2,Sa aqm= 2| a (2 a)|2 Vo-2| =2(a1) Va2.Sk ABF 1.一 、.-=下，.ABF與QAMT 積之比為 1 ： 4.SLAQM 4解法二：由題意知切線11的斜率必然存在，設(shè)為 k,則 11： y-yo= k(x-xo).y-yo= k x-xo ,1 2由 2_4得 y_y0= k 彳丫 一X0 ,即 y2.y+ky。-y0= 0由 A=0

23、,得 k =,y。2- 11： 4x 2y°y+ yo= 0.以下解答同解法一.21 . (2019 河北中原名校聯(lián)盟聯(lián)考 )已知函數(shù)f(x) =eX-x-a(a F).(1)當(dāng) a=。時(shí)，求證：f(x)>x;(2)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解 (1)證明：當(dāng) a=。時(shí)，f (x) = ex x,令 g(x) = f (x) -x = ex-x-x= ex2x,貝Ug' ( x) = ex-2,當(dāng) g' (x) = 0 時(shí)，x= In 2 ;當(dāng) xvln 2 時(shí)，g' (x)<0,x> In 2 時(shí)，g' (x) > 0,所以

24、g(x)在(一8, in 2)上單調(diào)遞減，在(1n 2, +°o)上單調(diào)遞增，所以x=ln 2是g(x) 的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即g(x)min=g(ln 2) =en 2 2ln 2 = 2ln |>0,故當(dāng)a=0時(shí)，f (x) >x 成立.(2) f ' (x) =ex-1,由 f' (x) = 0 得 x= 0,當(dāng) xv。時(shí)，f ' (x) v 0;當(dāng) x>0 時(shí)，f' (x)>0,所以f(x)在(8, 0)上單調(diào)遞減，在(0, +8)上單調(diào)遞增，所以 x=0是函數(shù)f(x)的 極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即 f(x)min

25、=f (0) = 1 a.當(dāng) 1 a>0,即 a<1 時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng) 1 a=0,即 a=1 時(shí)，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng) 1 a<0,即 a>1 時(shí)，因?yàn)?f( - a) =e a-( - a) -a=e a>0,所 以f(x)在(一a, 0)上只有一個(gè)零點(diǎn).由(1),得ex>2x,令*=2,則得ea>2a,所以f(a) = ea aa= ea-2a>0,于是f (x)在(0 , a)上有一個(gè)零點(diǎn).因此，當(dāng) a>1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)a<1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a=1時(shí)，f (x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>1

26、時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).x=y3+2t,(t為參數(shù)).直22 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方程為y=線l與x軸交于點(diǎn)A以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線 l ' : 0 =-6( p >0),直線l與射線l '交于點(diǎn)B(1)求B點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P是橢圓C: x2+l=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PAB面積的最大值及面積最大時(shí)點(diǎn)P3的直角坐標(biāo).解(1)l： y=/3(x-3) =3x-3,則l的極坐標(biāo)方程為p sin 9 =43 P cos 93.7t6 .兀.令9 =/得P =3,，B點(diǎn)的極坐標(biāo)為3(2) iab = |OA=V3,，S=亨

27、設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(cos a , q3sin a ),l ：弧y3 = 0.| 3cos a J3sin a 3| 虛|(cosa sin a ) 一 3|2 cos兀+ -=兀+ 2k 兀(4kCZ)時(shí),Smax=3:3+3:243兀 止匕時(shí) cos a = cos 4P點(diǎn)坐標(biāo)為23.設(shè)函數(shù) f(x) = |2x 4|+|x+1|.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若直線y=a與曲線y = f(x)圍成的封閉區(qū)域的面積為9,求a的值.解 當(dāng) x>2 時(shí)，f(x) = 3x-3>3;當(dāng)1<x<2 時(shí)，f(x)=5 x (3,6)； 當(dāng) x<- 1 時(shí)，f(x) =

