浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)高中物理帶電粒子在磁場中的運(yùn)動壓軸題易錯題

1、浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附屬中學(xué)高中物理帶電粒子在磁場中的運(yùn)動壓軸題易錯題一、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動壓軸題1如圖所示，在xoy 坐標(biāo)系中，第、象限內(nèi)無電場和磁場。第象限內(nèi)（含坐標(biāo)軸）有垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場，第象限內(nèi)有沿x 軸正向、電場強(qiáng)度大小為e的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q 的帶正電粒子，從x 軸上的 p點(diǎn)以大小為v0的速度垂直射入電場，不計粒子重力和空氣阻力，p、o 兩點(diǎn)間的距離為202mvqe。（1）求粒子進(jìn)入磁場時的速度大小v 以及進(jìn)入磁場時到原點(diǎn)的距離x；（2）若粒子由第象限的磁場直接回到第象限的電場中，求磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小需要滿足的條件?！敬鸢浮浚?1）02v；20mvq

2、e（2）0(21)ebv【解析】【詳解】（1）由動能定理有：2220011222mvqemvmvqe解得： v2v0設(shè)此時粒子的速度方向與y 軸負(fù)方向夾角為 ，則有 cos 022vv解得： 45根據(jù)tan21xy，所以粒子進(jìn)入磁場時位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為po 兩點(diǎn)距離的兩倍，故20mvxqe（2）要使粒子由第象限的磁場直接回到第象限的電場中，其臨界條件是粒子的軌跡與x 軸相切，如圖所示，由幾何關(guān)系有：sr+rsin 又：2vqvbmr解得：0(21)ebv故0( 21)ebv2核聚變是能源的圣杯，但需要在極高溫度下才能實現(xiàn)，最大難題是沒有任何容器能夠承受如此高溫。托卡馬克采用磁約束的方式，把

3、高溫條件下高速運(yùn)動的離子約束在小范圍內(nèi)巧妙實現(xiàn)核聚變。相當(dāng)于給反應(yīng)物制作一個無形的容器。2018 年 11 月 12 日我國宣布 “ 東方超環(huán) ” （我國設(shè)計的全世界唯一一個全超導(dǎo)托卡馬克）首次實現(xiàn)一億度運(yùn)行，令世界震驚，使我國成為可控核聚變研究的領(lǐng)軍者。（1）2018 年 11 月 16 日，國際計量大會利用玻爾茲曼常量將熱力學(xué)溫度重新定義。玻爾茲曼常量 k 可以將微觀粒子的平均動能與溫度定量聯(lián)系起來，其關(guān)系式為32kekt，其中k=1.38064910-23j/k。請你估算溫度為一億度時微觀粒子的平均動能（保留一位有效數(shù)字）。（2）假設(shè)質(zhì)量為m、電量為q 的微觀粒子，在溫度為t0時垂直進(jìn)入

4、磁感應(yīng)強(qiáng)度為b 的勻強(qiáng)磁場，求粒子運(yùn)動的軌道半徑。（3）東方超環(huán)的磁約束原理可簡化如圖。在兩個同心圓環(huán)之間有很強(qiáng)的勻強(qiáng)磁場，兩圓半徑分別為 r1、r2，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域內(nèi)的帶電粒子只要速度不是很大都不會穿出磁場的外邊緣，而被約束在該區(qū)域內(nèi)。已知帶電粒子質(zhì)量為m、電量為q、速度為 v，速度方向如圖所示。要使粒子不從大圓中射出，求環(huán)中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值?！敬鸢浮?(1)152 10jke (2)03kmtbq(3)222212r mvq rr【解析】【詳解】（1）微觀粒子的平均動能：1532 102kektj（2）2031ktmv22解得：03ktvm由2vbqvmr03km

5、trbq（3）磁場最小時粒子軌跡恰好與大圓相切，如圖所示設(shè)粒子軌跡半徑為r，由幾何關(guān)系得：22221rrrr解得22212:r2rrr由牛頓第二定律2qvbmvr解得 :222212br mvq rr3如圖所示，在兩塊長為3l、間距為l、水平固定的平行金屬板之間，存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場現(xiàn)將下板接地，讓質(zhì)量為m、電荷量為q 的帶正電粒子流從兩板左端連線的中點(diǎn)o 以初速度v0水平向右射入板間，粒子恰好打到下板的中點(diǎn)若撤去平行板間的磁場，使上板的電勢隨時間 t 的變化規(guī)律如圖所示，則t=0 時刻，從o 點(diǎn)射人的粒子p經(jīng)時間 t0(未知量 )恰好從下板右邊緣射出設(shè)粒子打到板上均被板吸收，粒子的

