2020屆浙江省湖州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2019 學(xué)年湖州高三期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測卷試題一、選擇題1.若集合|12axx，集合|224xbx，則abu（）a. 1,2b. 1,2c. 0,2d. 0,2【答案】 b 【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式的求解方法求出b再求并集即可. 【詳解】易得12| 224|222|12xxbxxxx.故abu|12xx. 故選： b 【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)不等式的求解以及并集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型. 2.已知復(fù)數(shù)4212izi（i為虛數(shù)單位） ，則復(fù)數(shù) z的模z（）a. 1b. 2c. 2d. 4【答案】 c 【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)求解即可. 【詳解】由題2222422212221212

2、1( 2)iizii. 故選： c 【點(diǎn)睛】本題主要考查了模長的性質(zhì)與運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型. 3.已知等差數(shù)列na的公差為2，若1a，3a，4a成等比數(shù)列，則2a（）a. -4b. -6c. -8d. -10【答案】 b 【解析】【分析】把3a，4a用1a和公差 2 表示，根據(jù)1a，3a，4a成等比數(shù)列，得到2314aaa解得 . 【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列na的公差為2，若1a，3a，4a成等比數(shù)列，2314aa a即211146aa a解得18a故選：b【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，與等比中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 4.實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件100yyxyx，則目標(biāo)函數(shù)10yzxx的取值

3、范圍是（）a. 2,2b. , 22,uc. , 22,ud. 2 2,【答案】 c 【解析】【分析】畫出可行域 ,再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)斜率的幾何意義分析即可. 【詳解】畫出可行域,易得10yzxx的幾何意義為, x y到0, 1的斜率 , 又( 1,1),(1, 1)bc.故11 121yzx或11 121yzx故10yzxx的取值范圍是, 22,u故選： c 【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中斜率的幾何意義的方法,屬于基礎(chǔ)題型. 5.若xr，則“31x”是“1x”的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】 a 【解析】【分析】分別求解兩個(gè)不等式再

4、判斷即可. 【詳解】因?yàn)?yx為增函數(shù) ,故31x解得1x,又1x解得1x或1x,故“31x”是“1x”的充分不必要條件. 故選： a 【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)與絕對值不等式的求解與充分不必要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題型. 6.已知雙曲線221164xy的左、右焦點(diǎn)分別為1f，2f，過2f的直線l交雙曲線于p，q兩點(diǎn) . 若pq長為5，則1pqf的周長是（）a. 13b. 18c. 21d. 26【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解即可. 【詳解】易得1pqf的周長為114101626pqpfqfpqpqa. 故選： d 【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型. 7

5、.已知離散型隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布且3,bp:，則當(dāng)p0,1內(nèi)增大時(shí)，（）a. d減小b. d增大c. d先減小后增大d. d先增大后減小【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)d的公式關(guān)于p的函數(shù)表達(dá)式分析即可. 【詳解】易得二項(xiàng)分布3 (1)dpp為關(guān)于p的二次函數(shù),對稱軸為12p,故當(dāng)p在0,1內(nèi)增大時(shí)d先增大后減小 . 故選： d 【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)分布中方差的公式運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型. 8.已知函數(shù)22,01,0 xxxfxxx，若函數(shù)g xfxxm恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）a. 1,2,04ub. 12,0,4uc. 12,0,4ud. 1,20,4u【答案】 a 【解析

6、】【分析】g xfxxm恰有三個(gè)零點(diǎn)則fxxm的函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn),再畫圖分析求解即可. 【詳解】根據(jù)22,01,0 xxxfxxx的圖像 ,取絕對值可知fxxm如圖 .當(dāng)fxxm的函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)分兩種情況當(dāng)直線yxm與拋物線部分相交于三個(gè)點(diǎn)時(shí),臨界條件分別為yxm過原點(diǎn)時(shí) ,此時(shí)0m,以及與拋物線相切 ,此時(shí)2220 xxxmxxm判別式11404mm,故1,04m當(dāng)直線yxm與拋物線部分相交于1 個(gè)點(diǎn) ,與1yx相交于兩點(diǎn) ,此時(shí)臨界條件為直線yxm與1yx相切 ,此時(shí)2110 xmxmxx判別式2402mm,由圖得yxm中0m,故2m為臨界條件 . 故此時(shí), 2m綜上所述 , 1,

