全國理數(shù)第33課空間幾何體的表面積與體積

1、第33課 空間幾何體的表面積與體積1.空間幾何體的表面積 a.簡單幾何體的表面積（1）（2016全國川，5分）如圖33- 2,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）1JfJ7FF1f圖 33 2A . 18+ 36 5B. 54+ 18.5C. 90D. 81答案：B解析：（法一）由三視圖可知，該幾何體是一個以邊長為3的正方形為底面的斜四棱柱，高為 6,側(cè)棱長為，32+ 62= 3 5，所以其表面積 S= 2X 32 + 2X 3X 3 5+ 2 X 3 X 6= 54 + 18 5. 故選B.（法二）由三視圖可知，該幾何體是一個以主視圖為底面的直

2、四棱柱，底面面積為3 X 6=18，底面周長為2X 3 + 2 X 32+ 62= 6 + 6 5,棱柱高為3,所以側(cè)面面積為（6 + 6 5） X 3 =18 + 18 5,故棱柱的表面積 S= 2X 18+ 18+ 18 5= 54 + 18 . 5故選 B.（2）（2018江蘇南通高考最后一卷，5分）如圖33 3所示，已知圓錐的高是底面半徑的2倍，側(cè)面積為n若正方形ABCD內(nèi)接于底面圓O,則四棱錐P ABCD的側(cè)面積為答案：解析：高h為2r,圖 33 36,55因為圓錐的高是底面半徑的 2倍，側(cè)面積為 n所以設圓錐的底面半徑為 r，則 母線長1= r2 + 4r2 = 5r，所以圓錐的側(cè)

3、面積 S= nl = nr - 5r = n,即r2=亠5.55r2所以四棱錐的斜高 h'=）PA2因為正方形 ABCD內(nèi)接于底面圓 O,所以四棱錐 P ABCD為正四棱錐，且 AB = 2r, 2，所以四棱錐P ABCD的側(cè) 面積 s'= 4S°pab = 4 X1X AB X h = 2 X2r X= 6r2 =血2*25 'b.組合體的表面積n(3) (經(jīng)典題，5 分)在梯形 ABCD 中，/ ABC =，AD / BC, BC = 2AD = 2AB= 2將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為.答案：（5 + 2）

4、n解析：由題意可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個底面半徑為 1，高為1的圓錐后形成的幾何體.圓柱的側(cè)面積為 Si= 2 nX 1 X 2 =4 n,圓柱的底面積為 S2= nX 12= n .圓錐母線長為 寸12+ 12 = 2，圓錐的側(cè)面積為 &=£X 2 nX 1X2 =寸2 n,則該幾何體的表面積為S= S)+ S2 + &= (5 +寸2) n（4）（2015全國I ,5分）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體,該幾何體二視圖中的正視圖和俯視圖如圖33 4所示.若該幾何體的表面積為16 + 20

5、n則r =（）D. 8截圓柱的平面過圓柱的軸線，幾何體r，圓柱的高為2r，二該幾何體的表面俯視圖圖 33 4A . 1B . 2C . 4答案：B解析：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知, 的直觀圖如圖所示，圓柱的底面半徑和球的半徑都為1 2 2 2 2 2 2 積為 S= ?X 4 n + nr + 4r + n 2r = (5 n+ 4)r .又 t S= 16+ 20 n, (5 n+ 4)r = 16 + 20 n,二 r=4, r = 2故選 B.2.空間幾何體的體積a.直接法求幾何體的體積（2015江蘇，5分）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱

6、各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為 .答案：7解析：由題意可知，原來圓錐和圓柱的體積之和為1 X 25 nX 4+ 4 nX 8 = 1965設新的圓332錐和圓柱的底面半徑為r，則新的圓錐和圓柱的體積之和為1X 4 n2+ 8 n2= 8. v重新制2作后橡皮泥的體積不變， = 196n,=寸7.33（2018天津，5 分）已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 ,除面ABCD夕卜，該正方體其余各面的中心分別為點E, F , G, H , M（如圖33 6所示），則四棱錐 M EFGH的體積為.圖 33 6答案：丄1

