[工學(xué)]彈塑性力學(xué)第七章軸的扭轉(zhuǎn)ppt課件

1、第七章第七章 軸的改動軸的改動 圓軸的彈性改動圓軸的彈性改動 非圓截面桿件的彈性改動非圓截面桿件的彈性改動 圓軸的彈塑性改動圓軸的彈塑性改動 非圓截面桿件的彈塑性改動非圓截面桿件的彈塑性改動71 圓軸的彈性改動圓軸的彈性改動應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：xyzoMt trxyoyxb btzxtzxtzytzyt tRrpIMr t t24RIp pzxIMy b bt tt tsinpzyIMx b bt tt tsin0 xyzyxt t 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：xyoyxb btzxtzxtzytzyt tRrpzxIMy t tpzyIMx t t0 xyzyxt t 0 zyxzxyxxt tt

2、t 0 zyxzyyxyt t t t0 zyxzyzxz t tt t應(yīng)力邊境條件：應(yīng)力邊境條件：xzxyxxFnml t tt t yzyyxyFnml t t t tzzyzxzFnml t tt t側(cè)面：側(cè)面：端面：端面：0, nRymRxl1, 0, 0 nml0, zzyyzxxFFFt tt tMdAxFyFdAFdAFAyxAyAx )(, 0, 0FxFyM2222222zyx 0)1(222 xx 0)1(222 yy 0)1(222 zz 0)1(22 yxxyt t 0)1(22 zyyzt t 0)1(22 xzzxt t 彈性解：彈性解：pzxIMy t tpzyI

3、Mx t t0 xyzyxt t 2. 應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：pzxIMy t tpzyIMx t t0 xyzyxt t xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEGt t t t )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEGt t t t )1(2 zxzxzxEGt t t t )1(2 0 xy 0 x pzyzyGIMxG t t 0 y 0 z pzxzxGIMyG t t xux yvy zwz yuxvxy zvywyz xwzuzx 0 xy 0 x pzyGIMx 0 y 0 z pzxGIMy 2. 位移分量：位移分量：),(1zyfu ),(2xzfv ),(3yxfw

4、0),(),(12 yzyfxxzfpGIMxzxzfyyxf ),(),(23pGIMyxyxfzzyf ),(),(31pGIMxzxzfyyxf ),(),(23pGIMyxyxfzzyf ),(),(310),(232 yyxf0),(232 xyxfxycycxccyxf32103),( zxbxbzbbxzf32102),( yzazayaazyf32101),( 0),(),(12 yzyfxxzf0)(3321 zbabapGIMxxcbcb )(3321pGIMyyacac )(33210 , 03321 babapGIMcbcb 3321 , 0pGIMacac 3321

5、, 0ppGIMGIMbaccacbba 3331221210yzzcybazyfupGIM 1201),(ycxccyxfw2103),( zxxbzcbxzfvpGIM 2202),(xyzccbwcvbua 212000000, yxwwzxxzvvyzzyuuxyGIMzxGIMyzpp 000位移分量：位移分量：位移條件：位移條件： 1坐標(biāo)原點固定：坐標(biāo)原點固定： 2原點的單元固定：原點的單元固定：xyzoMt tr0000 wvu yxwwzxxzvvyzzyuuxyGIMzxGIMyzpp 000位移分量：位移分量：1坐標(biāo)原點固定：坐標(biāo)原點固定：0 xyz 2原點的單元固定：原點

6、的單元固定：v 過原點沿過原點沿 z 向的線段在向的線段在 xoz、zoy 面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：0 zvzuv 過原點沿過原點沿 x 向的線段在向的線段在 xoy面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：面內(nèi)不轉(zhuǎn)動：0 xv剛體位移為零。剛體位移為零。 0wzxvyzuppGIMGIMpGIM 單位長度的單位長度的相對改動角相對改動角 0wzxvyzu pGIM 0wzxvyzu 平截面平截面假設(shè)假設(shè)xyuvuqrzzGIMrup 0 ru rxyxytg xytg A72 非圓截面桿件的彈性改動非圓截面桿件的彈性改動一、應(yīng)力分量一、應(yīng)力分量yxoyxb btzxtzxtzytzyr0 zxt t0 zyt t0 xy