7、2,04mu. 故選： a 【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的問題,需要畫出對應(yīng)的圖像分析直線與曲線相切等的臨界條件 ,屬于中等題型 . 9.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足22221abc，則2abc的最小值是（）a. 34b. 98c. - 1d. 43【答案】 b 【解析】【分析】根據(jù)題意利用22ab與2ab的基本不等式,再轉(zhuǎn)換為含c的二次不等式求解即可. 【詳解】若2abc取最小值 ,顯然,a b異號(hào)且0c.故2221222cababab, 即2221abc,故221992212488abcccc, 當(dāng)且僅當(dāng)1,4c,a b分別取74時(shí)等號(hào)成立 . 故選： b 【點(diǎn)睛】本題主要考查了基

8、本不等式以及二次不等式的綜合運(yùn)用,需要注意分析, ,a b c的正負(fù)再利用基本不等式 ,屬于中等題型 . 10.在三棱錐sabc中，abc為正三角形，設(shè)二面角sabc，sbca，scab的平面角的大小分別為,2，則下面結(jié)論正確的是（）a. 111tantantan的值可能是負(fù)數(shù)b. 32c. d. 111tantantan的值恒為正數(shù)【答案】 d 【解析】【分析】作s在底面abc的投影為o,再分別作,omab onbc opac,進(jìn)而分析,的正切值再判斷即可 . 【詳解】作s在底面abc的投影o,再分別作,omab onbc opac,設(shè)abc邊長為a. 當(dāng)o在abc內(nèi)時(shí) , 易得,分別為,s

9、mosnospo.由abcabobcoacossssvvvv可得1110tantantanmonopoasosososo. 當(dāng)s無限接近o時(shí)易得接近 0,故 c 錯(cuò)誤 . 當(dāng)o在abc外時(shí) ,不妨設(shè)o在,ac bc的延長線構(gòu)成的角內(nèi). 易得,分別為,smosnospo.由abcabobcoacossssvvvv可得1110tantantanmonopoasosososo. 且當(dāng)s無限接近o時(shí)易得接近2,故 b 錯(cuò)誤 . 綜上 ,a 也錯(cuò)誤 . 故選： d 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了二面角的分析,需要畫圖理解,表達(dá)出對應(yīng)的二面角的平面角,再根據(jù)平面內(nèi)任一點(diǎn)到正三角形三邊的距離關(guān)系求解分析,同時(shí)也要

10、有極限的思想分析二面角的范圍問題.屬于難題 . 二、填空題11. 某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm） ，則該幾何體的體積為_3cm，表面積為 _2cm. 【答案】(1). 56(2). 7682【解析】【分析】易得該圖形為正方體截去一個(gè)三棱柱再計(jì)算體積與表面積即可. 【詳解】畫出對應(yīng)的直觀圖五棱柱1111abee adcff d. (1)易得體積為314 442 24562cm. (2)表面積223144242244222422768 22cm故答案為： 56 ；768 2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求解原幾何體的體積與表面積的問題,需要畫出對應(yīng)的圖像進(jìn)行分析求解,屬于中等題型. 12

11、. 二項(xiàng)式61xx的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于_ ，有理項(xiàng)共有 _ 項(xiàng). 【答案】(1). 15(2). 4【解析】【分析】(1)根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可. (2)根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式分析x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)即可. 【詳解】 (1)根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式6 3621661rrrrrrtcxcxx. 故取常數(shù)項(xiàng)時(shí)63022rr.此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為2615c. (2)當(dāng)取有理項(xiàng)時(shí), 632r整數(shù) .此時(shí)0,2,4,6r.故共有 4 項(xiàng) . 故答案為： (1). 15(2). 4【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用,屬于中等題型. 13. 已知直線2xmymr與橢圓22195xy的相交于a，b兩