7、2解析：因為E, F, G, H分別為各個面的中心，顯然 E, F , G, H四點共面，截面如圖所示.顯然四邊形EFGH為正方形，且邊長為所以S正方形EFGH = 22 X_22丄12.另外易知點M到平面EFGH的距離為正方體棱長的一半，即 2所以四棱錐 M EFGH的體積（7）（經(jīng)典題，5分）我國古代數(shù)學名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題：在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸.（注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸）答案：3解析：由題意可知，天池盆上底面半徑AB = 14寸，下

8、底面半徑 CD = 6寸，高AC= 18寸.1積水深EC = 9寸，恰為圓臺高度 AC的一半，.水面半徑 EF = 2（14+ 6） = 10（寸）.v水面面積S水=nX 102= 100 n平方寸），天池盆下底面面積 S下底面=nX 62= 36 n平方寸），1 ,盆中水的體積 V水=-X 9X （36 n+ 100 n+ ,36 nX 100 n） = 588 n立方寸） 天池盆上底面面積3為S上底面=nX 142= 196 n平方寸），二平地降雨量是 =588 = 3（寸）.S±底面 196 n（8）（2018北京海淀一模，5分）某幾何體的三視圖如圖33- 7所示，則該幾何體的

9、體積是嵋視圖圖 33 7 答案：3+ 3其中半圓柱的底面半徑為1,2,即直角邊為,2.所以幾何體解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱與三棱柱的組合體,高為3,三棱柱的高為3,底面為等腰直角三角形，斜邊長為 的體積 V=X nX 12X 3+ 1X 2X 2X 3 = 3n+ 3.2 2 、 、 2（9）（經(jīng)典題，13分）九章算術中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱在如圖33 8所示的陽馬P錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.ABCD中，側(cè)棱 PD丄底面 ABCD，且PD = CD，點E是PC的中點，連接 DE , BD , BE.（I ）證明：DE丄平面PBC.試判

10、斷四面體 EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直 角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；V1（n ）記陽馬P ABCD的體積為Vi,四面體EBCD的體積為V?，求的值.答案：（I ）見證明過程，四面體 EBCD是鱉臑，四個面的直角分別是/BCD，/ BCE ,/ DEC，/ DEB （ n ）4解析：（I ）證明：T PD丄底面ABCD , BC?平面ABCD , PD 丄 BC.底面ABCD為長方形， BC丄CD ,而 PD n CD = D , PD , CD?平面 PCD , BC丄平面PCD.又 DE?平面 PCD, BC 丄 DE.又 PD = CD ,點E是PC的中點， DE

11、丄PC ,而 PCn BC= C , PC , BC?平面 PBC , DE丄平面PBC.（5分）由BC丄平面PCD , DE丄平面PBC ,可知四面體 EBCD的四個面都是直角三角形，即 四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是/BCD , / BCE , / DEC , / DEB .（7分）1 1（n ）（法一）由已知得 PD 是陽馬 P ABCD 的高， Vi = -S 矩形 abcd PD = 3BC CD PD.（9 分）1 1由（I ） 知, DE 是鱉臑 D BCE 的高，BC 丄 CE, V?=Sa bce DE = &BC CE DE .（11 分）13BC

12、CD PD 2CD PD3= 2CD PD = 4.（13 分）1CE DEBC CE DE6在 Rt PDC 中，PD = CD，點 E 是 PC 的中點， DE = CE = -CD , V1V2（法二）如圖，過E作EG丄DC于G.1-PD 是陽馬 P ABCD 的咼， V1 = 3S 矩形 abcd PD.（9 分）3/ PD丄平面 ABCD , DC?平面 ABCD , PD 丄DC.又 EG丄 DC , EG?平面 PCD , EG / PD, EG 丄平面 ABCD，即 EG 為鱉臑 E DBC亠 1的咼， V2= 3G DBC EG.（11 分）1 E 為 PC 的中點，PD /

