北京市朝陽區(qū)2020屆高三聯(lián)考(B卷)數(shù)學(xué)(含答案)

1、120192020學(xué)年度高三年級測試題數(shù)學(xué)試卷 b （考試時(shí)間120分鐘滿分 150 分）本試卷分為選擇題（共40 分）和非選擇題（共110 分）兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 第一部分（選擇題共 40 分）一、選擇題共10 小題，每小題4 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知命題p：xr，e1x，那么命題p的否定為（a）0 xr，0e1x（b）xr，e1x（c）0 xr，0e1x（d）xr，e1x（2）設(shè)集合2|340zaxxx，2 |e1xbx，則ab= （a） 1,0,1,2（b） 1,

2、2)（c） 1,0,1 （d） 1,2（3）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是（a）3( )2f xx（b）12( )log|f xx（c）3( )3f xxx（d）( )sinf xx（4）已知3log2a，0.2log0.3b，11tan3c，則a，b，c的大小關(guān)系是（a）cba（b）bac（c）cab（d）bca（5）為了宣傳今年9月即將舉辦的 “ 第十八屆中國西部博覽會” （簡稱 “ 西博會 ” ） ，組委會舉辦了 “ 西博會 ” 知識有獎問答活動. 在活動中，組委會對會議舉辦地參與活動的1565歲市民進(jìn)行隨機(jī)抽樣，各年齡段人數(shù)情況如下：2組號分組各組人數(shù)各組人數(shù)頻

3、率分布直方圖第1組15, 25)10第2組25,35)a第3組35,45)b第4組45,55)c第5組55,65d根據(jù)以上圖表中的數(shù)據(jù)可知圖表中a和x的值分別為（a）20，0.15（b）15，0.015（c）20，0.015（d）15，0.15（6）已知向量(2,2 3)a，若16=3a b，則b在a上的投影是（a）34（b）34（c）43（d）43（7）某三棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐中最長的棱的長度為（a）5（b）3（c）6（d）2 3（8）已知abc，則 “sincosab” 是“abc是直角三角形 ” 的（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充分必要條件（d）既不充分

4、也不必要條件（9）“ 楊輝三角 ” 是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年 . 如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記na為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,構(gòu)成的數(shù)列na的第n項(xiàng)，則100a的值為（a）5049 （b）5050 （c）5051 （d）5101 （10）關(guān)于函數(shù)2( )(1)exf xxax，有以下三個(gè)結(jié)論：3函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)之積為1；函數(shù)的極值點(diǎn)不可能是1；函數(shù)必有最小值. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（a）0 個(gè)（b）1 個(gè)（c）2 個(gè)（d）3 個(gè)第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題共5 小題，每小題5 分，共 25 分。（11）

5、在52()xx的二項(xiàng)展開式中，3x的系數(shù)為 _ （用數(shù)字作答）（ 12）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且滿足| 5z，6zz，則z的實(shí)部為_，虛部為（13）設(shè)無窮等比數(shù)列na的各項(xiàng)為整數(shù)，公比為q，且| 1q，2312aaa，寫出數(shù)列na的一個(gè)通項(xiàng)公式_（14） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(0,1)a，(1,1)b，p為直線ab上的動點(diǎn)，a關(guān)于直線op的對稱點(diǎn)記為q，則線段bq的長度的最大值是_（15）關(guān)于曲線22:4c xxyy，給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線c關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不關(guān)于x軸、y軸對稱； 曲線c恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）； 曲線c上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不

6、大于2 2其中，正確結(jié)論的序號是_注：本題給出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求。全部選對得5 分，不選或有錯(cuò)選得0 分，其他得 3 分。三、解答題共6 小題，共 85 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16） （本小題 13 分）已知：函數(shù)1( )cossin()(0)64f xxx；向量( 3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，且0，( )f xm n；4函數(shù)1( )sin(2)(0,|)22f xx的圖象經(jīng)過點(diǎn)1(,)6 2請?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答. 已知 _，且函數(shù)( )f x的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為2（）若02，且1sin2，