12、點(diǎn)，則ab的最小值為 _ ；若307ab，則實(shí)數(shù)m的值是 _ . 【答案】(1). 103(2). 【解析】【分析】的(1)聯(lián)立直線與橢圓的方程求解弦長公式的表達(dá)式再分析最小值即可. (2)根據(jù)弦長公式求解參數(shù)即可. 【詳解】聯(lián)立221952xyxmy225920250mymy,故212230159myym. 故弦長22222230130146 15959591mmmabmmm. (1)故當(dāng)0m時(shí)有最小值103ab. (2)若307ab則224306 11597mm,故1m. 故答案為： (1). 103(2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式,屬于中等題型. 14.

13、設(shè)abc三邊a，b，c所對的角分別為a，b，c. 若2223bac，則tantancb_ ，tan a的最大值是 _ . 【答案】(1). - 2(2). 24【解析】【分析】化簡tantancb成正余弦的關(guān)系式,再利用余弦定理與正弦定理化簡求解即可. 【詳解】 (1)222222222222tansincos2tansincos2acbcccbacbacabcbbcabcbab222222222234223ababaaabba(2)由(1)tan2tancb,故tantantantan()tan()tantan1bcabcbcbc2tantan2tan2tan11tan12 tan12tan

14、tanbbbbbbbb,因?yàn)?223bac故b為銳角 . 的故1121412tan2 2tantantanbbbb. 故答案為： (1). - 2(2). 24【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理的運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式的運(yùn)用,需要根據(jù)題意將正切函數(shù)化簡為正弦與余弦的表達(dá)式,進(jìn)而想到邊角的互化以及余弦定理的公式,屬于中等題型. 15. 現(xiàn)有 5個(gè)不同編號(hào)的小球，其中黑色球2 個(gè)，白色球2 個(gè)，紅色球1 個(gè)，若將其隨機(jī)排成一列，則相同顏色的球都不相鄰的概率是_ . 【答案】25【解析】【分析】根據(jù)題意可先求5 個(gè)小球排成一列的總共情況數(shù),再減去同一色相鄰與同兩色相鄰的情況得出相同顏色

15、的球都不相鄰的情況總數(shù), 再求概率即可. 【詳解】由題意,5 個(gè)不同的小球全排列為55120a, 同一色的有222223248aaa種,同二色的有22222324aaa種情況 . 故同一顏色的小球不相鄰的排列總數(shù)有120482448種. 故相同顏色的球都不相鄰的概率是4821205. 故答案為：25【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的綜合運(yùn)用,求事件的對立情況即可.屬于中等題型. 16. 對任意1,xe，關(guān)于x的不等式2lnlnxxaaxax ar恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ . 【答案】1【解析】分析】化簡2lnlnxxaaxax ar求得關(guān)于x的不等式 ,再分析所得的x的不等式與區(qū)間1,e的

16、關(guān)系列式求解即可 . 【 詳 解 】 由2lnlnln0 xxaaxaxxaxa,因 為ln0 xaxa的 兩 根 分 別 為12,axa xe,且aea恒 成 立 .故ln0 xaxa恒 成 立 即aaxe在1,xe上 恒 成 立 ,故11aaaee.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1. 故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)表達(dá)式恒成立的問題,包括含參數(shù)的不等式的求解以及分類討論的思想等.屬于中等題型 . 17. 正方形abcd的邊長為2，e，m分別為bc，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p是以c為圓心，ce為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)n在正方形abcd的邊上運(yùn)動(dòng)，則pmpnuu uu v uuu v的最小值是 _ . 【答

17、案】15【解析】【分析】先將pmpnuuuu r uuu r轉(zhuǎn)化為關(guān)于,cp cm cnu uu r uuuu r uu u r的向量表達(dá)式,再數(shù)形結(jié)合分析最值即可. 【詳解】易得1cpuuu r,2pm pncmcpcncpcm cncpcmcncpuuuu r u uu ruu uu ruuu ruuu ruu u ruuu u r uu u ruu u ruu uu ruu u ru uu r11cm cncpcmcncmcncmcnu uu u r uuu ruu u ruuuu ruu u ruuu u r uu u ru uu u ruu u r, 當(dāng)且僅當(dāng),cpcmcnuu u