6、重力及粒子間的作用力均不計(1)求兩板間磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小b(2)若兩板右側(cè)存在一定寬度的、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，為了使t=0 時刻射入的粒子 p 經(jīng)過右側(cè)磁場偏轉(zhuǎn)后在電場變化的第一個周期內(nèi)能夠回到o 點(diǎn)，求右側(cè)磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件和電場周期t 的最小值tmin【答案】 （1）0mvbql（2）223cos2drarl；min0(6 32 )3ltv【解析】【分析】【詳解】（1）如圖，設(shè)粒子在兩板間做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r1，則0102qv bmvr由幾何關(guān)系：222113()()22llrr解得0mvbql（2）粒子 p從 o 點(diǎn)運(yùn)動到下板右邊緣的過程，有：0 03lv t011

7、22ylv t解得033yvv設(shè)合速度為v，與豎直方向的夾角為 ，則：0tan3yvv則=3002 3sin3vvv粒子 p在兩板的右側(cè)勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)做圓周運(yùn)動的半徑為r2，則212sinlr，解得233lr右側(cè)磁場沿初速度方向的寬度應(yīng)該滿足的條件為223cos2drrl；由于粒子p從 o 點(diǎn)運(yùn)動到下極板右側(cè)邊緣的過程與從上板右邊緣運(yùn)動到o 點(diǎn)的過程，運(yùn)動軌跡是關(guān)于兩板間的中心線是上下對稱的，這兩個過程經(jīng)歷的時間相等，則：2min0(22 )2rttv解得min06 323ltv【點(diǎn)睛】帶電粒子在電場或磁場中的運(yùn)動問題，關(guān)鍵是分析粒子的受力情況和運(yùn)動特征，畫出粒子的運(yùn)動軌跡圖，結(jié)

8、合幾何關(guān)系求解相關(guān)量，并搞清臨界狀態(tài).4正、負(fù)電子從靜止開始分別經(jīng)過同一回旋加速器加速后，從回旋加速器d 型盒的邊緣引出后注入到正負(fù)電子對撞機(jī)中正、負(fù)電子對撞機(jī)置于真空中在對撞機(jī)中正、負(fù)電子對撞后湮滅成為兩個同頻率的光子回旋加速器d 型盒中的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0b，回旋加速器的半徑為r，加速電壓為u； d 型盒縫隙間的距離很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計電子的質(zhì)量為m、電量為e，重力不計真空中的光速為c，普朗克常量為h（1）求正、負(fù)電子進(jìn)入對撞機(jī)時分別具有的能量e及正、負(fù)電子對撞湮滅后產(chǎn)生的光子頻率v（2）求從開始經(jīng)回旋加速器加速到獲得最大能量的過程中，d 型盒間的電場對電子做功的平均

9、功率p（3）圖甲為正負(fù)電子對撞機(jī)的最后部分的簡化示意圖位于水平面的粗實線所示的圓環(huán)真空管道是正、負(fù)電子做圓周運(yùn)動的“ 容器 ” ，正、負(fù)電子沿管道向相反的方向運(yùn)動，在管道內(nèi)控制它們轉(zhuǎn)變的是一系列圓形電磁鐵即圖中的a1、a2、a4an共有 n 個，均勻分布在整個圓環(huán)上每個電磁鐵內(nèi)的磁場都是勻強(qiáng)磁場，并且磁感應(yīng)強(qiáng)度都相同，方向豎直向下磁場區(qū)域的直徑為d改變電磁鐵內(nèi)電流大小，就可以改變磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，從而改變電子偏轉(zhuǎn)的角度經(jīng)過精確調(diào)整，首先實現(xiàn)電子在環(huán)形管道中沿圖甲中粗虛線所示的軌道運(yùn)動，這時電子經(jīng)過每個電磁鐵時射入點(diǎn)和射出點(diǎn)都在電磁鐵的同一直徑的兩端，如圖乙所示這就為進(jìn)一步實現(xiàn)正、負(fù)電子的對撞做

