2017年山東省高考理科數(shù)學試卷及參考答案與試題解析

1、第 1 頁，共 21 頁2017 年山東省高考理科數(shù)學試卷及參考答案與試題解析一、選擇題 : 本大題共 10小題 , 每小題 5 分, 共 50 分, 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符號題目要求的 .1.(5 分) 設(shè)函數(shù) y的定義域為 a,函數(shù) yln(1 x) 的定義域為 b,則 ab( ) a.(1,2) b.(1,2 c.( 2,1) d. 2,1) 2.(5 分) 已知 ar,i 是虛數(shù)單位 , 若 zai,z ? 4, 則 a( ) a.1 或1 b.或c.d.3.(5 分) 已知命題 p: ?x0,ln(x 1) 0；命題 q: 若 ab, 則 a2b2, 下列命題為真命

2、題的是( ) a.pq b.p q c.pq d.pq 4.(5 分) 已知 x,y 滿足約束條件, 則 zx2y 的最大值是 ( ) a.0 b.2 c.5 d.6 5.(5 分) 為了研究某班學生的腳長x( 單位: 厘米)和身高 y( 單位: 厘米)的關(guān)系 , 從該班隨機抽取 10名學生 , 根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y 與 x 之間有線性相關(guān)關(guān)系 , 設(shè)其回歸直線方程為x, 已知xi22.5,yi160,4, 該班某學生的腳長為24, 據(jù)此估計其身高為( ) a.160 b.163 c.166 d.170 6.(5 分) 執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖, 若第一次輸入的x 值為 7, 第二

3、次輸入的 x 值為 9, 則第一次 , 第二次輸出的 a 值分別為 ( ) 第 2 頁，共 21 頁a.0,0 b.1,1 c.0,1 d.1,0 7.(5 分) 若 ab0, 且 ab1, 則下列不等式成立的是 ( ) a.alog2(ab) b.log2(a b)ac.alog2(ab) d.log2(a b) a8.(5 分) 從分別標有 1,2, ,9 的 9 張卡片中不放回地隨機抽取2 次, 每次抽取 1 張, 則抽到在2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ) a.b.c.d.9.(5 分) 在 abc中, 角 a,b,c 的對邊分別為 a,b,c, 若abc為銳角三角形 , 且滿足

4、 sinb(1 2cosc)2sinacosccosasinc, 則下列等式成立的是 ( ) a.a2b b.b2a c.a2b d.b2a 10.(5 分)已知當 x0,1時, 函數(shù) y(mx1)2的圖象與 ym的圖象有且只有一個交點, 則正實數(shù) m的取值范圍是 ( ) a.(0,1 2, ) b.(0,13, ) c.(0,)2, ) d.(0, 3, ) 二、填空題 : 本大題共 5小題 , 每小題 5 分, 共 25分11.(5 分)已知(13x)n的展開式中含有 x2的系數(shù)是 54, 則 n. 12.(5 分)已知,是互相垂直的單位向量 , 若與的夾角為 60, 則實數(shù) 的值是. 1

5、3.(5 分)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖, 則該幾何體的體積為. 14.(5 分)在平面直角坐標系xoy中, 雙曲線1(a0,b 0) 的右支與焦點為 f 的拋物線 x22py(p0)交于 a,b 兩點, 若|af| |bf| 4|of|, 則該雙曲線的漸近線方程為. 15.(5 分)若函數(shù) exf(x)(e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù) ) 在 f(x) 的定義域上單調(diào)遞增 , 則稱函數(shù) f(x) 具有 m性質(zhì). 下列函數(shù)中所有具有m性質(zhì)的函數(shù)的序號為. f(x) 2xf(x) 3xf(x) x3f(x) x22. 第 3 頁，共 21 頁三、解答題 ( 共 6 小題,

6、 滿分 75 分)16.(12 分) 設(shè)函數(shù) f(x) sin( x)sin( x), 其中 0 3, 已知 f() 0. ()求 ；()將函數(shù) yf(x) 的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2 倍(縱坐標不變 ), 再將得到的圖象向左平移個單位 , 得到函數(shù) yg(x) 的圖象 , 求 g(x) 在 , 上的最小值 . 17.(12 分) 如圖, 幾何體是圓柱的一部分 , 它是由矩形 abcd( 及其內(nèi)部 ) 以 ab邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 120得到的 ,g 是的中點. ()設(shè) p是上的一點 , 且 ap be,求cbp的大?。?)當 ab 3,ad2 時, 求二面角 eag c的大小 .

