人教A版必修1第三章函數(shù)的應用教材分析

1、    人教a版必修1第三章“函數(shù)的應用”教材分析    于紅燕：g632 ：b ：1002-7661（2016）07-189-03一、教材功能與地位本章是人教a版必修1第三章函數(shù)的應用，前兩章已經(jīng)學習了一些有關(guān)基本初等函數(shù)的知識，本章對函數(shù)知識進行應用，體會函數(shù)與方程、數(shù)學建模的思想。函數(shù)與方程的思想和函數(shù)貫穿于整個高中數(shù)學學習的始終，是高中數(shù)學的重要思想和支撐高中數(shù)學的主干知識。普通高中課程標準提出要發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，而本章第一次提及數(shù)學建模，學生通過解決實際問題，感受數(shù)學建模的思想方法，認識數(shù)學在解決實際問題當中的威力，為今后進一步運用理論解

2、決實際問題打下堅實基礎(chǔ)。二、內(nèi)容安排本章共4節(jié)：1.1方程的根與函數(shù)零點，1.2用二分法求方程的近似解，1.3幾類不同增長的函數(shù)模型，1.4函數(shù)模型的應用實例。本章主要圍繞函數(shù)的應用展開，首先介紹了函數(shù)與方程的關(guān)系，方程的根是函數(shù)的零點，借助于函數(shù)的零點來確定方程的根，這是函數(shù)的應用之一。其次，生產(chǎn)和生活中的許多模型幾乎都與基本初等函數(shù)有關(guān)，本章第二節(jié)就專門介紹函數(shù)模型及具體的實例。這樣我們學習完前兩章的理論知識，對理論知識進行了實際應用。三、課程目標與學習目標1、課程目標學習知識是為了進一步學習其他知識或運用到現(xiàn)實生活中去，尤其數(shù)學的學習，如果只是學習理論知識而不去運用與實踐，這就完全違背了

3、數(shù)學的初衷。本章的學習是建立在前兩章的基礎(chǔ)之上，體會函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用，利用已經(jīng)學習過的基本初等函數(shù)理論知識，很好的理解本章內(nèi)容。2、學習目標普通高中數(shù)學課程標準中對本章的要求：（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程的聯(lián)系。（2）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。（3）利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異，結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。（4）收集一些生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)）的實例，了

4、解函數(shù)模型的廣泛應用。四、課時建議本章需課時8課時，具體分配如下：1、方程的根與函數(shù)零點（約1課時）2、用二分法求方程的近似解（約2課時）3、幾類不同增長的函數(shù)模型（約2課時）4、函數(shù)模型的應用實例（約2課時）小結(jié)（約1課時）五、教材內(nèi)容分析及建議本章章頭有文字敘述和插圖，文字部分引出本章學習內(nèi)容。我們學習過函數(shù)概念、函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)模型，它們可以刻畫現(xiàn)實生活中事物的不同變化規(guī)律。本章通過一些實例感受建立函數(shù)模型的過程和方法，初步運用函數(shù)的思想解決現(xiàn)實生活中一些簡單問題。另外，通過利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用二分法求方程近似解的方法，從中體會函數(shù)與方

5、程之間的聯(lián)系。1、函數(shù)與方程教學重點：函數(shù)的零點與方程的根之間關(guān)系的確定，教學難點：用二分法求方程的近似解。本節(jié)3課時，從函數(shù)的零點與方程的根出發(fā)得到它們間的關(guān)系，將方程根的確定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點，運用二分法求函數(shù)的零點也即方程的近似解。（1）方程的根與函數(shù)的零點本小節(jié)先由思考欄目提出問題，提出帶有字母的抽象的一元二次方程的根與相對應的一元二次函數(shù)的圖象間的關(guān)系。接著課本從具體的一元二次方程及其相應的二次函數(shù)（三種情形）出發(fā)，做出一元二次函數(shù)的圖象，分析一元二方程的根與其相應的一元二次函數(shù)圖象間的關(guān)系。一元二次方程的根是其對應的一元二次函數(shù)的圖象與 軸交點的橫坐標?；氐剿伎紮谀康膯栴}，對于一般的

6、一元二次方程 及其相應的二次函數(shù) 也成立。為了將以上的結(jié)論推廣到一般情形，教材給出了函數(shù)零點的概念，對于函數(shù) ，使 的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。由此，得到函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象與方程根之間的關(guān)系即方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點。教材很自然的得出求方程 的實數(shù)根，就是確定函數(shù) 的零點。探究欄目給出一個具體二次函數(shù)的圖象，要探討零點所在閉區(qū)間端點函數(shù)值的符號之間的關(guān)系。讓學生任意畫幾個函數(shù)圖象，觀察圖象得出結(jié)論即零點存在性定理。接著給出求函數(shù)零點個數(shù)的例子，借助于函數(shù)性質(zhì)和零點存在性定理得出答案。教材先提出一個一般問題，由特殊的函數(shù)運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想去研究問題，得