7、zyxt t 0 zyxzxyxxt tt t 0 zyxzyyxyt t t t0 zyxzyzxz t tt t平衡微分方程平衡微分方程xyzoM0 zzxt t0 zzyt t),(yxzyzyt tt t ),(yxzxzxt tt t 0 yxzyzxt tt tyxzyzx )(t tt txyzyzx t t t t),(yx 存在存在）函函數(shù)數(shù)（：扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)應(yīng)應(yīng)力力Prandtl),(yx 2222222zyx 0)1(222 xx 0)1(222 yy 0)1(222 zz 0)1(22 yxxyt t 0)1(22 zyyzt t 0)1(22 xzzxt t yzx t t

8、xzy t t02 zyt t02 x 02 x02 zxt t02 y 02 yC 2邊境條件：邊境條件：0 zxyxxnmlt tt t 0 zyyxynmlt t t t0 zyzxznml t tt t側(cè)面：側(cè)面：0, ndsdxmdsdylxodydxN Nds0 xdsdxydsdy 0 dsd 1Cs xyzyzx t t t t0 s 側(cè)面邊境條件：側(cè)面邊境條件：0 s 多連域：多連域：0 es constis 端面：端面：1, 0, 0 nml0, zzyyzxxFxFyF t t t t0 AxdAFxyoyx RrFxFyMdxdyMdAxFyFAyx )(0 AydAF

9、0 Adxdyy AB BAAdyydxdxdyy BAdx dxAB dxdyxxdxdyyyM dyyydxdxdyyyBA dydxBA dyydxBABA dxdy dxdyM 2二、二、 應(yīng)變分量：應(yīng)變分量：0 xyzyxt t xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEGt t t t )1(2 zyxxE 1 yzyzyzEGt t t t )1(2 zxzxzxEGt t t t )1(2 0 xy 0 x xGGzyzy t t 10 y 0 z yGGzxzx t t 1xyzyzx t t t txux yvy zwz yuxvxy zvywyz xwzuzx 0 xy

10、 0 x 0 y 0 z 三、位移分量：三、位移分量：xGzy 1yGzx 1v不計剛體位移不計剛體位移 為單位長度的相對改動角為單位長度的相對改動角zxvyzu rzu 0 ruzuyGxw 1zvxGyw 1wzuyGxw 1zvxGyw 1zxvyzu 2221yGyxw 2221xGyxw Gyx22222 G22 C 2 GC2 GC2 解題步驟：解題步驟：1確定改動應(yīng)力函數(shù)：確定改動應(yīng)力函數(shù)： 2確定應(yīng)力函數(shù)中的待定常數(shù)：確定應(yīng)力函數(shù)中的待定常數(shù)： 3確定應(yīng)力分量：確定應(yīng)力分量： 5確定單位長度的改動角及位移分量：確定單位長度的改動角及位移分量：),(0yxs C 2 dxdyM

11、20 xyzyxt t xyzyzx t t t tGC2 zxvyzu zuyGxw 1zvxGyw 1wxy0AiAabcdFxFyxFyFzyyzxx t t t tMdAxFyFAyx )( dxdyxxdxdyyyM dyyydyyydxdxdyyydcba dydyyydxdcbadcba dydydxdxdyyydcba Accbbdxdydxyy Abcisdxdydxyy AisidxdyA AisidxdyAM 22constis 0 es v多連體：多連體：oabxy012222 byax 1,2222byaxmyx 0 s C 2 Cbabam 22222M端面邊境條件

12、：端面邊境條件： dxdyM 2 dxdybyaxm122222yAIdAx 2ba34 xAIdAy 234ab abAdAA abm abMm 1,2222byaxabMyx 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量：abMm 1,2222byaxabMyx yzx t txzy t tyabM32 xbaM32 22zyzxt tt tt t 42422byaxabM ababMbyzx 22max t tt tzxt tzyt tmaxt toabxy012222 byaxM單位長度的改動角：單位長度的改動角：GC2 Cbabam 22222 3322baGMba zxvyzu zuyGxw 1zvxGyw