13、 EG,. EG= -PD.1 S矩形 ABCD PD （又在矩形 ABCD 中，Sdbc = 2s矩形 ABCD，二 VT 1 1 CiDi= -x 2 x 仆 1X 1 = 6.（7 分） = 31= -S-EG= 4.（13 分）2V2DBC EG3 DBC EGb.利用等積變換求幾何體的體積（10）（經(jīng)典題，7 分）如圖 33- 10,長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB = BC = 1, AA1= 2, E是側(cè)棱BB1的中點，求三棱錐 A C1D1E的體積.圖 33 10解析：（法一）如圖，作EF / C1D1，交AA1于點F，連接D1F，易知F為AA1的中點，則1 1 1

14、C1D1 = 3x ?x 1 x 1X 1 =云.（7 分）（法二）如圖，連接BCi, BD"易知DABC.運用割補法求幾何體的體積（11）（經(jīng)典題，8分）如圖33 12,正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為a, E, F分別是棱AAi和C®的中點，求四棱錐 Al EBFD!的體積.AR圖 33 12C3答案：a6解析：如圖，連接BD1.由題意知EB = BF = FD1= D1E, 四邊形EBFD1為菱形.（1分）BA =aa-2a1-21- 3312，（6 分）=2=眷（8分）（12）（2019改編，5分）如圖33- 13, ABC為等邊三角形，邊長為 8, DB丄

15、平面 ABC,且AE / FC / BD, BD = 3, CF = 4, AE = 5,則此幾何體的體積為 .答案：64 3解析：（法一）如圖，分別延長 AE, BD , CF 到 Ai, Bi, Ci,使 AiE= BD , BiD = AE,CiF = CF，則AAi= BBi = CCi = 8,.幾何體 ABC AiBQi是底面邊長和高均為 8的正三棱1柱，且?guī)缀误wABC EDF與BiAiCi DEF的形狀相同，體積相等，二Vabc-edf =-i i=2X 2X 8X 8X sin60 ° 8 = 64羽.（法二）如圖，過點D作平行于平面 ABC的截面，與棱 AE, CF

16、分別交于點N, M，則幾 何體ABC NDM是一個直三棱柱，i-VABC-NDM = S° ABC BD = ? X 8 X 8 X Sin6° X 3 = 43.四棱錐 D MNEF的底面MNEF為一個直角梯形，上底FM = 4 3 = i ,下底EN = 5i + 23 = 2，高為8, S梯形mnef = X 8= i2,而四棱錐的高為 D到MN的距離，即h = 8X si n60 °.ii=4 3, Vd-mnef = 3S 梯形 mnef h= 3X i2X 4 3= i6p3. Vabc EDF = Vabc NDM + Vd -MNEF =48 .3

17、+ i6 3= 64 .3.（i3）（經(jīng)典題，5分）如圖33 i4,三棱柱ABC AiBiCi中，若E, F分別為AB, AC的中點，平面答案：75如圖，延長 AiA, CiF , BiE，則三條線交于一點，設為A2延長CiC, BiB分別=2/三解析：到點 C2,B2,使 CC2= BB2= AA2,連接 A2C2,B2C2,A2B2,易知棱錐A2 AEF與三棱錐A2 AiBiCi的棱長比為1 : 2,二設三棱錐 A2 AEF的體積為 V。，則=8V。,Vo= 7Vo,=24 V。,Vi =_ 1=2=8Vo =12V。，V2 =Vi = 12Vo 7Vo= 5Vo,.7ViEBiCiF將三

18、棱柱分成體積為 Vi, V2（Vi>V2）的兩部分，則 V =d.建立目標函數(shù)求空間幾何體的體積（i4）（20i9改編，8分）如圖33 i6,圓形紙片的圓心為 0,半徑為5 cm，該紙片上的等 邊三角形 ABC的中心為 O.D, E, F為圓O上的點， DBC , ECA, FAB分別是以BC, ca,ab為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以bc,ca,ab為折痕折起 dbc , eca , FAB,使得D, E, F重合，得到三棱錐.當厶ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位： cm3）的最大值為多少.圖 33 - 16答案：4 15 cm3解析：（法一）如圖，連接 0D，交BC