7、出一元二次方程與其對應的一元二次函數(shù)圖象間的關(guān)系，將它推廣到一般的函數(shù)。不能用公式求根的方程可與函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求方程的根，這是轉(zhuǎn)化的思想。（2）用二分法求方程的近似解在上一小節(jié)教材給出了判斷函數(shù)零點存在的方法，也就是方程的實數(shù)根的個數(shù)，本節(jié)用二分法求方程的近似解。思考欄目接著上節(jié)中的例子，提出如何根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程的是跟的關(guān)系求方程 的根？接著，介紹二分法，逐步縮小零點所在區(qū)間，在已給定的精確度允許下，得到函數(shù)零點的近似值。給出求方程近似解的例子。本節(jié)在無限逼近、數(shù)形結(jié)合、算法的思想下，運用迭代方法以零點存在性定理作為理論依據(jù)，逐步縮小零點存在的區(qū)間，最終得到函數(shù)零點

8、的近似值。函數(shù)與方程總共3課時，方程的根與函數(shù)的零點可用一節(jié)課完成，二分法教學內(nèi)容可以安排兩節(jié)課，第一節(jié)課重點放在二分法的發(fā)現(xiàn)及逼近的思想上，第二節(jié)課重點可以放在二分法的應用上，這樣對教學目標的定位重點突出，并符合課程標準理念，培養(yǎng)了學生理性精神和能力，同時也有利于落實二分法的具體操作和應用。教材例1求方程 的零點的個數(shù)，可以由多種方法解答，法1按教材處理，法2思路跟法1一樣，不需要用表格的形式分析 與 的變化關(guān)系，可用我們學過的函數(shù)的性質(zhì)去分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得出其零點個數(shù)。法3可將本題目轉(zhuǎn)化為求方程 的零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù) 和函數(shù) 兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題。用二分法求方程近似解時，一定

9、要讓學生自己思考，然后師生共同分析，由于數(shù)值計算較為復雜，需要學生恰當?shù)倪\用信息技術(shù)工具。例子解答完讓學生再次嘗試總結(jié)用二分法解決方程近似解的步驟。 2、函數(shù)模型及其應用教學重點：結(jié)合函數(shù)圖象解決實際問題，教學難點：數(shù)學建模的過程。本節(jié)需要4課時。學習數(shù)學知識是為了更好的運用到實際生活中，本節(jié)介紹現(xiàn)實生活中常見的函數(shù)模型以及運用函數(shù)知識所要解決的具體實例。認識數(shù)學建模的過程，對于運用函數(shù)知識解決實際問題很有幫助。（1）幾類不同增長的函數(shù)模型函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，面對實際問題，如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫這是解決實際問題的關(guān)鍵。本小節(jié)給出兩個實例，介紹如何恰當選取函數(shù)模型，解

10、決實際問題。例1投資問題，有三種投資方案，根據(jù)不同方案通過圖表與圖象分析哪個方案獲益最大。例2某公司獎勵模型的評定，三種模型，教材借助于計算機在同一直角坐標系中作出三個函數(shù)圖象，通過分析圖象得到符合公司要求的獎勵模型。教材中介紹了不通過函數(shù)圖象，可以運用我們學過的有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)解決此問題。教材根據(jù)例2中函數(shù)增長的快慢，提出對數(shù)函數(shù) ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異的研究。通過研究具體的三個函數(shù) 的圖象，通過觀察欄目研究它們?nèi)齻€函數(shù)的增長情況。有探究的問題將以上結(jié)論推廣到一般情形，即解決了對數(shù)函數(shù) ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異，這一問題。教材運用從特殊到一般的研究問題的思想，數(shù)形

11、結(jié)合研究特殊函數(shù)的情形，進而推廣到一般函數(shù)。（2）函數(shù)模型的應用實例教材引入本節(jié)內(nèi)容，通過一些實例，讓學生感受基本初等函數(shù)的廣泛應用，體會解決實際問題中建立函數(shù)模型的過程。例3用到了分段函數(shù)，提高了學生讀圖的能力，使學生認識到分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型。例4給出了人口增長模型 其中 表示經(jīng)過的時間， 表示 時的人口數(shù)， 表示人口的年平均增長率。此函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)，在 上為增函數(shù)，讓學生感受指數(shù)爆炸這一概念。這一例子告訴我們用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題時，由于實際問題的條件與得出已知模型的條件會有所不同，因此往往需要對模型進行修正。例5二次函數(shù)模型，二次函數(shù)模型是實際生活中最常用的模型之一