13、 1位移分量：位移分量： 3322baGMba 3322baGMzybau 3322baGMzxbav 3322baGMxba 3322baGMyba 3322baGMxybaw 扭桿的橫截面不再堅持為平面，而翹曲為曲面。扭桿的橫截面不再堅持為平面，而翹曲為曲面。oabxy012222 byaxMoabxy0222 ayx 222,ayxmyx 0 ar Gm242 2 Gm M端面邊境條件：端面邊境條件： abrrdrarmabbm 22)(222222)(44abm )(44abMm 22abmbr AisidAAM 22 22arm 22244)(,ayxabMyx yzx t txzy

14、 t t)(244abMy )(244abMx )(244baGM 四、彈性改動的薄膜比較四、彈性改動的薄膜比較v比較：比較：兩個概念完全不同的問題，假設(shè)數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣，兩個概念完全不同的問題，假設(shè)數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣，可借助比較直觀的簡單問題討論復(fù)雜的籠統(tǒng)的問題。可借助比較直觀的簡單問題討論復(fù)雜的籠統(tǒng)的問題。v薄膜在均勻壓力作用下的垂度與等截面扭桿問題的應(yīng)力函薄膜在均勻壓力作用下的垂度與等截面扭桿問題的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上是類似的，故可用比較方法求改動問題的解答。數(shù)在數(shù)學(xué)上是類似的，故可用比較方法求改動問題的解答。2邊境外形與扭桿橫截面一樣。邊境外形與扭桿橫截面一樣。1薄膜均勻張在程度邊境上。薄膜均勻

15、張在程度邊境上。3給薄膜施加均勻壓力。給薄膜施加均勻壓力。q薄膜上的點產(chǎn)生垂度薄膜上的點產(chǎn)生垂度薄膜具有柔順性薄膜具有柔順性薄膜只受外表張力作用薄膜只受外表張力作用z(x,y)qz(x,y)公式推導(dǎo)：公式推導(dǎo)：1建立坐標(biāo)系：建立坐標(biāo)系：xyoxzo2取微元體：取微元體：dxdy薄膜單位長度上的張力：薄膜單位長度上的張力：TTdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya ab bdxxzzz xz a aa atan dxxzzxb b0 zFxzTdydxxzzxTdy yzTdxdyyzzyTdx 0 qdxdy02222 qyzxzTTqz 2qz(x,y)xyoxzodxdy薄

16、膜在周邊上的撓度：薄膜在周邊上的撓度：TdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya ab bdxxzzz xz a aa atan dxxzzxb bTqz 2 G22 0 sz0 s 薄膜與支承面間體積的薄膜與支承面間體積的2倍：倍： zdxdyV22 dxdyM 2 GTq2 令令：VMz2, 1薄膜的垂度對應(yīng)改動應(yīng)力函數(shù)，薄膜與支承面體積的薄膜的垂度對應(yīng)改動應(yīng)力函數(shù)，薄膜與支承面體積的2倍對應(yīng)扭矩。倍對應(yīng)扭矩。 討論：討論： GTq2 令令：VMz2, 2薄膜在薄膜在 y 方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處 x 方向的剪應(yīng)力。薄膜在方向的剪應(yīng)力。薄膜在 x

17、方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處方向斜率對應(yīng)扭桿在同一點處 y 方向的剪應(yīng)力的大小。方向的剪應(yīng)力的大小。z yyzzx t txxzyx t tv 扭桿橫截面上某一點沿恣意方向的剪應(yīng)力，等于薄膜對扭桿橫截面上某一點沿恣意方向的剪應(yīng)力，等于薄膜對應(yīng)點處沿垂直方向的斜率。應(yīng)點處沿垂直方向的斜率。v 最大剪應(yīng)力對應(yīng)于薄膜斜率最大處。最大剪應(yīng)力對應(yīng)于薄膜斜率最大處。Tqz 2 G22 0 sz0 s zdxdyV2 dxdyM yz yzx t txz xyx t t22zyzxt tt tt t 22xy t t grad jyixgrad v 剪應(yīng)力剪應(yīng)力 t 等于等于 j 的梯度的模，方向沿的梯度的模