7、18.(12 分) 在心理學研究中 , 常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響, 具體方法如下: 將參加試驗的志愿者隨機分成兩組, 一組接受甲種心理暗示 , 另一組接受乙種心理暗示 ,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用, 現(xiàn)有 6 名男志愿者 a1,a2,a3,a4,a5,a6和 4 名女志愿者 b1,b2,b3,b4, 從中隨機抽取 5 人接受甲種心理暗示 , 另 5 人接受乙種心理暗示 . ()求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的概率 . ()用 x表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù), 求 x的分布列與數(shù)學期望ex. 19.(12 分)

8、 已知xn 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列, 且 x1x23,x3x22. ()求數(shù)列 xn的通項公式；()如圖, 在平面直角坐標系 xoy中, 依次連接點 p1(x1,1),p2(x2,2) pn1(xn1,n 1)得到折線p1 p2pn1, 求由該折線與直線y0,x x1,x xn1所圍成的區(qū)域的面積tn. 20.(13 分) 已知函數(shù) f(x) x22cosx,g(x) ex(cosx sinx 2x2), 其中 e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù) . ()求曲線 yf(x) 在點(,f( ) 處的切線方程；()令 h(x) g (x) a f(x)(ar), 討論 h(x) 的單調(diào)性并判斷有無

9、極值 , 有極值時求出極值 . 21.(14 分) 在平面直角坐標系xoy中, 橢圓 e:1(ab0)的離心率為, 焦距為 2. ()求橢圓 e的方程 . 第 4 頁，共 21 頁()如圖, 動直線 l:y k1x交橢圓 e于 a,b 兩點,c 是橢圓 e上的一點 , 直線 oc的斜率為k2, 且 k1k2,m 是線段 oc延長線上一點 , 且|mc|:|ab| 2:3, m的半徑為 |mc|,os,ot 是m的兩條切線 , 切點分別為 s,t, 求sot 的最大值 , 并求取得最大值時直線l 的斜率. 第 5 頁，共 21 頁2017 年山東省高考數(shù)學試卷 (理科)參考答案與試題解析一、選擇

10、題 : 本大題共 10小題 , 每小題 5 分, 共 50 分, 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符號題目要求的 .1.(5 分) 設(shè)函數(shù) y的定義域為 a,函數(shù) yln(1 x) 的定義域為 b,則 ab( ) a.(1,2) b.(1,2 c.( 2,1) d. 2,1) 【分析】根據(jù)冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)定義域的求法, 即可求得 a和 b,即可求得 ab. 【解答】解 : 由 4x20, 解得 : 2x2, 則函數(shù) y的定義域 2,2, 由對數(shù)函數(shù)的定義域可知 :1 x0, 解得:x 1, 則函數(shù) yln(1 x) 的定義域 ( ,1), 則 ab 2,1), 故選:d. 【點評】本題考

11、查函數(shù)定義的求法, 交集及其運算 , 考查計算能力 , 屬于基礎(chǔ)題 . 2.(5 分) 已知 ar,i 是虛數(shù)單位 , 若 zai,z ? 4, 則 a( ) a.1 或1 b.或c.d.【分析】求得 z 的共軛復數(shù) , 根據(jù)復數(shù)的運算 , 即可求得 a 的值. 【解答】解 : 由 zai, 則 z 的共軛復數(shù)ai, 由 z? (ai)(a i) a234, 則 a21, 解得:a 1, a 的值為 1 或1, 故選:a. 【點評】本題考查共軛復數(shù)的求法, 復數(shù)的乘法運算 , 考查計算能力 , 屬于基礎(chǔ)題 . 3.(5 分) 已知命題 p: ?x0,ln(x 1) 0；命題 q: 若 ab,