18、ru uu u ruu u r同向時(shí)取等號(hào).即考慮1cmcncmcnuu uu r uu u ru uuu ruuu r的最小值即可 . 當(dāng)n與c重合時(shí) , 10115cmcncmcncmuu uu r uuu ru uu u ruuu ruu uu r. 當(dāng)n與c不重合時(shí) ,設(shè),cm cnuuu u r uu u r夾角為,由圖易得當(dāng)n在cd上時(shí)cos取最小值為15,當(dāng)n在m時(shí), cos取最大值為1,故1cos,15, 利用向量模長不等式有1cos1cm cncmcncmcncmcnu uu u r uuu ruuuu ru uu ruuu u ruuu ruu uu ru uu r1cos

19、115151155cncmcmcnu uu ruuuu ruu uu ru uu r,且兩次“” 不能同時(shí)取“= ” .故此時(shí)115cmcncmcnuu uu r uu u ru uuu ruuu r. 綜上所述 , pmpnuuu u r uuu r的最小值是15. 故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意找到定量關(guān)系進(jìn)行化簡再分析.屬于難題 . 三、解答題18. 已知函數(shù)1sinsin34xxxrfx. （1）求3f的值和fx的最小正周期；（2）設(shè)銳角abc的三邊a，b，c所對的角分別為a，b，c，且124af，2a，求bc的取值范圍 . 【答案】（ 1）12，；

20、（2）2 3,4【解析】【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式將fx化簡為1sin 226x，進(jìn)而求得3f的值和fx的最小正周期即可 . （2）根據(jù) (1)與124af可得3a，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的范圍即可. 【詳解】由題131sinsincos224xxxfx2131sinsincos224xxx11311cos2sin2sin 2444426xxx. （1）121sin32362f,22t. （2）11sin2264afa，0,2a，所以3a，利用正弦定理sinsinsinabcabc，解得4sin3bb，42sin33cb，所以42sinsin4sin363bcbbb，由于0

21、2032bcb，解得62b，所以2,633b，所以2 3,4bc，綜上可得bc的取值范圍是2 3, 4. 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題. 19. 如圖，三棱錐dabc中，adcd，4 2abbc，abbc. （1）求證：acbd；（2）若二面角dacb的大小為150且4 7bd時(shí)，求bcd的中線bm與面abc所成角的正弦值. 【答案】（ 1）證明見解析， （2）4228【解析】【分析】(1) 取ac中點(diǎn)o, 連bo,do,證明ac平面bod即可 . (2)由(1)在平面bod內(nèi)

22、作ozob,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解線面角的正弦值或直接利用向量的關(guān)系求解即可. 【詳解】（ 1）證明：取ac中點(diǎn)o, 連bo,do, adcd,abbc, acbo,acdo,bo do平面bod, 且bodooi, ac平面bod, 又bd平面bod, acbd. （2）由（ 1）知bod是二面角dacb的平面角 , 150bod, 又由ac平面bod知平面bod平面abc, 所以在平面bod內(nèi)作ozob, 則oz面abc, 可建如圖坐標(biāo)系, 又易得4ob, 故bod中由余弦定理可得4 3od, 于是可得各點(diǎn)坐標(biāo)為0, 4,0a,4,0,0b,0,4,0c,6,0, 2 3d,

23、 3,2,3m, 7,2,3bmuuuu r, 又平面abc的一個(gè)法向量為0,0,1nr, 所以直線bm與面abc所成角的正弦值342sin2856n bmn bmr uuuu rr uuuu r. 法二：由（ 1）知bod是二面角dacb的平面角 , 150bod. 作dpbo于p, 則由ac平面bod知dp平面abc, 且30dop, 又易得4ob, 故在bod中由余弦定理可得4 3od, sin2 3dpdodop. 又m為dc中點(diǎn) , 所以m到平面abc的距離132ddp. 因?yàn)? 7bd,8dc,4 2bc, 2225 14cos228bdbccddbcbd bc, 12bmbmbd