18、，方向沿 j=const 曲線薄膜曲線薄膜中的等高線的切線方向。中的等高線的切線方向。v j 的等值線稱剪應(yīng)力跡線。的等值線稱剪應(yīng)力跡線。v 最大剪應(yīng)力產(chǎn)生于最大剪應(yīng)力產(chǎn)生于j 的梯度最大處薄膜中等高線密度最的梯度最大處薄膜中等高線密度最大處。大處。3 3剪應(yīng)力環(huán)量定理：剪應(yīng)力環(huán)量定理： 在改動應(yīng)力函數(shù)的閉合曲線上，剪應(yīng)力沿其跡線的回路積分剪在改動應(yīng)力函數(shù)的閉合曲線上，剪應(yīng)力沿其跡線的回路積分剪應(yīng)力環(huán)量與所圍面積成正比。應(yīng)力環(huán)量與所圍面積成正比。AGds t t2 Adst t證明：證明：jxiy t tjdyidxds dyxdxyds t t AdxdyyPxQQdyPdxGreen :

19、Adxdyyx2222 Adxdy 2 AdxdyG 24 4利用薄膜比較不僅可用實驗方法模擬改動問題，而且有利用薄膜比較不僅可用實驗方法模擬改動問題，而且有助于尋覓應(yīng)力函數(shù)，分析扭桿內(nèi)的應(yīng)力分布情況，找出助于尋覓應(yīng)力函數(shù)，分析扭桿內(nèi)的應(yīng)力分布情況，找出最大剪應(yīng)力的位置。最大剪應(yīng)力的位置。abxyzxabxzz(y)0 x y G22 Gy222 212CyCyG abxyzxxzz(y)212CyCyG 002 bys 024212 CbCbG 40221bGCC )4(22byG dxdyM 2 22224222bbaadybydxG Gab33 33GabM )4(3223byabM M

20、abxy33GabM )4(3223byabM yabMyzx36 t t0 zyt t2max3abM t t2by M21maxabMb bt t 3GabMb b 1b bb bba1234510 0.1410.2080.2229 0.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246五、薄壁桿件的改動五、薄壁桿件的改動1. 開口薄壁桿件開口薄壁桿件biaiM第第 i 個長條：個長條：33iiibGaM 23iiiibaM t t331iiibaGM 331iiibaGMM 33iibaMG 33iiiiibaMbaM 33iiba

21、GM 33iiiibaMb t t薄膜比較薄膜比較2. 閉口薄壁桿件閉口薄壁桿件外邊境：外邊境：a at ttan 0 e VM2 dsMxyd dha ayxq無重剛無重剛性平板性平板內(nèi)邊境：內(nèi)邊境：consti 0 ezhzi ?。喝。篽GTqi 2d dt th Ah2 AMh2 A：桿壁中心線包圍的面積：桿壁中心線包圍的面積d dt tAM2 最大剪應(yīng)力發(fā)生在壁厚最小處。最大剪應(yīng)力發(fā)生在壁厚最小處。剪應(yīng)力環(huán)量定理：剪應(yīng)力環(huán)量定理：AGds t t2 AGdsAM d d212 d dGdsAM2122 d dt tAM2 d dGdsAM2122 dsGAMd d 142dsMxyd

22、dqha ayx等厚薄壁桿件：等厚薄壁桿件：d d 24GAMs S ：桿壁中心線全長：桿壁中心線全長 剪力流剪力流S1、 S2、 S3 ：剪應(yīng)力：剪應(yīng)力t1、 t2、 t3作用線全長作用線全長3. 具有兩個內(nèi)邊境的閉口薄壁桿件具有兩個內(nèi)邊境的閉口薄壁桿件A1d3d3A2d1d1qh2h1h3t1t1t2t2d dt th h t td d111h d dt t222h d dt t333h d dt t21hh 221133d dt td dt td dt t VM2 )(22211hAhA )(2222111t td dt td dAAM 剪應(yīng)力環(huán)量定理：剪應(yīng)力環(huán)量定理：AGds t t2

23、 233221331122AGssAGss t tt t t tt t d2d2t3t3A1d3d3qh23. 具有兩個內(nèi)邊境的閉口薄壁桿件具有兩個內(nèi)邊境的閉口薄壁桿件A2d1d1d2d2h1h3t1t1t2t2t3t3221133d dt td dt td dt t )(2222111t td dt td dAAM 解答：解答：233221331122AGssAGss t tt t t tt t 12321311AsAAsWMd dd dt t 21321312AsAAsWMd dd dt t 2121213AsAsWMd dd dt t 3311121ssGAt tt t 22132122