12、則 a2b2, 下列命題為真命題的是( ) a.pq b.p q c.pq d.pq 【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知命題p 為真命題 , 則p 為假命題 , 命題 q 是假命題 , 則q 是真命題 . 因此 pq 為真命題 . 【解答】解 : 命題 p: ?x0,ln(x 1)0, 則命題 p 為真命題 , 則p 為假命題；取 a1,b 2,a b, 但 a2b2, 則命題 q 是假命題 , 則q 是真命題 . pq 是假命題 ,p q 是真命題 , pq 是假命題 , pq 是假命題 . 故選:b. 【點評】本題考查命題真假性的判斷, 復合命題的真假性 , 屬于基礎(chǔ)題 . 4.(5 分) 已知

13、 x,y 滿足約束條件, 則 zx2y 的最大值是 ( ) a.0 b.2 c.5 d.6 第 6 頁，共 21 頁【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域, 根據(jù)圖形找出最優(yōu)解是由解得的點 a的坐標 , 代入目標函數(shù)求出最大值 . 【解答】解 : 畫出約束條件表示的平面區(qū)域 , 如圖所示；由解得 a(3,4), 此時直線 yxz 在 y 軸上的截距最大 , 所以目標函數(shù) zx2y 的最大值為zmax3245. 故選:c. 【點評】本題考查了線性規(guī)劃的應用問題, 是中檔題 . 5.(5 分) 為了研究某班學生的腳長x( 單位: 厘米)和身高 y( 單位: 厘米)的關(guān)系 , 從該班隨機抽取 10名學生

14、 , 根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y 與 x 之間有線性相關(guān)關(guān)系 , 設(shè)其回歸直線方程為x, 已知xi22.5,yi160,4, 該班某學生的腳長為24, 據(jù)此估計其身高為( ) a.160 b.163 c.166 d.170 【分析】由數(shù)據(jù)求得樣本中心點, 由回歸直線方程必過樣本中心點, 代入即可求得, 將 x24代入回歸直線方程即可估計其身高. 【解答】解 : 由線性回歸方程為4x , 第 7 頁，共 21 頁則 xi22.5,yi160, 則數(shù)據(jù)的樣本中心點 (22.5,160), 由回歸直線方程樣本中心點, 則 4x160422.5 70, 回歸直線方程為4x70, 當 x24 時,4

15、2470166, 則估計其身高為 166, 故選:c. 【點評】本題考查回歸直線方程的求法及回歸直線方程的應用, 考查計算能力 , 屬于基礎(chǔ)題 . 6.(5 分) 執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖, 若第一次輸入的x 值為 7, 第二次輸入的 x 值為 9, 則第一次 , 第二次輸出的 a 值分別為 ( ) a.0,0 b.1,1 c.0,1 d.1,0 【分析】根據(jù)已知中的程序框圖, 模擬程序的執(zhí)行過程 , 可得答案 . 【解答】解 : 當輸入的 x 值為 7 時, 第一次 , 不滿足 b2x, 也不滿足 x 能被 b 整數(shù), 故 b3；第二次 , 滿足 b2x, 故輸出 a1；當輸入的 x 值為

16、 9 時, 第一次 , 不滿足 b2x, 也不滿足 x 能被 b 整數(shù), 故 b3；第二次 , 不滿足 b2x, 滿足 x 能被 b 整數(shù), 故輸出 a0；故選:d. 【點評】本題考查的知識點是程序框圖, 難度不大 , 屬于基礎(chǔ)題 . 7.(5 分) 若 ab0, 且 ab1, 則下列不等式成立的是 ( ) 第 8 頁，共 21 頁a.alog2(ab) b.log2(a b)ac.alog2(ab) d.log2(a b) a【分析】 ab0, 且 ab1, 可取 a2,b . 代入計算即可得出大小關(guān)系. 【解答】解 : ab0, 且 ab1, 可取 a2,b . 則4,log2(a b)(

17、1,2), log2(a b)a. 故選:b. 【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法與性質(zhì), 考查了推理能力與計算能力, 屬于中檔題 . 8.(5 分) 從分別標有 1,2, ,9 的 9 張卡片中不放回地隨機抽取2 次, 每次抽取 1 張, 則抽到在2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( ) a.b.c.d.【分析】計算出所有情況總數(shù), 及滿足條件的情況數(shù) , 代入古典概型概率計算公式, 可得答案 . 【解答】解 : 從分別標有 1,2, ,9 的 9 張卡片中不放回地隨機抽取2 次, 共有36 種不同情況, 且這些情況是等可能發(fā)生的, 抽到在 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的情況有20