19、于點H，則0D丄BC, H為BC中點又因為 0三棱錐D ABC中，設OH = x Ov xv 5，則底面邊長 BC = 2 3x，斜高DH = 5-x,三棱錐 的高 h=寸DH2-0H2(5 x) 2 x2 =寸25 10x, S»bc = 1 23xsin60 = f3x2,所以得到的三棱錐 D ABC的體積V=護厶abc h = , 3x2 - 25 10x= .15 - 5x4 2x5.(4分)令 f(x) = 5x4 2x5, x 0, 2，則 f，(x) = 20x3 10x4,f ' (x) >0,由$5 得0v xv 2，所以函數(shù)f(x)在(0, 2)上單

20、調(diào)遞增；o<x<2，f (x) <0,/、由I 5 得2v xv %所以函數(shù)f(x)在(2, 2上單調(diào)遞減，r2所以f(x)在x= 2時取得最大值，即f(x)< f(2)= 16,則VW ,15X 16= 4, 15,即該三棱 錐體積的最大值為 4.15 cm3.(8分)（法二）如圖，連接OD，交BC于點H.0<2x< 5寸3,DH由! x x 得0v xv學.（3分）I5 -百碼，2設三棱錐的高為h,貝U h= . DH2 OH2,所以三棱錐的體積 V = S ABC hX (2x)2X(10. 3-4x)=廿當且僅當x= 10 v3 4x,即所以該三棱錐

21、體積的最大值為（曾-4X）5=會，x= 2/3時，等號成立，滿足條件.4 15 cm3.（8 分）3. 與球有關的切接問題a.球截面的性質(zhì)（15）（經(jīng)典題，5分）已知H是球O的直徑 AB上一點，AH : HB = 1 : 2, AB丄平面 a, H 為垂足，a截球O所得截面的面積為 n則球O的表面積為 .答案：字解析：平面a截球O所得截面為圓面，圓心為 H，設球O的半徑為R,則由AH : HB1 2=1 : 2，得 AH = 3 X 2R= 3R, OH = OA-AH = R.由圓H的面積為n得圓H的半徑為1.如圖，設平面 a與球面交線上一點為 C,連接CH , CO,貝U CH = 1./

22、 OH2+ CH2= CO2,： R 2+ 12 = R2,解得 R2 = 9.球 O 的表面積 S= 4 nR2= 4 nX 9= 9n8 2b.簡單幾何體的內(nèi)切球與外接球（16）（經(jīng)典題，5分）正方體的內(nèi)切球與外接球的表面積分別為S1, S2,則S1=1答案：1解析：設正方體的棱長為a,內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為 R.正方體內(nèi)切球與正方體各個面都相切，內(nèi)切球的直徑等于正方體的棱長，即2r = a,a2.正方體外接球的直徑等于正方體的體對角線長度， 2R= 3a，即 R= fa,2內(nèi)切球與外接球表面積的比為詈=:：2=3.（17）（經(jīng)典題，5分）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖33- 18

23、所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）疋視圖傭視圖A. 1答案：解析：12,如圖圖 33 - 18C. 3B由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為所示，其中AC = 6, BC= 8,Z ACB = 90°貝U AB= 10.要使該石材加工成的球的半徑最大， 只需球與直三棱柱的三個側(cè)面都相切或與上下底面都相切.當球與三個側(cè)面都相切時，半徑6 十 810r等于直角三角形 ABC的內(nèi)切圓半徑，即r = 2；2當球與上下底面都相切時，半徑等于直三棱柱高的一半，即為6由球在幾何體內(nèi)部， 故舍去與上下底面相切的情況，故能得到的最大球的半徑為2故

24、選B.（18）（2017全國川，5分）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）答案：B解析：如圖，O為球心，O為圓柱下底面圓心，圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上， oo'= 1，該圓柱底面圓的半徑 =,12- 1-2Y 12丿2該圓柱的體積 V= Sh= nX L?3 2 X 1 =苧.故選B.（19）（2018全國川，5分）設A, B, C, D是同一個半徑為 4的球的球面上四點， ABC 為等邊三角形且其面積為 9 3，則三棱錐D ABC體積的最大值為（）A . 12 .3B . 18 .3C . 24.3D