7、求( )f的值；（）求函數(shù)( )f x在0,2上的單調(diào)遞減區(qū)間. 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（17） （本小題 14 分）體溫是人體健康狀況的直接反應(yīng)，一般認(rèn)為成年人腋下溫度t（單位：c）平均在36 c37 c之間即為正常體溫，超過37.1 c即為發(fā)熱發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：37.138t；高熱：3840t；超高熱（有生命危險(xiǎn)）：40t.某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12 日至 26 日住院治療 . 醫(yī)生根據(jù)病情變化，從14 日開始，以3 天為一個(gè)療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進(jìn)行消炎退熱. 住院期間，患者每天上午8:00 服藥，護(hù)士每天下午16:

8、00 為患者測量腋下體溫記錄如下：抗生素使用沒有使用使用 “ 抗生素 a” 治療使用 “ 抗生素 b” 治療5情況日期12 日13 日14 日15 日16 日17 日18 日19 日體溫（c）38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用情況使用 “ 抗生素 c” 治療沒有使用日期20 日21 日22 日23 日24 日25 日26 日體溫（c）38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 （）請你計(jì)算住院期間該患者體溫不低于39 c的各天體溫平均值；（） 在19日23日期間，醫(yī)生會隨機(jī)選取3天在測量體溫的同時(shí)為該患者進(jìn)行某一

9、特殊項(xiàng)目“項(xiàng)目”的檢查，記x為高熱體溫下做“項(xiàng)目”檢查的天數(shù)，試求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；（）抗生素治療一般在服藥后2-8 個(gè)小時(shí)就能出現(xiàn)血液濃度的高峰，開始?xì)缂?xì)菌，達(dá)到消炎退熱效果 .假設(shè)三種抗生素治療效果相互獨(dú)立，請依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由（18） （本小題 15 分）在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd底面abcd為梯形，abcd，abad，且1ab，2paaddc，22pd（）求證：abpd；（）求二面角pbcd的余弦值；（）若m是棱pa的中點(diǎn)，求證：對于棱bc上任意一點(diǎn)f，mf與pc都不平行 . 6（19） （本小題 14 分）已知橢圓2222:1

10、(0)xycabab的離心率為12，過橢圓右焦點(diǎn)f的直線l與橢圓交于a，b兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|3ab. （）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)p（異于點(diǎn)f） ，使x軸上任意點(diǎn)到直線pa，pb的距離均相等？若存在，求p點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. （20） （本小題 15 分）已知函數(shù)2( )e()xf xaxar（）若曲線( )yf x在(1,(1)f處的切線與x軸平行，求a；（）已知( )f x在0,1上的最大值不小于2，求a的取值范圍；（）寫出( )f x所有可能的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的a的取值范圍 （請直接寫出結(jié)論）7（21） （本小題 14 分）

11、已知集合12|(,),0,1,1,2, (2)nnisx xx xxxin n，對于12(,)naa aans，12(,)nnbb bbs， 定義a與b的差為1122(|,|,|)nnabababab；a與b之間的距離為1122( , )= |+|nnd a bababab（）若(0,1)ab，試寫出所有可能的a，b；（）, ,na b cs，證明：(,)( ,)d ac bcd a b；（）, ,na b cs，( ,), (,),( ,)d a b d a cd b c三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論. 20192020學(xué)年度高三年級測試題數(shù)學(xué) b 參考答案第一部分（選擇題共 40 分

12、）一、選擇題（共10 小題，每小題4 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）（1）a （2） c （3）c （4） a （5）c （6）d （7） b （8）d （9） b （10） d 第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題（共5 小題，每小題5 分，共 25 分）（11）80（12）3, 4（13）1*2()nnann（答案不唯一）（14）21（15）三、解答題（共6 小題，共85 分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）（16） （本小題 13 分）解：方案一：選條件因?yàn)?( )cossin()64f xxx81cos(sincoscossin)6

13、64xxx2311sincoscos224xxx31sin 2cos244xx 3分131(sin2cos2)222xx1sin(2)26x，又22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分方案二：選條件因?yàn)? 3sin,cos2)xxm，11(cos,)24xn，所以311( )sincoscos2sin(2)2426f xxxxxm n. 又22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分方案三：選條件由題意可知，22t，所以1，所以1( )sin(2)26f xx. 1 分又因?yàn)楹瘮?shù)( )f x圖象經(jīng)過點(diǎn)1(, )6 2，所以11sin(2)226. 3分因