18、種, 故抽到在 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率p, 故選:c. 【點評】本題考查的知識點是古典概型及其概率計算公式, 難度不大 , 屬于基礎(chǔ)題 . 9.(5 分) 在 abc中, 角 a,b,c 的對邊分別為 a,b,c, 若abc為銳角三角形 , 且滿足 sinb(1 2cosc)2sinacosccosasinc, 則下列等式成立的是 ( ) a.a2b b.b2a c.a2b d.b2a 【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡等式右側(cè), 然后化簡通過正弦定理推出結(jié)果即可. 【解答】解 : 在 abc中, 角 a,b,c 的對邊分別為 a,b,c, 滿足 sinb(1 2cosc)2sin

19、acosccosasincsinacoscsin(a c)sinacoscsinb, 可得:2sinbcosc sinacosc, 因為 abc 為銳角三角形 , 所以 2sinbsina, 由正弦定理可得 :2b a. 第 9 頁，共 21 頁故選:a. 【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù), 正弦定理的應用 , 考查計算能力 . 10.(5 分)已知當 x0,1時, 函數(shù) y(mx1)2的圖象與 ym的圖象有且只有一個交點, 則正實數(shù) m的取值范圍是 ( ) a.(0,1 2, ) b.(0,13, ) c.(0,)2, ) d.(0, 3, ) 【分析】根據(jù)題意 , 由二次函數(shù)的性質(zhì)分析

20、可得:y (mx1)2為二次函數(shù) , 在區(qū)間 (0,) 為減函數(shù),(, ) 為增函數(shù) , 分 2 種情況討論 : 、 當 0m 1 時, 有1, 、 當 m 1 時, 有1, 結(jié)合圖象分析兩個函數(shù)的單調(diào)性與值域, 可得 m的取值范圍 , 綜合可得答案 . 【解答】解 : 根據(jù)題意 , 由于 m為正數(shù) ,y (mx1)2為二次函數(shù) , 在區(qū)間 (0,) 為減函數(shù) ,(,) 為增函數(shù) , 函數(shù) ym為增函數(shù) , 分 2 種情況討論 : 、當 0m 1 時, 有1, 在區(qū)間 0,1 上,y (mx1)2為減函數(shù) , 且其值域為 (m1)2,1, 函數(shù) ym為增函數(shù) , 其值域為 m,1m, 此時兩個

21、函數(shù)的圖象有1 個交點 , 符合題意；、當 m 1 時, 有1, y(mx1)2在區(qū)間 (0,) 為減函數(shù) ,(,1) 為增函數(shù) , 函數(shù) ym為增函數(shù) , 其值域為 m,1m, 若兩個函數(shù)的圖象有1 個交點 , 則有(m1)21m, 解可得 m 0 或 m 3, 又由 m為正數(shù), 則 m 3；綜合可得 :m 的取值范圍是 (0,1 3, )；故選:b. 【點評】本題考查函數(shù)圖象的交點問題, 涉及函數(shù)單調(diào)性的應用 , 關(guān)鍵是確定實數(shù) m的分類討論. 二、填空題 : 本大題共 5小題 , 每小題 5 分, 共 25分11.(5 分)已知(13x)n的展開式中含有 x2的系數(shù)是 54, 則 n4

22、. 【分析】利用通項公式即可得出. 【解答】解 :(1 3x)n的展開式中通項公式 :tr 1(3x)r3rxr. 含有 x2的系數(shù)是 54, r 2. 第 10 頁，共 21 頁54, 可得6, 6,n n*. 解得 n4. 故答案為 :4. 【點評】本題考查了二項式定理的通項公式, 考查了推理能力與計算能力, 屬于基礎(chǔ)題 . 12.(5 分)已知,是互相垂直的單位向量 , 若與的夾角為 60, 則實數(shù) 的值是. 【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義, 列出方程解方程即可求出 的值. 【解答】解 : 【方法一】由題意 , 設(shè)(1,0),(0,1), 則(, 1), (1, ) ；