25、 . 54.3答案：B解析：設等邊三角形ABC的邊長為a,則$走2= 9 3，解得a= 6.由正弦定理，可得 ABC外接圓的半徑r =.：=¥= 2>/3.2sin60 p 3設球的球心為 O,A ABC的外心為O',則 OO'=42（ 2一3） 2= 2.顯然當點D, O, O'三點共線，同時 DO丄底面ABC,且點D位于遠端時，點 D到底面ABC的距離最大，為d= OD + OO'= 4 + 2= 6，此時三棱錐 D ABC的體積最大，最大值1為3X 9 .3X 6 = 18 .3.故選 B.3隨堂普查練331.（2015安徽，5分）一個四面

26、體的三視圖如圖 33 20所示，則該四面體的表面積是（）正（主）觀圖側(cè)（左）視圖俯視圖 圖 33 20A . 1+ .3B. 2 + 3C. 1 + 2 .2D . 2 .2答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體是底面三角形ABC和側(cè)面三角形FAC均為等腰直角三角形的三棱錐 F ABC，且FO丄平面ABC，如圖所示.易知 ABC與厶FAC的直角邊均為，2,1DIH圖 33 - 21二 Sa abc= Sx pac= 2 X 2X 2 = 1.易知 APB與厶CPB都是邊長為.2的等邊三角形, SaAPB= Sa CPB=手乂 ( 2)= 2 ,三棱錐的表面積為S= 2X 1 + 2 x23= 2

27、+ ,3故選B.1解析：由幾何體的三視圖，可知該幾何體為球去掉了它的 1后所剩的幾何體，如圖所示.設8球的半徑為，則y3宀竽r =2，該幾何體的表面積s=/4”七冬3=仃冗故選A.3. （2015 全國 II , 12 分）如圖 33 22 所示，長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AB = 16, BC=10 , AA1= 8,點E, F分別在A1B1, D1C1上，A1E= D1F= 4，過點E, F的平面a與此長 方體的面相交，交線圍成一個正方形.(I )求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.2. （2016全國I , 5分）如圖33 21所示,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓

28、及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是2|5,則它的表面積是()3答案：A(I )在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);圖 33 22A. 17nB. 18nC. 20 nD . 28 n答案：（I ）交線圍成的正方形 EHGF如圖所示.（H）77也正確解析：（I ）交線圍成的正方形 EHGF如圖所示.（5分）（n ）如圖，作 EM 丄 AB，垂足為 M，則 AM = AiE = 4, EBi= 12 , EM = AAi = 8. 四邊形EHGF為正方形，EH = EF = BC= 10, MH = EH2-EM2= 6, AH = 10, HB = 6.（8 分）長方體被平面

29、 a分成兩個高為10的直棱柱， V1=梯形AD , V2=梯形BC, （10 分）其體積的比值=V2梯形梯形梯形A1E+ AHEB1+ HB4+ 10 _12+ 6=9 9也正確.（12分）4. （2019改編，13分）如圖33- 23所示，某容器由圓柱和圓錐構成（容器底部位于地面上），圓柱的底面直徑和高都等于（I ）求制作這樣一個容器的用料面積；（n）求這個容器的容積（忽略容器的厚度）；（川）現(xiàn)用該容器盛裝某液體，液面高度為2.15 m，則該容器內(nèi)的液體體積為多少?答案：（I ） 5 +nm2 （ n ）2.1 nm33（川）2.0875 nm解：（I ） 圓錐和圓柱的底面半徑均為 r =

30、1 m,圓柱的底面面積 S0= n2= nm2）. （1分）圓錐的高hi = 0.3m,.圓錐的母線長為1= r2+ h注,12+ 0.32 =亠謂9（m）,圓錐的側(cè)面積 S, = 1 x :冗乂晉二亠晉皿口2）. （3分）圓柱的高 h2= 2 m,圓柱的側(cè)面積為 S2= 2 nX 2= 4nm2）. （4分）容器的用料面積為S= So + Si + S2= n+ 1109 冗+ 4 n= 5 + 亠Xm 2）. （5 分）1 1 3（n ）T 圓錐的容積V1 = 3S0 h1 = 3X nX 0.3= 0.1 n（m ），圓柱的容積V = So h2= nX 2 =2n：m3）,容器的容積為

