雙因素方差分析

1、雙因素方差分析一、雙因素方差分析的含義和類型（一）雙因素方差分析的含義和內(nèi)容在實際問題的研究中， 有時需要考慮兩個因素對實驗結(jié)果的影響。例如上一節(jié)中飲料銷售量的例子，除了關(guān)心飲料顏色之外，我們還想了解銷售地區(qū)是否影響銷售量，如 果在不同的地區(qū)，銷售量存在顯著的差異，就需要分析原因，采用不同的推銷策略，使 該飲料品牌在市場占有率高的地區(qū)繼續(xù)深入人心，保持領(lǐng)先地位，在市場占有率低的地區(qū)，進一步擴大宣傳，讓更多的消費者了解，接受該產(chǎn)品。在方差分析中，若把飲料的顏色看作影響銷售量的因素A ,飲料的銷售地區(qū)看作影響因素B。同時對因素 A和因素B進行分析，就稱為雙因素方差分析。雙因素方差分析的內(nèi)容包括：對

2、影響因素進行檢驗，究竟一個因素在起作用，還是 兩個因素都起作用，或是兩個因素的影響都不顯著。雙因素方差分析的前提假定：采樣地隨機性，樣本的獨立性，分布的正態(tài)性，殘差方 差的一致性。（二）雙因素方差分析的類型雙因素方差分析有兩種類型：一個是 無交互作用的雙因素方差分析 ，它假定因素 A 和因素B的效應(yīng)之間是相互獨立的， 不存在相互關(guān)系；另一個是有交互作用的雙因素方 差分析，它假定因素A和因素B的結(jié)合會產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)。例如，若假定不同地 區(qū)的消費者對某種品牌有與其他地區(qū)消費者不同的特殊偏愛，這就是兩個因素結(jié)合后產(chǎn)生的新效應(yīng)，屬于有交互作用的背景；否則，就是無交互作用的背景。有交互作用的雙 因素

3、方差分析已超出本書的范圍，這里介紹無交互作用的雙因素方差分析。1. 無交互作用的雙因素方差分析。無交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨立的，不存在相互關(guān)系；2. 有交互作用的雙因素方差分析。有交互作用的雙因素方差分析是假定因素A和因素B的結(jié)合會產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)。例如，若假定不同地區(qū)的消費者對某種顏色有與其他地區(qū)消費者不同的特殊偏愛，這就是兩個因素結(jié)合后產(chǎn)生的新效應(yīng)，屬于有交互作用的背景，否則，就是無交互作用 的背景。二、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方差分析的基本思想： 通過分析研究中不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而 確定可控因素對研究結(jié)果影響力的大小。下面用一個簡單的例子來說明方

4、差分析的基本思想：如某克山病區(qū)測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L ）如下：患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？從以上資料可以看出，24個患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數(shù)的變異情況，則總變異有以下兩個來源：組內(nèi)變異，即由于隨機誤差的原因使得各組內(nèi)部的血磷值各不相等；組間變異，即由于克

5、山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數(shù)大小不等。而且：SS總=，組間+SS組內(nèi)v總組間+v組內(nèi)如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數(shù)不同的影響，則方差分析就是用組內(nèi)均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較,若F值接近1,則說明各組均數(shù)間的差異沒有統(tǒng)計學意義，若F值遠大于1,則說明各組均數(shù)間的差異有統(tǒng)計學意義。實際應(yīng)用中檢驗假設(shè)成立條件下 F值大于特定值的概率 可通過查閱F界值表（方差分析用）獲得。因素A位于列的位置，共有個水平，為一表示第j種水平的樣本平均數(shù)；因素B位于行的位置，共有 k個水平，氏表示第I種水平的樣本平均數(shù)。X為樣本總平均數(shù)樣本容量為 n

6、 = r x k 。每一個觀察值Xj是由因素A的r個水平和因素B的k個水平所組成的rXk總體中 抽取的樣本容量為1的獨立隨機樣本。在進行雙因素方差分析時，假定在 rxlc個總體中，每一個總體都服從正態(tài)分布， 而且有相同的方差。三、離差平方和的分解與單因素方差分析相類似，進行雙因素方差分析時也需要將總離差平方和 SST進行 分解。但不同的是，這里需要將 SST分解成三個組成部分：即SSA:反映因素A的組間差異SSB:反映因素B的組間差異SSE:隨機誤差的離散狀況它們的計算公式分別為：ezzE（i）湖二旗如棚-JJ（2）潮=££站坤=源打-寸（3）SSE = SST - SSA