23、又夾角為 60, ()?() 2cos60, 即, 解得 . 【方法二】,是互相垂直的單位向量 , | | 1, 且?0；又與的夾角為 60, ()?() | | cos60, 即(1)?, 化簡得, 即, 解得 . 第 11 頁，共 21 頁故答案為 :. 【點評】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題, 是中檔題 . 13.(5 分)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖, 則該幾何體的體積為2. 【分析】由三視圖可知 : 長方體長為 2, 寬為 1, 高為 1, 圓柱的底面半徑為1, 高為 1 圓柱的,根據(jù)長方體及圓柱的體積公式, 即可求得幾何體的體積 . 【解答】解 :

24、 由長方體長為 2, 寬為 1, 高為 1, 則長方體的體積 v12112, 圓柱的底面半徑為1, 高為 1, 則圓柱的體積 v2 121, 則該幾何體的體積vv12v12, 故答案為 :2 . 【點評】本題考查利用三視圖求幾何體的體積, 考查長方體及圓柱的體積公式, 考查計算能力 ,屬于基礎(chǔ)題 . 14.(5 分)在平面直角坐標系xoy中, 雙曲線1(a0,b 0) 的右支與焦點為 f 的拋物線 x22py(p0)交于 a,b 兩點, 若|af| |bf| 4|of|, 則該雙曲線的漸近線方程為yx . 【分析】把 x22py(p0) 代入雙曲線1(a0,b 0), 可得:a2y22pb2y

25、a2b20, 利用根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線的定義及其性質(zhì)即可得出. 【解答】解 : 把 x22py(p0) 代入雙曲線1(a0,b 0), 可得:a2y22pb2ya2b20, 第 12 頁，共 21 頁yayb, |af| |bf| 4|of|, yayb24, p, . 該雙曲線的漸近線方程為:y x. 故答案為 :y x. 【點評】本題考查了拋物線與雙曲線的標準方程定義及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系, 考查了推理能力與計算能力, 屬于中檔題 . 15.(5 分)若函數(shù) exf(x)(e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù) ) 在 f(x) 的定義域上單調(diào)遞增 , 則稱函數(shù) f(x) 具有

26、 m性質(zhì). 下列函數(shù)中所有具有m性質(zhì)的函數(shù)的序號為. f(x) 2xf(x) 3xf(x) x3f(x) x22. 【分析】把代入exf(x),變形為指數(shù)函數(shù)判斷；把代入exf(x),求導數(shù)判斷 . 【解答】解 : 對于 ,f(x)2x, 則 g(x) exf(x) 為實數(shù)集上的增函數(shù)；對于 ,f(x)3x, 則 g(x) exf(x) 為實數(shù)集上的減函數(shù)；對于 ,f(x)x3, 則 g(x) exf(x) ex?x3, g(x) ex?x33ex?x2ex(x33x2)ex?x2(x 3), 當 x3 時, g(x) 0, g(x) exf(x) 在定義域 r上先減后增；對于 ,f(x)x2

27、2, 則 g(x) exf(x) ex(x22), g(x) ex(x22)2xexex(x22x2)0 在實數(shù)集 r上恒成立 , g(x) exf(x) 在定義域 r上是增函數(shù) . 具有 m性質(zhì)的函數(shù)的序號為. 故答案為 : . 【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì), 訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性, 是中檔題 . 三、解答題 ( 共 6 小題, 滿分 75 分)16.(12 分) 設(shè)函數(shù) f(x) sin( x)sin( x), 其中 0 3, 已知 f() 0. ()求 ；()將函數(shù) yf(x) 的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2 倍(縱坐標不變 ), 再將得到的圖象第 13 頁，共 21

28、頁向左平移個單位 , 得到函數(shù) yg(x) 的圖象 , 求 g(x) 在 , 上的最小值 . 【分析】 ( )利用三角恒等變換化函數(shù)f(x) 為正弦型函數(shù) , 根據(jù) f() 0 求出 的值；()寫出 f(x) 解析式 , 利用平移法則寫出g(x) 的解析式 , 求出 x , 時 g(x) 的最小值. 【解答】解 :( )函數(shù) f(x) sin( x) sin( x) sin xcoscosxsinsin(x ) sin xcosxsin( x), 又 f() sin()0, k,k z, 解得 6k2, 又 0 3, 2；()由()知,f(x)sin(2x ), 將函數(shù) yf(x) 的圖象上各