31、 Vo= V1+ V2= 0.1 n+ 2 n= 2.1 n（m3）. （8 分）h1（川）（法一）/ h2<2.15<h1 + h2,.液面在圓錐內(nèi).又T2.15-h?= 2.15 2 = 0.15=弓，即1液面高度恰好在圓錐體高度一半的位置，液面的半徑為r'= r = 0.5m,.空出來的容積為V3=，X nX 0.52 X 0.15 = 0.0125 n（m3）, （11 分）3容器內(nèi)的液體體積V= V0 V3= 2.1 n 0.0125 n= 2.0875 n：m3）. （13 分）h1（法二）/ h2<2.15<h1 + h2,.液面在圓錐內(nèi).又2.1

32、5 h2= 2.15 2 = 0.15 = 即液面高度恰好在圓錐體高度一半的位置，即液體上部分為一個圓臺.圓臺上底面的半徑為r'1222=2 = 0.5m，上底面面積 S上底面=n = nX 0.5 = 0.25 n（m ）.又t圓臺下底面面積為S0,高為 0.15 m，圓臺體積為 V3= 3x 0.15 X （0.25 n+ n+寸0.25 nX n= 0.0875 （m3）. （11 分）3容器內(nèi)的液體體積為V= V2+ V3= 2.0875 nm3）. （13分）5. （經(jīng)典題，5分）如圖33 24所示，一個邊長為4的正方形ABCD , E, F分別為BC,CD的中點，將正方形沿

33、 AE, AF , EF折疊起來，使 B, C, D重合于P點（如圖33 25所 示），則三棱錐P AEF的體積為 .D)答案：8解析：三棱錐 P AEF是由正方形折疊而來的，/ EPF = Z ECF = 90° / APE =/ ABE = 90° / APF = Z ADF = 90° AP丄 PE, AP丄PF .又 PEA PF = P, PE, PF?平面1 11 8PEF , API平面 PEF , Vp-aef= Va-pef = "Spef AP = - X 寸 2 X 2 X 4 = 3.6. （2018湖南師大附中一模,5分）某幾何

34、體的三視圖如圖33 26所示，則該幾何體的體積為（）側(cè)（左）視圖俯視圖圖 33 26A. 4 答案：DB. 3C. 2D. 11所示.設DG的中點為M ,解析:（法一）由幾何體的三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖ABCD ENFM過點B作BN/ GD，且 BN= 1,連接 ME, MF , NE , NF, EF.易知幾何體為正方體，且三棱錐 G EMF與三棱錐B ENF的大小、形狀相同，如圖2,所以該幾何體 的體積等于正方體 ABCD ENFM的體積，為1故選D.（法二）由幾何體的三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖1所示.將該幾何體補成一個長為 1、寬為1、高為2的長方體，如圖3易知該幾何體的體積為

35、長方體體積的一半，所以該幾1 1何體的體積為2V2 = 1.故選D.7. （2018衡水中學一模，5分）如圖33- 27所示，在直角梯形 ABCD中，AB丄BC,AD II BC,1AB = BC= 2AD = 1,點E是線段CD上異于點 C, D的動點，EF丄AD于點F，將 DEF沿EF折起到 PEF的位置，并使PF丄AF，則五棱錐P-ABCEF的體積的取值范圍為BCD圖 33 - 27答案：0,解析： PF 丄 AF , PF 丄 EF , AF n EF = F , AF , EF?平面 ABCD , PF 丄平面 ABCD , PF為五棱錐 P ABCEF的高.設 PF = x,貝U