14、為|2，所以6，所以1( )sin(2)26f xx. 5 分（）因?yàn)?2，1sin2，所以6. 7分9所以11( )()sin6222ff. 9 分（）由3222,262kxkkz，得2,63kxkkz 12 分令0k，得263x，令1k，得7563x，所以函數(shù)( )f x在0,2上的單調(diào)遞減區(qū)間為2,63，75,63. 13 分（17） （本小題 14 分）解:（）由表可知， 該患者共6 天的體溫不低于39 c，記平均體溫為x， 1分1(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55 c6x 4 分所以，患者體溫不低于39 c的各天體溫平均值為39.55 c. （）x的所有

15、可能取值為0,1,2 5 分3032351(0)10c cp xc, 6 分21323563(1)105c cp xc, 7 分1232353(2)10c cp xc 8 分則x的分布列為： 9 分x012p 11035310所以1336()012105105e x 11 分（） “抗生素 c”治療效果最佳可使用理由：10“抗生素b”使用期間先連續(xù)兩天降溫1.0c又回升 0.1c， “抗生素c”使用期間持續(xù)降溫共計(jì)1.2c，說明“抗生素c”降溫效果最好，故“抗生素 c”治療效果最佳抗生素 b”治療期間平均體溫39.03c，方差約為0.0156； “抗生素c”平均體溫38c，方差約為0.1067

16、， “抗生素c”治療期間體溫離散程度大，說明存在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)降溫效果明顯， 故“抗生素 c”治療效果最佳 14分“抗生素b”治療效果最佳可使用理由：（不說使用“抗生素b”治療才開始持續(xù)降溫扣1 分）自使用“抗生素b”開始治療后，體溫才開始穩(wěn)定下降，且使用“抗生素b”治療當(dāng)天共降溫0.7c，是單日降溫效果最好的一天，故“抗生素b”治療效果最佳 14 分（開放型問題，答案不唯一，但答“抗生素a”效果最好不得分，理由與結(jié)果不匹配不得分，不用數(shù)據(jù)不得分）（18） （本小題 14 分）解: （）因?yàn)槠矫鎍bcd平面pad， 1 分平面abcd平面padad, 2 分ab平面abcd,abad， 3 分所

17、以ab平面pad, 4 分又因?yàn)閜d平面pad，所以abpd 5 分（）因?yàn)?paad，22pd，所以paad由（）得ab平面pad，所以abpa，故,ab ad ap兩兩垂直如圖 , 以a為原點(diǎn)，,ab ad ap所在直線分別為, ,x y z軸，建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則(0,0,2)p，(1,0,0)b，(2,2,0)c，(0,2,0)d 6 分因?yàn)閜a平面bcd，所以平面bcd的一個(gè)法向量是(0,0,1)nm f 11而(1,0, 2)pb，(2,2, 2)pc，設(shè)平面pbc的一個(gè)法向量為( , , )x y zm則由0,0,pbpcmm得20,2220.xzxyz取1z，有(2,

18、 1,1)m， 8 分所以16cos,66n mn mn m 10 分由題知，二面角pbcd為銳角，所以二面角pbcd的余弦值為66 11 分（）假設(shè)棱bc上存在點(diǎn)f，/mfpc， 設(shè),0,1bfbc 12分依題意，可知(0,0,1)m，(1,2,0)bc，(1,2 ,0)f， 13 分所以(1,2 , 1)mf，(2,2, 2)pc 14 分根據(jù)假設(shè)，有12 ,22 ,12 ,而此方程組無解，故假設(shè)錯(cuò)誤，問題得證 15 分（19） （本小題 14 分）解： （）由題意得：222223,1,2,bacaabc1 分解得 :2,3,1abc2 分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22143xy3 分（ii）

19、依題意，若直線l的斜率不為零，可設(shè)直線:1(0)lxmym，1122(,),(,)a xyb xy假設(shè)存在點(diǎn)p，設(shè)0(,0)p x，由題設(shè)，01x，且01xx，02xx. 設(shè)直線,pa pb的斜率分別為12,k k，12則12121020,yykkxxxx 4 分因?yàn)?122(,),(,)a xyb xy在1xmy上，故11221,1xmyxmy 5 分而x軸上任意點(diǎn)到直線,pa pb距離均相等等價(jià)于“pf平分apb”，繼而等價(jià)于120kk6 分則12121020yykkxxxx12210121020()()()x yx yxyyxxxx1201210202(1)()0()()my yxyyx