29、點的橫坐標伸長為原來的2 倍( 縱坐標不變 ), 得到函數(shù) ysin(x )的圖象；再將得到的圖象向左平移個單位 , 得到 ysin(x ) 的圖象 , 函數(shù) yg(x) sin(x )；當 x , 時,x , sin(x ) ,1, 當 x時,g(x) 取得最小值是. 【點評】本題考查了三角恒等變換與正弦型函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題, 是中檔題 . 17.(12 分) 如圖, 幾何體是圓柱的一部分 , 它是由矩形 abcd( 及其內(nèi)部 ) 以 ab邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 120得到的 ,g 是的中點. ()設(shè) p是上的一點 , 且 ap be,求cbp的大?。坏?14 頁，共 21 頁()當

30、ab 3,ad2 時, 求二面角 eag c的大小 . 【分析】 ()由已知利用線面垂直的判定可得be 平面 abp,得到 be bp,結(jié)合 ebc 120求得 cbp 30；()法一、 取的中點 h,連接 eh,gh,ch, 可得四邊形 begh 為菱形 , 取 ag 中點 m,連接 em,cm,ec,得到 em ag,cm ag,說明 emc 為所求二面角的平面角 . 求解三角形得二面角eag c的大小. 法二、以 b為坐標原點 , 分別以 be,bp,ba所在直線為 x,y,z軸建立空間直角坐標系 . 求出a,e,g,c 的坐標, 進一步求出平面aeg 與平面 acg 的一個法向量 ,

31、由兩法向量所成角的余弦值可得二面角 eag c的大小 . 【解答】解 :( )ap be,abbe,且 ab,ap ? 平面 abp,ab ap a, be 平面 abp,又 bp ? 平面 abp, be bp,又ebc 120 , 因此 cbp 30；()解法一、取的中點 h,連接 eh,gh,ch, ebc 120, 四邊形 bech 為菱形 , ae ge ac gc . 取 ag中點 m,連接 em,cm,ec, 則 em ag,cm ag, emc 為所求二面角的平面角 . 又 am 1, em cm . 在bec中, 由于ebc 120, 由余弦定理得 :ec22222222co

32、s120 12, , 因此 emc 為等邊三角形 , 故所求的角為 60. 解法二、以 b為坐標原點 , 分別以 be,bp,ba所在直線為 x,y,z軸建立空間直角坐標系 . 由題意得 :a(0,0,3),e(2,0,0),g(1,3),c( 1,0), 故,. 設(shè)為平面 aeg 的一個法向量 , 第 15 頁，共 21 頁由, 得, 取 z12, 得；設(shè)為平面 acg 的一個法向量 , 由, 可得, 取 z22, 得. cos. 二面角 eag c的大小為 60. 【點評】本題考查空間角的求法, 考查空間想象能力和思維能力, 訓練了線面角的求法及利用空間向量求二面角的大小 , 是中檔題 .

33、 18.(12 分) 在心理學研究中 , 常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響, 具體方法如下: 將參加試驗的志愿者隨機分成兩組, 一組接受甲種心理暗示 , 另一組接受乙種心理暗示 ,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用, 現(xiàn)有 6 名男志愿者 a1,a2,a3,a4,a5,a6和 4 名女志愿者 b1,b2,b3,b4, 從中隨機抽取 5 人接受甲種心理暗示 , 另 5 人接受乙種心理暗示 . ()求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的概率 . ()用 x表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù), 求 x的分布列與數(shù)學期望ex. 【分析】 (1)

34、 利用組合數(shù)公式計算概率；(2) 使用超幾何分布的概率公式計算概率, 得出分布列 , 再計算數(shù)學期望 . 【解答】解 :(i)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含 b1的事件為 m, 則 p(m). (ii)x的可能取值為 :0,1,2,3,4, 第 16 頁，共 21 頁p(x0) , p(x1), p(x2), p(x3), p(x4). x的分布列為 x 0 1 2 3 4 p x的數(shù)學期望 ex 012342. 【點評】本題考查了組合數(shù)公式與概率計算, 超幾何分布的分布列與數(shù)學期望, 屬于中檔題 . 19.(12 分) 已知xn 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列, 且 x1x23,x3

