傅里葉變換公式-傅里葉變換定義公式

1、第 2章信號(hào)分析本章提要 信號(hào)分類 周期信號(hào)分析 - 傅里葉級(jí)數(shù) 非周期信號(hào)分析 - 傅里葉變換 脈沖函數(shù)及其性質(zhì) 信號(hào)：反映研究對(duì)象狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)特征的物理量 信號(hào)分析 ：從信號(hào)中提取有用信息的方法 和手段§2 1 信號(hào)的分類兩大類： 確定性信號(hào)，非確定性信號(hào) 確定性信號(hào) ： 給定條件下取值是確定 的。進(jìn)一步分為：周期信號(hào)， 非周期信號(hào)。質(zhì)量彈簧系 k統(tǒng)的力學(xué)模型 x(t) Acos kt 0 m非確定性信號(hào)(隨機(jī)信號(hào)) ： 給定條件下 取值是不確定的按取值情況分類： 模擬信號(hào) ，離散信號(hào) 數(shù)字信號(hào) ：屬于離散信號(hào)， 幅值離散， 并用二進(jìn)制表示。信號(hào)描述方法 時(shí)域描述 如簡(jiǎn)諧信號(hào)簡(jiǎn)諧信

2、號(hào)及其三個(gè)要素頻域描述以信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)來描述信號(hào)的方 法: 將信號(hào)看成許多諧波 (簡(jiǎn)諧信號(hào)) 之 和，每一個(gè)諧波稱作該信號(hào)的一個(gè)頻率 成分，考察信號(hào)含有那些頻率的諧波， 以及各諧波的幅值和相角。<page break>§22 周期信號(hào)與離散頻譜一、 周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù) 形式周期信號(hào)時(shí)域表達(dá)式x(t) x(t T) x(t 2T) x(t nT)(n 1， 2 ， )T：周期。注意n的取值：周期信號(hào) “無始無 終”#傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開式x(t) a0(an cosn 0t bn sinn 0t) n1（n=1, 2, 3，）傅立葉系數(shù) ：a0T2T x(t)

3、dt2Tanbn2T x(t)cosn 0tdt2T2T x(t)sinn 0tdt2式中 - 周期； 0- 基頻 , 0=2 /T。 三角函數(shù)展開式的另一種形式：Anan2 bn2ann 1, 2, 3,周期信號(hào)可以看作均值與一系列諧波之和- 諧波分析法頻譜圖Ann0 20 2周期信號(hào)的頻譜三個(gè)特點(diǎn)： 離散性、諧 波性、收斂性例 1 ：求周期性非對(duì)稱周期方波的傅立葉級(jí)數(shù)并畫出頻譜圖解：非對(duì)稱周期方波周期方波解：信號(hào)的 基頻 傅里葉系數(shù)bn T4T4A奇函數(shù)： a0 an 0T2T x(t)sin n 0tdt2T2 Asin n0t 的偶函數(shù)0tdt 2 A 1 cosnnn為奇數(shù)n為偶數(shù)n

4、次諧波的幅值和相角Anan2 bn2 bn 4 An(n 1,3,5, )最后得 傅立葉級(jí)數(shù)x(t )4A cos(n 0tnn2 ) (n 1,3,5, )頻譜圖An4A4A 4An3503 05 02幅頻譜圖 相頻譜圖二、 周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形 式歐拉公式e j t cos t jsin t1 j t j t cos t e e2j j t j t sin t e e傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式x(t)cnejn 0 t(n 0, 1, 2, 3, )n復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù) 的表達(dá)式c0 a0T1 2T x(t)dtT2cnan jbn21 T jn t1 2T x(t)e jn 0tdtT2

5、其中an，bn的計(jì)算公式與三角函數(shù)形式相 同，只是 n包括全部整數(shù)一般 cn是個(gè)復(fù)數(shù) 因?yàn)閍n是n的偶函數(shù) ，bn是n的奇函數(shù)， 因此 #即：實(shí)部相等，虛部相反， cn與 c-n共軛cn的復(fù)指數(shù)形式 共軛性還可以表示為 即： cn與c-n模相等，相角相反。傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號(hào)頻率結(jié) 構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系對(duì)于 n>0cnan2 ( bn )22An2等于三角函數(shù)模的一半）與三角函數(shù)形式中的相角相等）arctgbnanarctg bnan用cn畫頻譜：雙邊頻譜第 一 種 ： 幅 頻 譜 圖 :| cn|- ， 相 頻 譜 圖: n-#§23 非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜 分兩類