24、132212312AAsAsAsW d dd dd dd dd dd d21321AA d dd dd d11214d dt tt tAM 1112GAst t 03 t t74 圓軸的彈塑性改動圓軸的彈塑性改動 理想彈塑性資料：理想彈塑性資料： t t1.彈性極限扭矩彈性極限扭矩xyzoMt trttxyoMeRpIMr t t24RIp pIMR maxt t3max2RM t t 彈性解：彈性解：屈服條件：屈服條件：st tt t maxseRMt t 321 2. 彈塑性階段彈塑性階段ttxyoMeRxyoMpReMM Rrrrrrrpspspt tt tt t0ttrp AprdAM

25、t t Rrsrsppprdrrrdrrrr t t t t220 Rrsrpsppdrrdrrr20322 t t t t 3341132RrRMpspt t 3. 塑性極限扭矩塑性極限扭矩xyoMpRttrp0 prst tt t 3341132RrRMpspt t xyoMlRtt323slRMt t elMM34 seRMt t 321 4. 剩余應(yīng)力：當(dāng)扭矩加至剩余應(yīng)力：當(dāng)扭矩加至 Mp 后再卸載至零，在圓軸中產(chǎn)生后再卸載至零，在圓軸中產(chǎn)生的應(yīng)力。的應(yīng)力。Mp : Rrrrrrrpspspt tt tt t0卸去的應(yīng)力：卸去的應(yīng)力： 按彈性計算按彈性計算ppeIrM t t 3341

26、132RrRMpspt t 341134RrRrpst t剩余應(yīng)力：剩余應(yīng)力：ert tt tt t RrrRrRrrrrRrRrrppsppps333341341041341t tt trt tr rst t3st tRrp74 非圓截面桿件的彈塑性改動非圓截面桿件的彈塑性改動一、彈性解一、彈性解 0 se Ge22 dxdyMe 20 xyzyxt t xyezyezx t t t t22zyzxt tt tt t ),(yxe 22xyee t tegrad jyixgradeee 二、全塑性解二、全塑性解0 xyzyxt t xypzypzx t t t t ,22zyzxt tt t

27、t t ),(yxp 22xypp t t塑性應(yīng)力函數(shù)塑性應(yīng)力函數(shù)平衡方程：平衡方程：0 yxzyzxt tt t屈服條件：屈服條件：Tresca ：Mises ：st tt t max 2222sxyppt tt t 22s 223s t t 22223 sxypp t t jyixgradppp kgradp 0 sp dxdyMpl 2kgradp MTkss32 全塑性條件下構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的根本方程全塑性條件下構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的根本方程邊境條件：邊境條件：側(cè)面上無面力：側(cè)面上無面力： 端面上：端面上：kgradp 0 sp dxdyMpl 2),(yxp xypzypzx t

28、 t t t討論：討論：v對于理想彈塑性資料，剪切屈服極限對于理想彈塑性資料，剪切屈服極限 k 為常數(shù)，為常數(shù)， | grad p |=k 闡明：應(yīng)力函數(shù)闡明：應(yīng)力函數(shù) p 所代表的曲面斜所代表的曲面斜率為常數(shù)。率為常數(shù)。v p (x,y) 是一個等傾斜面構(gòu)成的多面體，其坡度是一個等傾斜面構(gòu)成的多面體，其坡度為為k.v一切一切 p (x,y)的等值線是相互平行的，且與截面的的等值線是相互平行的，且與截面的周邊境平行。周邊境平行。v截面上的總剪應(yīng)力截面上的總剪應(yīng)力 t 與與 p (x,y) 的等值線相切。的等值線相切。v塑性極限扭矩塑性極限扭矩Ml 是塑性應(yīng)力函數(shù)所代表曲面所界是塑性應(yīng)力函數(shù)所代表曲面所界體積的體積的 2 倍。倍。vNadai: 沙堆比較法。沙堆比較法。 v Nadai 沙堆比較法：沙堆比較法：v作一個外形與桿件截面一樣的底板。作一個外形與桿件截面一樣的底板。v在底板上堆放干沙，直至不能再添加為止。在底板上堆放干沙，直至不能再添加為止。v沙子的內(nèi)摩擦系數(shù)為常數(shù)，沙堆外表為斜率