20、xxx8 分聯(lián)立221431xyxmy，消去x，得：22(34)690mymy，有12122269,3434myyy ymm10 分則0012221020102018662460(34)()()(34)()()mmmxmmxkkmxxxxmxxxx，即040mmx，故04x或0m（舍） 13 分當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，(4,0)p也符合題意故存在點(diǎn)(4,0)p，使得x軸上任意點(diǎn)到直線,pa pb距離均相等 14 分（20） （本小題 15 分）解： （）因?yàn)?( )e()xf xaxar，故( )e2xfxax 1 分依題意(1)e20fa，即e2a 2 分當(dāng)e2a時(shí)，e(1)02f，此時(shí)切線不

21、與x軸重合，符合題意 ，因此e2a 3分13（）由（）知，( )e2xfxax,當(dāng)0a時(shí)，因?yàn)?,1x,e0 x,20ax，故( )0fx，即( )f x單增，因此max( )(1)ef xfa依題意 ，當(dāng)0a時(shí)，max( )=ee2f xa， 所以0a符合題意 5分當(dāng)0a時(shí)，( )e2xfxa，令( )0fx，有l(wèi)n 2xa 6 分( )fx,( )fx變化如下：x(,ln 2 )aln2 a(ln 2 ,)a( )fx0 + ( )fx極小值故min( )22 ln22 (1 ln2 )fxaaaaa 7 分當(dāng)1ln 20a時(shí)，即e02a時(shí)，( )0fx，( )fx單調(diào)遞增，因此max(

22、)(1)efxfa依題意，令e2a，有0e2a 8 分當(dāng)1ln 20a時(shí)，即e2a時(shí)，(1)e20fa,(0)10f，故存在唯一0(0,1)x使0()0fx 9 分此時(shí)有00e20 xax，即00e2xax ，( )fx,( )f x變化如下： 10 分x0(0,)x0 x0(,1)x( )fx+0 ( )f x極大值所以00020max00e( )()ee2xxxxfxf xax，0(0,1)x 11分依題意，令e( )e2xxxg x，(0,1)x，則(1)e( )02xxgx，( )g x在(0,1)單調(diào)遞增，所以e( )(1)22g xg，所以max( )2f x，此時(shí)不存在符合題意的

23、a 14綜上所述，當(dāng)(,e2a，( )f x在0,1上的最大值不小于2，若(,e2a，則( )fx在0,1上的最大值小于2，所以a的取值范圍為(,e212 分解法二：（）當(dāng)0,1x時(shí)，( )f x最大值不小于2，等價(jià)于2( )e2xf xax在0,1x上有解，顯然0 x不是解 ,即2e2xax在(0,1x上有解，4 分設(shè)2e2( )xg xx，(0,1x,則3e2e4( )xxxgxx5 分設(shè)( )e2e4xxh xx，(0,1x，則( )e (1)0 xh xx所以( )h x在 (0,1 單調(diào)遞減，( )(1)4e0h xh， 7 分所以( )0gx，所以g( )x在(0,1單調(diào)遞增，9

24、分所以maxg( )(1)e2xg10分依題意需e2a,所以 a 的取值范圍為(,e212 分解法三 : （）由（）知，( )e2xfxax,（1）當(dāng)e2a時(shí)，( )e2eexxfxaxx,設(shè)( )ee0,1xh xx x，( )ee0 xh x,所以( )h x在0,1單調(diào)遞減，故( )(1)0h xh 5 分所以( )0fx，所以()fx在 0,1 單調(diào)遞增，因此max( )(1)efxfa 7 分依題意，令e2a，得e2a 8分15（2）當(dāng)e2a時(shí)，22e( )ee2xxf xaxx,設(shè)2e( )e2xxx,0,1x,則( )ee( )0 xxxh x,所以( )x在0,1單調(diào)遞增， 10 分故maxee( )(1)e222x，即( )2fx，不符合題意 11 分綜上所述，a 的取值范圍為(,e2 12 分（iii）當(dāng)0a時(shí)，( )yf x有 0 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)2e04a時(shí)，( )yf x有 1 個(gè)零點(diǎn)當(dāng)2e4a時(shí)，( )yf x有 2 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)2e4a時(shí)，( )yf x有 3 個(gè)零點(diǎn) 15 分（21） （本小題14 分）解： （）(0, 0),(0,1)ab；(0, 1),(0, 0)ab； 1 分(