28、3 3x>6, ' f ( X)min = 3.3x-3, x>2,(2) f (x) = 5-x, 1<x<2,3 3x, x w 1,f (x)的圖象如圖所示：,_ ,1y=6 與 y=f (x)圍成的三角形面積為S= 2x 3 ( 1)(6 3)=6<9,a>6.故y=f(x), y = 6, y= a圍成的梯形面積為 3.人a + 3令 f (x) = 3x 3= a? xi = -t;3人3 _ a令 f(x) = 33x=a? x2=,3故梯形面積為4 4+ a： 3-3 a (a6)=3, 233a= 3/5.解答題(三)17.已知 a

29、1=2, a2= 4 ,數(shù)列bl滿足：bn+1 = 2bn+2 且 an+1 an= bn.(1)求證:數(shù)列bn+ 2是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解(1)證明：由題知,bn+1 + 2bn+22bn+ 2+2bn+2bi= a2 ai= 4 2=2, ，bi + 2 = 4,.數(shù)列bn+2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)可得，bn + 2 = 4 2 nT,故 bn=2n+1-2.an+ 1 an= bn ,a2 ai= bi,a3 a2= b2,a4 a3= b3,an an-1 = bn 1.累加彳導(dǎo),ana1= b1+b2+b3+ bn 1( n>2),

30、 an= 2+(222) +(232) +(24 2)+ + (2n-2)n2 1 -21 22(n1) =2n+1-2n,故 an=2n+1-2n(n>2). a1= 2=21+1-2X 1,，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2n1_2n( nC N).18. (2019 安徽江淮十校 5月考前最后一卷)如圖，已知三棱柱 ABG A B' C'的底面ABC是等邊三角形，側(cè)面 AA C C,底面ABC D是棱BB的中點(diǎn).求證：平面 DA C,平面ACC A ;(2)求平面DA C將該三棱柱分成上、下兩部分的體積比.解 證明：如圖，取 AG A C的中點(diǎn)Q F,連接OF與A&

31、#39; C交于點(diǎn)E,連接DROB B' F,則E為OF的中點(diǎn)，OF AA / BB ,且 OF= AA = BB ,所以 BB FO是平行四 邊形.又D是棱BB的中點(diǎn)，所以 DE/ OB側(cè)面AA C C，平面ABC且OBL AC所以O(shè)BL平面ACC A',則DEL平面 ACC A', 又DE?平面DA C,所以平面 DA C，平面 ACC A'.(2)連接A' B,設(shè)三棱柱 ABC- A' B' C'的體積為 V故四棱錐 A - BCC B'的體積 Vvbcc b =V-：V= 2V,又D是棱BB的中點(diǎn)， BCD勺 33

32、面積是BCC B'面積的故四棱錐 A - B' C CD勺體積Va - 0 c cd= :Vv-bcc b- =-x -V= V, 444 32故平面DA C將該三棱柱分成上、下兩部分的體積比為1 ： 1.19. (2019 江西南昌第一次模擬 )市面上有某品牌 A型和B型兩種節(jié)能燈，假定 A型節(jié) 能燈使用壽命都超過 5000小時(shí)，經(jīng)銷商對(duì) B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下頻 率分布直方圖：某商家因原店面需要重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5支(同種型號(hào))即可正常營(yíng)業(yè).經(jīng)了解，A型20瓦和B型55瓦的兩種節(jié)能燈 照明效果相當(dāng)，都

33、適合安裝.已知 A型和B型節(jié)能燈每支的價(jià)格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價(jià)為0.75元/千瓦時(shí).假定該店面一年周轉(zhuǎn)期的照明時(shí)間為3600小時(shí)，若正常營(yíng)業(yè)期間燈壞了立即購(gòu)買同型燈管更換(用頻率估計(jì)概率).(1)根據(jù)頻率直方圖估算B型節(jié)能燈的平均使用壽命；(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)知，若一支燈管一年內(nèi)需要更換的概率為p,那么n支燈管估計(jì)需要更換np支.若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，試估計(jì)一年內(nèi)需更換的支數(shù)；(3)若只考慮燈的成本和消耗電費(fèi)，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號(hào)的節(jié)能燈，請(qǐng)說明理由.解 (1)由圖可知，各組中值依次為3100,3300,3500,3700 ,對(duì)應(yīng)的頻率依次為 0.1,030.