7、 -SSB （4）雙因素方差分析表如下：表78雙因素方差分析表誤差來源離差平方和自由度均方差F值A(chǔ)因素SSAr - 1MSA = SSA/(x - 1)Fa = hisaiseB因素SSBKTMSB = SSB/(K-1)fd = msb/mse1天差3SE(i-l) (k-1)MSE = SSE/(r-l) (k-1)SSTn - 1例題：某商品有五種不同的包裝方式，在五個不同地區(qū)銷售?，F(xiàn)從每個地區(qū)隨機抽取一個規(guī)模相同的超級市場，得到該商品不同包裝的銷售資料如表7-9所示。表7-9某種商品不同地區(qū)不同包裝的銷售資料包裝方式Ai&AsAs銷Di2012201014售氏221020126

8、地B32414181810區(qū)1648618(B)Bs2622162010試問，包裝方式和銷售地區(qū)對該商品銷售量是否有顯著影響（a = 0.05 ?解：從上表可看出，設(shè)包裝方式為因素 A,銷售地區(qū)為因素 B。如果五種包裝方式的銷售均值相等，則表明不同的包裝方式在銷售上沒有差別；同理，如果五個地區(qū)銷售均值相等，則表明不同地區(qū)在銷售上沒有影響。所以，方差分析的過程為：（一）建立假設(shè)：用A、B分別來表示兩個因素。因素 A位丁列的位置，有r個水平；因素B 位丁行的位置，有k個水平，因素A和因素B共有r x k種不同的水平組合。我 們對每一種水平組合進行一次試驗，其試驗結(jié)果用Xj來表示。并且假定這rxk個

9、觀察值均服從正態(tài)分布，且有相同的方差。全部試驗結(jié)果如下表：表8-9雙因素方差分析數(shù)據(jù)表素 A( j )AjArXi .因素 B( i)'''XAiA?BiX11X12XijXirXi.b2X21X22X 2 jX?rX2.-aBiXiiXi2X 八ijXirXi .-aBkXkiX k 2X kjXkrXk.X jXiX2.X j.X r.X-1 r(5)xi .=寸 xij, (i =1,2，k)r J，表示第i行試驗數(shù)值的平均數(shù)。kx j.=_'、x i j , (j = 1,2, r )k，表示第j列試驗數(shù)值的平均數(shù)。r k-1(7)x = '、&

10、#39;' x ijrk j 2，表示，乂k個試驗數(shù)值的平均數(shù)。對上表中的數(shù)據(jù)可以這樣來理解，假設(shè) A、B兩因素對試驗結(jié)果沒有影響,那么r xk個觀察值x"就是來自同一正態(tài)總體的同一個樣本的隨機變量，各個xij之間的變異，純是隨機因素所產(chǎn)生的隨機誤差，從而各列問的平均數(shù)應(yīng)是相 等的，且等丁總體平均數(shù)。各行問的平均數(shù)也應(yīng)相等，也等丁總體平均數(shù)。如有 差異，也是隨機誤差。假如兩個因素對試驗結(jié)果有影響， 則表現(xiàn)在各列平均數(shù)之 間和各行平均數(shù)之間就有明顯的差異， 這種差異除隨機誤差之外，還包含了系統(tǒng) 偏差，這時就不能認為各個觀察值是來自同一正態(tài)總體的樣本隨機變量了。所以，我們可以做如

11、下假設(shè)：對因素A, H。1 ：訴=&=出因素A各水平之間無差別因素B各水平之間無差別對因素B, H。2 ： =日2 =Hi通過方差分析，就能對統(tǒng)計假設(shè)是否可信作出一定程度的判斷。對于此題：對因素A:包裝方式之間無差別L阪，為不全等 包裝方式之間有差別對因素B:：兩二陽=H廣“4 =出地區(qū)之間無差異L - 口 用，四，兩不全等 地區(qū)之間有差異(二) 計算F值：1. 計算各種均值因素A的列均值分別為：z.i = 21.6,w =12.4, Xi = 16,4,1,4 = 13.2, xj =11.6(2)因素B的行均值分別為xl = 15.2j2, = 14, X3, = 16.8,14

12、=10.4, xj, = 18.8（3）總均值 x = 15.042. 計算各種離差平方和于是，由公式（1） （4）有：=（20-15.04）2 +（12-1504）2 + +（20-15 04）2+（10-15 04）J = 880.96SSA = EzRj-/ = £血-J= 5x（2L6- 15.0邳 +5 x11一6-15一04二 335 36=-I:1-廣-SSE = SST-SSA-SSB=880.96-335.36-199.36 = 346.243. 計算各種均方差饋=絲=竺色咐r-15-1MSB 二SSB199,365-1= 49.84廠 SSS 346.24、MSE ；7 = 777T = 21.64（si 康-1） （5-1/5-1）4.計算F值MSA83 84A 3,874307MSB21.64宜 MSB49 84F.=2,303142MSS21.64若使用計算機，Excel的輸出結(jié)果如下：雙因素方差分析表差異源SSdfMSFP-valueFcrit行（因素B）199.36449.842.3031420.1031953.006917列（因素A）335.36483.843.8743070.0218863.006917誤差34