24、bcuuuu ruuu ruuu r22122 142bdbd bcbcuu u ruuu r uuu ruuu r. 所以直線bm與面abc所成角的正弦值342sin2856dbm. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線垂直的證明以及利用空間直角坐標(biāo)系或向量的方法求解線面角的方法,屬于中等題型 . 20. 已知ns是數(shù)列na的前n項(xiàng)和，已知11a且12nnnsns，*nn. （1）求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)*24141nnnabnnn，數(shù)列nb的前n項(xiàng)和為np，若112020np，求正整數(shù)n的最小值 . 【答案】（ 1）nan（2）1010【解析】【分析】(1)利用累乘法或構(gòu)造常數(shù)列求解ns再

25、求解na的通項(xiàng)公式即可. (2)利用裂項(xiàng)相消的方法求解前n項(xiàng)和np,再分析求正整數(shù)n的最小值即可. 【詳解】（ 1）解析 1： （累乘法）由1122nnnnsnnsnssn, 所以2n時(shí), 121121nnnnnssssssssl1114 311232 12n nnnnnnn, 又111sa也成立 , 所以12nn ns, 所以當(dāng)2n時(shí),1nnnassn, 又11a也成立 , 所以nan. 解析 2： （配湊常數(shù)數(shù)列）1122nnnnssnsnsnn1211nnssnnnn, 故1nsnn為常數(shù)列 , 即1112 12nssnn, 所以12nn ns, 所以當(dāng)2n時(shí),1nnnassn, 又11

26、a也成立 ,所以nan. 解析 3： （直接求na）1122nnnnnsnsnas, 所以112nnnas,兩式相減可得11121nnnnaaannannn, 又因?yàn)?2a, 所以212naan, 即當(dāng)2n時(shí),nan, 當(dāng)1n也成立 , 故nan. （2）解析（裂項(xiàng)相消） ：由上題可知241111412121nnnnbnnn, 所以1111111111335572121nnnpnnl11121nn, 所以11201912120202npnn, 故n的最小值為1010. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解通項(xiàng)公式的方法, 同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消的應(yīng)用與數(shù)列不等式的方法等. 屬于

27、中等題型 . 21. 已知點(diǎn)f是拋物線c：24yx的焦點(diǎn)，直線l與拋物線c相切于點(diǎn)000,0p xyy，連接pf交拋物線于另一點(diǎn)a，過點(diǎn)p作l的垂線交拋物線c于另一點(diǎn)b. （1）若01y，求直線l的方程；（2）求三角形pab面積s的最小值 . 【答案】（ 1）122yx， （2）16【解析】【分析】(1)求得1,14p,再設(shè)直線l的方程 ,聯(lián)立拋物線方程令二次方程0求解即可 . (2)設(shè)切線l的方程為00t yyxx,211,4yay,222,4yby,根據(jù)a,f,p三點(diǎn)共線求得104y y,再化簡求得a到直線pb的距離 , 進(jìn)而表達(dá)出三角形pab面積 , 再利用基本不等式的方法求最小值即可.

28、 【詳解】（ 1）由01y得1,14p, 設(shè)直線l的方程為114t yx, 由21144t yxyx得24410ytyt, 因?yàn)橹本€l與拋物線c相切 ,故2164 410tt, 解得12t. 故所求直線l的方程11124yx, 即122yx. （2）設(shè)切線l的方程為00t yyxx,211,4yay,222,4yby, 又由a,f,p三點(diǎn)共線 , 故/ /fafpuu u ruu u r,2111,4yyfau uu r,2001,4yfpyu uu r, 化簡可得 ,104y y, 20044,ayy, 由0024t yyxxyx得2004440ytyyx, 因?yàn)橹本€l與拋物線c相切 ,故024yt, 即02yt, 故直線pb的方程為0002yyyxx,30002204yy xyy, 因此點(diǎn)a到直線pb的距離為302200220004244444yyyydyyy, 由3000222044yy xyyyx得23000880y yyyy,0208yyy,2