34、4,0.2，故 B 型節(jié)能燈的平均使用壽命為3100X 0.1 +3300X 0.3 +3500X 0.4 +3700X 0.2 = 3440 小時(shí).(2)由圖可知，使用壽命不超過3600小時(shí)的頻率為0.8 ,將頻率視為概率，每支燈管需要更換的概率為0.8 ,故估計(jì)一年內(nèi)5支B型節(jié)能燈需更換的支數(shù)為5X 0.8 = 4.(3)若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)5X120+ 3600X 5X20X0.75 X10 -3= 870元；若選擇B型節(jié)能燈，一年共需花費(fèi)(5+4) X25+3600X 5X55X0.75 X 10 3= 967.5元.因?yàn)?67.5 >870,所以該商家應(yīng)選擇 A型節(jié)能

35、燈.20. . (2019 河北石家莊模擬一 )已知函數(shù) f(x)=ln x 4ax, g(x) = xf(x). _1,(1)右a=£,求g(x)的單倜區(qū)間； 81(2)若 a>0,求證：f(x)w4a2.解 (1)由 a=1, g(x)=xln x-1x2(x>0) , g' (x)=ln x x+1, 821 一 x令 h(x) = ln xx+1, h (x)=,故 h(x)在(0,1)上單倜遞增，在(1 , 十0°)上單倜x遞減，h(x)max= h(1) =0,從而當(dāng)x>0時(shí)，g' (x) WO恒成立，故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

36、(0, +8).(2)證明:f ' (x) =1_4a=1 :由 a>0,令 f ' (x) =0,得 x=£，故 f(x)在 0,白 xx4a4a上單調(diào)遞增， I +0°上單調(diào)遞減，所以f(x)max= f -1 =ln 1,只需證明ln 1W44a4a4a4a 4a2,令 t=4a>0,即證ln tt+1W0(*)，由(1)易知(*)式成立，故原不等式成立.6x221 . (2019 廣東深圳適應(yīng)性考試)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，離心率為 背的橢圓C:孑+b2=1(a>b>0)過點(diǎn) M1, 小.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若

37、直線x+y+F 0上存在點(diǎn)G,且過點(diǎn)G的橢圓C的兩條切線相互垂直，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.c_立解（1）由題意得a= 3 'a2= b2+c2,解得22=3只又5+322= 1，解得a2= 3,b2=1,一 ,一 一一 、一x22所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+ y =1.3(2)當(dāng)過點(diǎn)G的橢圓C的一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線必垂直于y軸，易得。±的 ±1).當(dāng)過點(diǎn)G的橢圓C的切線的斜率均存在時(shí)，設(shè)Qx。，y。)，x0w±q3,切線方程為y=k( x xc) +yc,代入橢圓方程得(3 k2+ 1)x2-6k(kx0-y0) x+ 3( kx°y

38、°)2 3= 0,A = 6 k( kxQ- y0) 2-4(3k2+1) - 3( kx0y" 23 = 0,化簡(jiǎn)得(kx° y°)2(3 k2+1) =0,則(x03)k22x°y0k+y21 = 0,設(shè)過點(diǎn)G的橢圓C的切線的斜率分別為k, k2,則。2 y0 1 =2 Q. x0 3y0- 122因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以x2_ 3 =1,即x°+y°= 4( x°w ±43),22由知點(diǎn)G在圓xo+yo=4±,又點(diǎn)G在直線x + y+mi= 0上,所以直線x+y + mi= 0與圓x2+