6、： a. 準(zhǔn)周期信號(hào)定義：由沒有公共周期 （頻率） 的周期 信號(hào)組成頻譜特性：離散性，非諧波性 判斷方法： 周期分量的頻率比 （或周期 比）不是有理數(shù) b. 瞬變非周期信號(hào)x(t)x(t)x(t)ttt幾種瞬變非周期信號(hào) 數(shù)學(xué)描述 ：傅里葉變換 一、 傅里葉變換演變思路 ：視作周期為無窮大的周期信號(hào)式（ 2.22）借助（ 2.16）演變成：X()的傅里葉反變換 x(t):1x(t)X ( )e j td傅里葉變換的頻譜意義 ：一個(gè)非周期信 號(hào)可以分解為角頻率 連續(xù)變化的無數(shù) 諧波的疊加 。稱X( )其為函數(shù) x(t)的頻譜密度函 數(shù)。對(duì)應(yīng)關(guān)系 ：X ( )dcn e jn 0tX( )描述了

7、x(t)的頻率結(jié)構(gòu)X( )的指數(shù)形式 為X( ) X( )ej ( )以頻率 f (Hz)為自變量，因?yàn)閒 =w/(2p )， 得X ( f ) x(t)e j2 f tdtx(t)X ( f )ej2 f tdfX( f )的指數(shù)形式頻譜圖幅值頻譜圖和相位頻譜圖：幅值頻譜圖相位頻譜圖實(shí)頻譜圖 ReX( ) 和虛頻譜圖 Im() 如果 X( )是實(shí)函數(shù)，可用一 X( )圖表示。 負(fù)值理解為幅值為 X( )的絕對(duì)值，相角為或。、 傅里葉變換的主要性質(zhì)一) 疊加性a1x1(t) a2x2(t) FT a1X1(f ) a2X 2(f )(二) 對(duì)稱性(注意翻轉(zhuǎn))三) 時(shí)移性質(zhì)x(t t0) FT

8、X( f)e j2 f t0幅值不變，相位隨 f 改變± 2 ft0)四) 頻移性質(zhì)x(t)e j2 ft0 FT X(f f0) 注意兩邊正負(fù)號(hào)相反)五) 時(shí)間尺度改變特性微分性質(zhì)(六)七)d x(t) FT (j2 f )n X(f )dtn卷積性質(zhì)1)卷積定義x(t) y(t) x( )y(t )d2)卷積定理x(t) y(t) FT X(f )Y(f)x(t)y(t) FT X(f) Y(f)、 脈沖函數(shù)及其頻譜 一） 脈沖函數(shù) ：x(t)1/x(t)(t)A (t t0)- /2/2tt0t定義 函數(shù)（要通過函數(shù)值和面積兩方面定 義）函數(shù)值： 脈沖強(qiáng)度（面積） （二） 脈沖

9、函數(shù)的樣質(zhì)1 脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì) ：x(t) (t t0)t00t0強(qiáng)度：x(t) (t t0)dt x(t0)(t t0)dt x(t0)結(jié)論：1. 結(jié)果是一個(gè)脈沖， 脈沖強(qiáng)度是 x(t) 在脈沖發(fā)生時(shí)刻的函數(shù)值2. 脈沖函數(shù)與任意函數(shù)乘積的積分 等于該函數(shù)在脈沖發(fā)生時(shí)刻的的值 。 2 脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì) ： (a) 利用結(jié)論 2x(t) (t) x( ) (t )dx(t) (t )dx(t)(b) 利用結(jié)論 2x(t) (t t0)x( ) (t t0 )dx(t t0)(t t0 )dx(t t0)三） 脈沖函數(shù)的頻譜(t) FT ( f )(t)e j2 ftdt 1均勻幅值譜由此導(dǎo)出的其他 3個(gè)結(jié)果(t t0) FT e j2 ft0利用時(shí)移性1 FT質(zhì)）利用對(duì)稱性質(zhì))e j 2 f0t FT( f f0)對(duì)上式，再用頻移性質(zhì)）四） 正弦函數(shù)和余