12、，沒有給出兩變量間的關(guān)系，根據(jù)已知找出建模過程尤為重要。例6已知關(guān)于兩變量的若干數(shù)據(jù)，尋找刻畫這兩變量的函數(shù)模型，從而對其他情形做出預測。其意圖通過收集到的數(shù)據(jù)的特點，建立函數(shù)模型，解決實際問題。要注意用函數(shù)模型擬合兩變量關(guān)系，這樣的模型可能不同。本小節(jié)運用數(shù)學建模的思想，對實際問題進行分析，具體問題的解決運用所學的有關(guān)函數(shù)知識以數(shù)形結(jié)合的思想分析問題從而解決問題。教材從兩個方面展開函數(shù)應用，突出用數(shù)學解決問題，一是函數(shù)與其他數(shù)學知識的有機聯(lián)系，這里集中研究的是從函數(shù)特征判定方程實數(shù)解的存在性及方程的近似解；二是函數(shù)與實際問題的聯(lián)系，用函數(shù)解決實際問題，著眼于學生對數(shù)學應用的理解，引導學生應用

13、數(shù)學知識解決實際問題，讓學生經(jīng)歷自主探索、解決問題的過程，體會數(shù)學的應用價值，提高數(shù)學的應用能力。本節(jié)共4課時幾類不同增長的函數(shù)模型2課時，函數(shù)模型的應用實例2課時。教材例2學完之后，提出研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差異，運用圖和表兩種方法比較三個函數(shù)的 ， ， 的增長差異。教師可以把 ， 兩個函數(shù)的增長速度的比較以“探究”形式留給學生，借助于計算器作出函數(shù)圖像，從而得出三個函數(shù)增長的差異，進一步分析出 ，指數(shù)函數(shù) 與冪函數(shù) 在 上增長的差異。對于其他實例的處理都要體現(xiàn)學生倡導積極主動、勇于探索的學習方式。教材例6的處理除了由指數(shù)型函數(shù)模型擬合之外，引導學生用二次函數(shù)模型擬合，并比較哪

14、種類型的模型擬合程度好。實例講解完，師生共同總結(jié)運用函數(shù)知識解決實際問題的思路和具體步驟即數(shù)學建模的過程，并且一定要讓學生有充足的時間聯(lián)系鞏固，讓學生體會數(shù)學建模的過程，數(shù)學的應用價值。六、習題分析本章共兩節(jié)內(nèi)容即1.1函數(shù)與方程和1.2函數(shù)模型及其應用，教材中相應的配備了一定數(shù)量的例題、習題供學生學習和練習，由此鞏固并形成技能和能力。1、函數(shù)與方程這一節(jié)配備了課堂練習4道，習題共8道。4道練習中1道是根據(jù)函數(shù)的零點與方程的關(guān)系學生自己作圖判斷方程有無實根，1道是根據(jù)零點存在性定理借助計算機作圖，判斷零點所在大致區(qū)間。另外2道均是借助計算機或計算器運用二分法求方程在指定區(qū)間上的近似解（精確度已

15、知）。習題中的8道題，其中6道是借助計算機或計算器運用二分法求方程在指定區(qū)間上的近似解（精確度已知），2道是對零點存在性定理的理解的題目，注意定理運用的條件和結(jié)論。教材這樣配備練習、習題要求學生體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，理解零點存在性定理，能借助于計算器或計算機求具體方程給定精確度要求的近似解，熟練的歸納出二分法求解方程根的步驟，提高學生分析問題解決問題的能力。2、函數(shù)模型及其應用中共有練習題7道，習題8道。練習中2道是有關(guān)指數(shù)函數(shù)模型的實際應用問題，1道是根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象比較它們的增長情況，3道是已知函數(shù)模型的實際應用問題，還有1道練習題是沒有給出函數(shù)模型的實際應用問題，讓學生通過對已知條件進行分析得出符合題意的函數(shù)模型，然后解決問題。習題中的8道題均是函數(shù)模型的應用問題，題型可分為兩類三種，即已知函數(shù)模型的應用問題、未知函數(shù)模型的應用問題。未給出函數(shù)模型的應用問題可分為兩種：僅僅用列表法給出兩變量間的關(guān)系，給出已知條件的實際問題。其中，已知函數(shù)模型的應用問題共2道，用列表法給出兩變量間的關(guān)系共3道，給出已知條件的實際問題共3道。教材練習、習題中函數(shù)模型的應用問題占絕大多數(shù)，由此應把教學重點放在運用函數(shù)知識，通過分析問題建立數(shù)學模型，解決實際問題上。教材通過編排練習、習題，使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作