39、y2=4有公共點(diǎn)，所以-jLmL-<2,所以一2j2w mK2陋.1+1綜上所述，m的取值范圍為242, 2取.22 .在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的普通方程為x2+y2-4x-6y+ 12=0,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為兀L極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 P sin e +y =V2.(1)寫出圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為 A, B, P為圓C上的任意一點(diǎn)，求PA-P的取值 范圍.x= 2+ cos 0 ,解(1)圓C的參數(shù)方程為(0為參數(shù)).直線l的直角坐標(biāo)方程為 xy= 3+ sin 9+ y-2= 0.(2)由直線l的方

40、程x+y-2= 0可得點(diǎn)A(2,0),點(diǎn) R0,2).設(shè)點(diǎn) P(x, y),則 PA- PB= (2 -x, - y) ( x, 2 y) =x2+y22x2y.x= 2+cos 0 ,由知y= 3+sin 0 ,則 PA- PB= 4sin 0 +2cos 0 +4= 2*sin( 0 +() + 4,其中 tan()=-2.因?yàn)?e e r,所以 42，5wPA- PBc4+245.23 .已知函數(shù) f(x) =、J|xa| x + g .(1)當(dāng)a= 1,求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當(dāng) aC 1,2時(shí)，求證：f2(x) + f2 1 W5. x解 (1)當(dāng) a=1 時(shí)，f(x) 7 x

41、1| 一 |x+1| ,所以 | x 1| | x+1| 0,得(x 1)2A( x+1)2,解得 x<0.所以定義域?yàn)?8, 0.(2)證明：f2(x) + f2 - =|xa| - x + - + -a - -+- <2 a+- = 2 a+- xa xx aaa<5( a 1,2),當(dāng)且僅當(dāng)a= 2時(shí)等號(hào)成立.解答題（四）17. （2019 全國(guó)卷n ）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，ai = 2, a3=2az+16.（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)tn= log 2an,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和.解 （1）設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,即q22q8=

42、0.解得q= 2（舍去）或q=4.因此an的通項(xiàng)公式為an = 2X41 = 221.（2）由（1）得 b=（2n1）log 22=2n- 1,因此數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 1 + 3+（2n1） =n2.18. （2019 北京人大附中信息卷二 ）某綠色有機(jī)水果店中一款有機(jī)草莓，味道鮮甜.店家每天以每斤10元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)適量草莓，然后以每斤20元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的草莓由果汁廠以每斤2元的價(jià)格回收.（1）若水果店一天購(gòu)進(jìn) 17斤草莓，求當(dāng)天的利潤(rùn) y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位:斤,n N）的函數(shù)解析式；（2）水果店記錄了 100天草莓的日需求量（單位：斤），整理得下

43、表:日需求重 n14151617181920頻數(shù)1422141615136假設(shè)水果店在這 100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17斤草莓，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均若水果店一天購(gòu)進(jìn)17斤草莓，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 150元的概率.解（1）當(dāng)日需求量n>17時(shí)，利潤(rùn)y=17X10= 170；當(dāng)日需求量nw16時(shí)，利潤(rùn)y=10n-8(17 n) = 18n- 136.所以當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為18n-136, n<16, nC N*, y 170, n>17, nC N*.（2）假設(shè)水果店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17

44、斤草莓，則日需求量為14斤時(shí)，利潤(rùn)為116; 日需求量為15斤時(shí)，利潤(rùn)為134;日需求量為16斤時(shí)，利潤(rùn)為152;日需求量不小于17時(shí)， 禾I潤(rùn)為170.故這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)為1y = x (14 X 116+ 22X 134+ 14X 152+16X 170+ 15X 170+ 13X 170+ 6X 170),解得一 . _ .y =152(兀).利潤(rùn)不低于150元時(shí)，當(dāng)日需求量當(dāng)且僅當(dāng)不少于16斤.以頻率預(yù)估概率，得當(dāng)天的利潤(rùn)不少于 150 元的概率為 p= 0.14 +0.16 +0.15 +0.13 +0.06 =0.64.19. (2019 江西省名校 5月聯(lián)考