10、好了準(zhǔn)備求電磁鐵內(nèi)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 b大小【答案】 (1) 222202e b rmcvmhh，22202e brem；(2) 20e b um；(3)02sinb rnd【解析】【詳解】解： (1)正、負(fù)電子在回旋加速器中磁場里則有：200mvevbr解得正、負(fù)電子離開回旋加速器時的速度為：00eb rvm正、負(fù)電子進(jìn)入對撞機(jī)時分別具有的能量：222200122e bremvm正、負(fù)電子對撞湮滅時動量守恒，能量守恒，則有：222emchv正、負(fù)電子對撞湮滅后產(chǎn)生的光子頻率：222202e brmcvmhh(2) 從開始經(jīng)回旋加速器加速到獲得最大能量的過程，設(shè)在電場中加速n次，則有：201

11、2neumv解得：2202eb rnmu正、負(fù)電子在磁場中運(yùn)動的周期為：02 mteb正、負(fù)電子在磁場中運(yùn)動的時間為：2022b rnttud 型盒間的電場對電子做功的平均功率：20e b uwepttm (3)設(shè)電子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r，由幾何關(guān)系可得sin2drn解得：2sindrn根據(jù)洛倫磁力提供向心力可得：200mvev br電磁鐵內(nèi)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度b大小：02sinb rnbd5如圖所示，在第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)電場，電場方向與x軸成 45 角斜向左下，在第四象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，該區(qū)域是由一個半徑為r 的半圓和一個長為2r、寬為2r的矩形組成，磁場的方向垂直紙面向里一

12、質(zhì)量為m、電荷量為 +q 的粒子 (重力忽略不計)以速度v 從 q(0，3r)點(diǎn)垂直電場方向射入電場，恰在p(r，0)點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域(1)求電場強(qiáng)度大小及粒子經(jīng)過p點(diǎn)時的速度大小和方向；(2)為使粒子從ac邊界射出磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件；(3)為使粒子射出磁場區(qū)域后不會進(jìn)入電場區(qū)域，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)不大于多少?【答案】 (1) 224mveqr；2v，速度方向沿y 軸負(fù)方向(2)8 22 25mvmvbqrqr(3)2 2713mvqr【解析】【分析】【詳解】（1）在電場中，粒子沿初速度方向做勻速運(yùn)動132cos452 2cos45rlrr1lvt沿電場力方向做勻加速運(yùn)動，加速度為a

13、22sin452lrr2212latqeam設(shè)粒子出電場時沿初速度和沿電場力方向分運(yùn)動的速度大小分別為1v、2v，合速度v1vv、2vat，2tanvv聯(lián)立可得224mveqr進(jìn)入磁場的速度22122vvvv45，速度方向沿y 軸負(fù)方向（2）由左手定則判定，粒子向右偏轉(zhuǎn)，當(dāng)粒子從a 點(diǎn)射出時，運(yùn)動半徑12rr由211mvqvbr得12 2mvbqr當(dāng)粒子從 c 點(diǎn)射出時，由勾股定理得222222rrrr解得258rr由222mvqvbr得28 25mvbqr根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動半徑隨磁場減弱而增大，可以判斷，當(dāng)8 22 25mvmvbqrqr時，粒子從 ac邊界射出（3）為使粒子不再回到電場區(qū)

14、域，需粒子在cd區(qū)域穿出磁場，設(shè)出磁場時速度方向平行于 x 軸，其半徑為3r，由幾何關(guān)系得222332rrrr解得3714rr由233mvqvbr得32 2713mvbqr磁感應(yīng)強(qiáng)度小于3b，運(yùn)轉(zhuǎn)半徑更大，出磁場時速度方向偏向x 軸下方，便不會回到電場中6如圖，第一象限內(nèi)存在沿y 軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為e，第二、三、四象限存在方向垂直xoy 平面向外的勻強(qiáng)磁場，其中第二象限的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b，第三、四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，一帶正電的粒子，從p（ -d，0）點(diǎn)沿與x 軸正方向成=60角平行 xoy 平面入射，經(jīng)第二象限后恰好由y 軸上的 q 點(diǎn)（圖中未畫出）垂直y 軸進(jìn)入第一象限