35、x22. ()求數(shù)列 xn的通項公式；()如圖, 在平面直角坐標系 xoy中, 依次連接點 p1(x1,1),p2(x2,2) pn1(xn1,n 1)得到折線p1 p2pn1, 求由該折線與直線y0,x x1,x xn1所圍成的區(qū)域的面積tn. 【分析】 (i) 列方程組求出首項和公比即可得出通項公式；(ii)從各點向 x 軸作垂線 , 求出梯形的面積的通項公式, 利用錯位相減法求和即可. 【解答】解 :(i)設(shè)數(shù)列 xn 的公比為 q, 則 q0, 由題意得, 兩式相比得 :, 解得 q2 或 q(舍), 第 17 頁，共 21 頁x11, xn2n1. (ii)過 p1,p2,p3, ,

36、pn向 x 軸作垂線 , 垂足為 q1,q2,q3, ,qn, 記梯形 pnpn1qn1qn的面積為 bn, 則 bn(2n1)2n2, tn321520721 (2n1)2n2, 2tn320521722 (2n1)2n1, 得 : tn(222 2n1) (2n1) 2n1(2n1) 2n1(12n)2n1. tn. 【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì), 錯位相減法求和 , 屬于中檔題 . 20.(13 分) 已知函數(shù) f(x) x22cosx,g(x) ex(cosx sinx 2x2), 其中 e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù) . ()求曲線 yf(x) 在點(,f( ) 處的切線方程；

37、()令 h(x) g (x) a f(x)(ar), 討論 h(x) 的單調(diào)性并判斷有無極值 , 有極值時求出極值 . 【分析】 (i)f() 22. f (x) 2x2sinx, 可得 f ( ) 2 即為切線的斜率 , 利用點斜式即可得出切線方程 . (ii)h(x)g (x) a f(x)ex(cosx sinx 2x2)a(x22cosx), 可得 h(x) 2(x sinx)(exa)2(x sinx)(exelna). 令 u(x) xsinx, 則 u(x) 1cosx0, 可得函數(shù)u(x) 在 r上單調(diào)遞增 . 由 u(0) 0, 可得 x0 時,u(x) 0；x0 時,u(x

38、) 0. 對 a 分類討論 :a 0 時,0 a1 時, 當 a1 時,a 1 時, 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出. 【解答】解 :(i)f() 22. f (x) 2x2sinx, f ()2. 曲線 yf(x) 在點( ,f( ) 處的切線方程為 :y ( 22)2(x ). 化為: 2xy220. (ii)h(x)g (x) a f(x)ex(cosx sinx 2x2)a(x22cosx) h(x) ex(cosx sinx 2x2)ex(sinx cosx2) a(2x 2sinx) 2(x sinx)(exa) 2(x sinx)(exelna). 令 u(x) xsinx

39、, 則 u(x) 1cosx0, 函數(shù) u(x) 在 r上單調(diào)遞增 . u(0) 0, x0 時,u(x) 0；x0 時,u(x) 0. (1)a 0 時,exa0, x0 時, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 在(0, ) 單調(diào)遞增；x0 時, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 在( ,0) 單調(diào)遞減 . x0 時, 函數(shù) h(x) 取得極小值 ,h(0) 12a. (2)a 0 時, 令 h(x) 2(x sinx)(exelna)0. 解得 x1lna,x20. 0a1 時,x (,lna) 時,exelna0, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞增；x(lna,0)時,exelna0

40、, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞減；x(0, ) 時,exelna0, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞增 . 第 18 頁，共 21 頁當 x0 時, 函數(shù) h(x) 取得極小值 ,h(0) 2a1. 當 xlna 時, 函數(shù) h(x) 取得極大值 ,h(lna)aln2a2lna sin(lna)cos(lna) 2. 當 a1 時,lna 0,x r時, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 在 r上單調(diào)遞增 . 1a 時,lna 0,x ( ,0) 時,exelna0, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞增；x(0,lna)時,exelna0, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞減；x(lna, ) 時,exelna0, h(x) 0, 函數(shù) h(x) 單調(diào)遞增 . 當 x0 時, 函數(shù) h(x) 取得極大值 ,h(0) 2a1. 當 xlna 時, 函數(shù) h(x) 取得極小值 ,h(lna)aln2a2lna sin(lna)cos(lna)