45、)已知空間幾何體 ABCD中， BCD CDE勻?yàn)檫呴L(zhǎng)為 2的等邊三角形，ABC腰長(zhǎng)為 #3的等腰三角形，平面?？谝哑矫鍮CD平面ABCL平面BCD(1)試在平面BC咕作一條直線，使直線上任意一點(diǎn) F與A的連線AF均與平面CDEF行, 并證明；(2)求點(diǎn)B到平面AEC勺距離.解(1)如圖所示，分別取 BC和BD的中點(diǎn)H G作直線HG則HG所求直線.證明如下：因?yàn)辄c(diǎn) H, G分別為BC和BD的中點(diǎn)，所以HG/ CD分另U取CD BC的中點(diǎn)O,H,連接EQ AH貝U EOL CQ AHL BC因?yàn)槠矫??？谌掌矫鍮CD且EQ! CD，EOh平面BCD 又平面 ABCL平面BCD AHL BC則AHL

46、平面 BCD所以EO/ AH又AH?平面CDE EC?平面 CDE所以AH/平面CDE因?yàn)镚H/ CQ Gl?平面CDE CD?平面CDE所以GH/平面CDE因 為AH GH?平面AGH AHH GH= H,則平面 AHG平面CDE所以直線 HG上任意一點(diǎn) F與A的 連線AF均與平面CDEF行.(2)由可得EO/ AH即EO/平面ABC所以點(diǎn)E到平面ABC勺距離和點(diǎn) O到平面 ABC 的距離相等，連接 DH,則DHL BC,又平面 ABC_平面 BCD平面 AB©平面BCD= BC則DH ，平面ABC. ._13 1 記點(diǎn)E到平面ABC勺距離為d,則d=DH= 丁,又ABC勺面積S=

47、 ><2></13-1 =2/3, ACEB面積S = 2x>/i3x3 = 439,因?yàn)閂eab- VB-ace,設(shè)點(diǎn)B到平面AEC勺距離為h,所 以 1X2#X*= 1X 中 X h,4 '39439解得h = -.即點(diǎn)B到平面AEC勺距離為 咪一 131320.已知拋物線 C: y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線C上的點(diǎn)M2, yo)到F的距離為3.(1)求拋物線C的方程；(2)斜率存在的直線l與拋物線相交于相異兩點(diǎn)A(xb y。，B(X2, yz), X1 + X2=4,若AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)G且GA-GB= 5,求直線l的方程.p解(1)由拋物

48、線定義知|MF = 2+2,所以 2 + p=3, p=2,所以，拋物線C的方程為y2=4x.y2 yi y2 yi(2)解法一：設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)(2 , m),直線l的斜率存在，所以 m#0, kAA氏二£ = y24i42mi2y-m= m(x-2).得 y2- 2m" 2m2 8= 0,yi + y2=2m,2yiy2=2m8,my-m= -2(x-2),所以直線AB的方程為 2即 2x m什 m4 = 0.2 ., 2x= my- m+ 4, 由 y=4x,其中a>o得到m<8,AB的垂直平分線方程為令y= 0,彳導(dǎo)x=4,所以 G(4,0) , GA=

49、(xi 4, yi) , GB= (x2 4, y2),因?yàn)?GA GB= 5,所以(xi 4)( x24) + yiy2= 5,2 2yiy2xix2 4(xi + x2) + I6 + yiy2= 5, -y6-4x4+ I6+yiy2 = 5.把代入得(m24)2+8( m2 4)-20=0,(mi + 6) - ( n2- 6) = 0, rm= 6<8, m= 土 乖.所以，直線l的方程為2x ,y + 2=0或2x + 46y+2=0.解法二：設(shè)直線 AB的方程為y=kx+m由 M 消 y 得 k2x2+(2 km- 4)x+m2 = 0 或消 x 得 ky2 4y+4rm=