15、，之后經(jīng)第四、三象限重新回到p點(diǎn)，回到p點(diǎn)時速度方向與入射方時相同，不計粒子重力，求：（1）粒子從p點(diǎn)入射時的速度v0；（2）第三、四象限磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小b/；【答案】（ 1）3eb（2）2.4b【解析】試題分析：（1）粒子從p 點(diǎn)射入磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡如圖，設(shè)粒子在第二象限圓周運(yùn)動的半徑為r，由幾何知識得：2 3603dddrsinsin根據(jù)200mvqv br得02 33qbdvm粒子在第一象限中做類平拋運(yùn)動，則有21602qercostm（）；00yvqettanvmv聯(lián)立解得03evb（2）設(shè)粒子在第一象限類平拋運(yùn)動的水平位移和豎直位移分別為x 和 y，根據(jù)粒子在第三、四象

16、限圓周運(yùn)動的對稱性可知粒子剛進(jìn)入第四象限時速度與x 軸正方向的夾角等于 則有： x=v0t，2yvyt得03222yvytanxv由幾何知識可得 y=r-rcos = 1323rd則得23xd所以粒子在第三、四象限圓周運(yùn)動的半徑為125 3239ddrdsin粒子進(jìn)入第三、四象限運(yùn)動的速度004 323vqbdvvcosm根據(jù)2vqvbmr得：b=24b考點(diǎn)：帶電粒子在電場及磁場中的運(yùn)動7如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xoy 的第二、三象限內(nèi)有方向沿y 軸正向的勻強(qiáng)電場，第一、四象限內(nèi)有圓形有界磁場，有界磁場的半徑為當(dāng)22l，磁揚(yáng)場的方向垂直于坐標(biāo)平面向里，磁場邊界與y 軸相切于 o 點(diǎn)，在 x 軸

17、上坐標(biāo)為 (l，0)的 p點(diǎn)沿與 x 軸正向成=45方向射出一個速度大小為v0的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)垂直 y 軸射出電場，粒子進(jìn)人磁場后經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)以沿y 軸負(fù)方向的速度射出磁場，不計粒子的重力求(1)粒子從 y 軸上射出電場的位置坐標(biāo)；(2)勻強(qiáng)電場電場強(qiáng)度大小及勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(3)粒子從 p 點(diǎn)射出到出磁場運(yùn)動的時間為多少?【答案】（ 1）（ 0，12l）（ 2）202mveql022mvbql（3）002(1)2lltvv【解析】【分析】（1）粒子在電場中的運(yùn)動為類平拋運(yùn)動的逆過程，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律可以求出粒子出射位置坐標(biāo)（2）應(yīng)用牛頓第二定律

18、求出粒子在電場中的加速度，應(yīng)用位移公式求出電場強(qiáng)度；粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度（3）根據(jù)粒子運(yùn)動過程，求出粒子在各階段的運(yùn)動時間，然后求出總的運(yùn)動時間【詳解】（1）粒子在電場中的運(yùn)動為類平拋運(yùn)動的逆運(yùn)動，水平方向： l=v0cos ?t1，豎直方向： y=12v0sin ?t1，解得： y=12l，粒子從 y 軸上射出電場的位置為：（0，12l）；（2）粒子在電場中的加速度：a=qem，豎直分位移： y=12at12，解得：202mveql；粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，粒子以沿y 軸負(fù)方向的速度射出磁場，粒子運(yùn)動軌跡運(yùn)動軌跡如圖所示，由幾何知識得：ac與豎直方

19、向夾角為45 ，ad=2y=22l，因此 aac剛好為有界磁場邊界圓的直徑，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑：r=l，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：qvb=m2vr，其中，粒子的速度：v=v0cos ，解得：022mvbql；（3）粒子在電場中的運(yùn)動時間：1002lltv cosv，粒子離開電場進(jìn)入磁場前做勻速直線運(yùn)動，位移：2122xll，粒子做運(yùn)動直線運(yùn)動的時間：20(22)2xltvv，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的時間：301122442mlttqbv，粒子總的運(yùn)動時間：t=t1+t2+t3=002 12llvv；【點(diǎn)睛】本題考查了帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題，粒子在磁場中的運(yùn)