50、 0. y = 4x2mH 4xi + x2=72= 4k即 2k2+mk= 2.2 m xix2=-2, k4m yiy2=T,A = i6-i6km>0,一iAB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2 k+m , AB的垂直平分線方程為y-(2 k+ m) = - -(x-2).k-2i -2._令 y= 0, xg= 2k+m- 2 = 4,所以 Ga Gb=(xi-4, yi)4m(X2 4, y) = X1X2 4( Xi + X2) + 16 + yiy2=p 16+ 16+下=5,-41 -25= 0.m 4m7+ V解得m= k或m= 5k,分別代入得3k2=2(符合 >0)或3k2=

51、 2(舍去).所以，直線l的方程為2x V6y + 2=0或2x +，6y+2=0.21 . (2019 安徽皖南八校聯(lián)考三)已知函數(shù)f(x) = aln x-(a2+1)x+1ax2,其中aCR(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f( x) + x>0對(duì)x> 1恒成立，求a的取值范圍.解 (1)由題意，得 f' (x) =aa21+ax = -aX- 單調(diào)遞減區(qū)間為a,X-a(x>0),XX當(dāng)awo時(shí)，f'(X)V0, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, +8),沒有單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng) 0v av 1 時(shí)，當(dāng) a< x<1時(shí)，f ' (x) v

52、 0；當(dāng) 0v xva 或 x>)時(shí)，f ' ( x) >0. aa，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, a),單調(diào)遞減區(qū)間為 a,-.aa當(dāng)a=1時(shí)，f'(x)>0對(duì)x>0成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 , +8),沒有單調(diào)遞減 區(qū)間.a>1 時(shí)，當(dāng) a< xv a 時(shí)，f' (x)<0；0V xv 或 x>a 時(shí)，f ' a(X) >0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a, +0°),(2) f (X) + x>0,即alnx a2x +12.1 2.2ax >0,當(dāng) a>0 時(shí),I

53、n x- ax+-x >0In x 1a<T + 2X，+ x2人 In x 1令 g(x) = - + 2xL r , Z 1 In X 1x>1 ,貝U g (x)=-X"+2=22 2ln x+x2x2,令 h(x) = 2-2ln x ，2則= 2XX，當(dāng)x>1時(shí)，h' (x) >0, h(x)是增函數(shù),h(x) > h(1) = 3>0, g' ( x)>0.1，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)是增函數(shù)，g(x)的取小值為g(1) =2,1當(dāng)a=0時(shí)，顯然f(x)+x>0不成立,當(dāng)a<0時(shí)，由g(x)的取

54、小值為,且g(x)沒有取1 大值，得a>g(x)不成立，綜上，a的取值范圍是 0,-.x=6cos 0 ,22 .在直角坐標(biāo)系 xOy中，圓錐曲線 G的參數(shù)方程為(0為參數(shù)).以y=3sin 0坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(p cos 6 + k) 2+ ( p sin巾一2) 2= k2+ 25(巾為參數(shù)，k C R).(1)寫出C, G的直角坐標(biāo)方程；(2)是否存在曲線 G包圍曲線G?請(qǐng)說明理由.x2 y222解 (1) G： 36+2=1，G： x2+y2+2kx-4y-21 = 0.(2)若 k>0,由 62+02+ 12k021 = 15+12k>0 可知點(diǎn)(6,0)在曲線 G外；若 k<0, ( 6)2+0212k021=1512k>0 可知點(diǎn)(6, 0)在曲線。外.綜上，無論k取何值，曲線C2都不能包圍曲線 C.23 .已知函數(shù) f(x) = |2x+1|, g(x)=|x+1|.(1)在圖中畫出f (x