20、動運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求解，類平拋運(yùn)動運(yùn)用運(yùn)動的合成和分解牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求解，解題關(guān)鍵是要作出臨界的軌跡圖，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何關(guān)系，分析好從電場射入磁場銜接點(diǎn)的速度大小和方向，運(yùn)用粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角，結(jié)合周期公式，求解粒子在磁場中運(yùn)動的時間8右圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為v；兩板之間有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b0，方向與金屬板面平行并垂直于紙面朝里，圖中右邊有一半徑為r、圓心為 o 的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b，方向垂直于紙面朝里一電荷量為q 的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平

21、行金屬板之間的區(qū)域，并沿直徑ef方向射入磁場區(qū)域，最后從圓形區(qū)域邊界上的 g 點(diǎn)射出，已知弧所對應(yīng)的圓心角為不計重力，求：（1）離子速度的大??；（2）離子的質(zhì)量【答案】（ 1）（2）【解析】【分析】【詳解】試題分析：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡分析如圖所示（1）由題設(shè)知，離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動，則又由式得（2）在圓形磁場區(qū)域，離子做勻速圓周運(yùn)動則由幾何關(guān)系有解得考點(diǎn)：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動點(diǎn)評：本題是速度選擇器和帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的組合問題，可以列出帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動洛倫茲力做向心力的表達(dá)式求解，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑是解題關(guān)鍵9如圖所示， y，n 為水平放置的平行金屬板，

22、板長和板間距均為2d在金屬板左側(cè)板間中點(diǎn)處有電子源s ，能水平發(fā)射初速為v0的電子，電子的質(zhì)量為m，電荷量為e金屬板右側(cè)有兩個磁感應(yīng)強(qiáng)度大小始終相等，方向分別垂直于紙面向外和向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，兩磁場的寬度均為 d磁場邊界與水平金屬板垂直，左邊界緊靠金屬板右側(cè)，距磁場右邊界 d 處有一個熒光屏過電子源s作熒光屏的垂線，垂足為o以 o 為原點(diǎn)，豎直向下為正方向，建立y 軸現(xiàn)在y，n 兩板間加上圖示電壓，使電子沿so方向射入板間后，恰好能夠從金屬板右側(cè)邊緣射出進(jìn)入磁場(不考慮電子重力和阻力)(1)電子進(jìn)人磁場時的速度v；(2)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度b 的大小，使電子能打到熒光屏上，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度口大小

23、的范圍；電子打到熒光屏上位置坐標(biāo)的范圍【答案】 （1）02v，方向與水平方向成45（2）012 mvbed，42 24ddd【解析】試題分析：（ 1）電子在mn 間只受電場力作用，從金屬板的右側(cè)下邊沿射出，有（1 分）（1 分）（ 1 分）（ 1 分）解得（1 分）速度偏向角（1 分）（1 分）（2）電子恰能（或恰不能）打在熒光屏上，有磁感應(yīng)強(qiáng)度的臨界值0b，此時電子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑為r（2 分）又有20mvqvbr（2 分）由解得：00(12)mbved（ 1 分）磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，電子越不能穿出磁場，所以取磁感應(yīng)強(qiáng)度0(12) mbved時電子能打在熒光屏上（得0(12)mbved不扣分）（ 1 分）如圖所示，電子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為0b時，打在熒光屏的最高處，由對稱性可知，電子在磁場右側(cè)的出射時速度方向與進(jìn)入磁場的方向相同，即 （1 分）出射點(diǎn)位置到so連線的垂直距離12sin45ydr（ 1 分）電子移開磁場后做勻速直線運(yùn)動，則電子打在熒光屏的位置坐標(biāo)021tan45yyd（1 分）解得242 2ydd（1 分）當(dāng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零時，電子離開電場后做直線運(yùn)動，打在熒光屏的最低點(diǎn)，其坐標(biāo)為033tan454yddd（1 分）電子穿出磁場后打在熒光民屏上的位置坐標(biāo)范圍為：42 2dd到4d（2 分）考點(diǎn)