36、0< x <1，且 EF = PF = x,1 1 2 1 2五邊形 ABCEF 的面積 S= S 梯形 abcd Sdef = 2 x (1 + 2) X 1 x = ?(3 x ),x= 2(3x x3).1 1五棱錐 P ABCEF 的體積 V= -X -(3 x2)X3 2設 f(x) = 6(3x x3), 0<x<1 ,1 1則 f'(x) = 6(33x2) = 2(1 x2),當 0<x<1 時，f'(x)>0 ,1 f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞增.又 f(0) = 0, f(1) = 3,3五棱錐P ABCEF的體積

37、的取值范圍是0, £ .& （2019匯編，10分）已知三棱錐 S ABC的所有頂點都在球 O的球面上，SC是球O的直徑.若平面 SCA丄平面SCB, SA= AC, SB= BC,三棱錐S ABC的體積為9,則球O的表面積為 . （2017全國I ）體積為18 3的正三棱錐 A BCD的每個頂點都在半徑為 R的球0的球面上，球心0在此三棱錐內(nèi)部，且 R : BC= 2 : 3，點E為線段BD的中點，過點E作球0的截面，則所得截面圓面積的最小值是 . （2018昆明一中高三第一次摸底）答案：36 n9n解析：如圖，設球的半徑為 r，貝U OA= OB = OC = 0S= r

38、.由SA= AC, SB= BC,可知 SBC與厶SAC都是等腰直角三角形， AO丄SC, BO丄SC.又：平面 SCA丄平面SCB, 平3面 SCAA 平面 SCB = SC,. BO丄平面 SAC,. Vsabc = Vb- sac=X X 2r = = 9, r 323=3.故球 O的表面積為 4 n （2017全國I , 5分）某多面體的三視圖如圖33 28所示，其中正視圖和左視圖都由 正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的= 4 nX 32= 36 nA. 10B . 121 1所以1X尹3kX設BC = 3k（k>0）,三棱錐A BC

39、D的高為h,則R= 2k.因為體積為18 3的正三棱錐 A BCD的每個頂點都在半徑為 R的球O的球面上，h= 18 ,3，得 h = .由 r2= (h R)2 + ( 3k)2,得 k= 2或k=飯4.因為球心O在此三棱錐內(nèi)部，所以 R<h,即k<各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（） 12，所以k= 2,所以R= 4. 因為在 ODB中，OD = OB = 4,點E為線段BD的中點，所以 OE丄BD .又因為 DB = 6，所以 OE = <:：16 9 = 7.易知當截面垂直于 OE時，截面圓面積最小，此時截面圓的半徑為16 7= 3,故截面圓面積的最小值為

40、 9 n突破積累練三視圖與表面積和體積的綜合問題圖 33 28C. 14D . 16答案：B解析：由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示.該立體圖形中只有兩個面積相等的1梯形，S 梯形 = 2 X 2X （2 + 4） = 6,二這些梯形的面積之和為6 X 2= 12.故選B.2. （2018百校聯(lián)盟，5分）如圖33- 29所示，某幾何體的三視圖中三個正方形的邊長均為2,兩個半圓的半徑均為1,)正視圖A . 20+ 2n 答案：D圖 33 - 29B . 20 + n C. 24 + 2nD. 24 + n1解析：由幾何體的三視圖知該幾何體是棱長為2的正方體挖去半徑為 1的寸球，所以該1俯視圖

41、幾何體的表面積為6X 22+ X 4 nX 12- nX 12= 24 + n故選D.圖 33 - 30答案：2解析：如圖，由三視圖可知，該四棱錐的底面平行四邊形的一邊長為 的高為1 m，則底面積為2 m2.又四棱錐的高為 3 m,2 m，且這條邊上該四棱錐的體積為1 x 2X 3 = 2（m3）.34. （2018山東德州一模,5分）某幾何體的三視圖如圖33-31所示，則該幾何體的表面積是（）俯視圖A . 20 ,2+ 16+ 2nC. 24 ,2 + 16+ 4n 答案：D圖 33 - 31B . 20 . 2+ 16 + 4 nD . 24 2+ 16 + 2 n解析：由幾何體的三視圖知

42、,該幾何體為長方體挖去一個圓錐后剩下的部分.長方體的底面邊長分別為4和2,高為2 2;圓錐的底面半徑為1,高為2 2.所以此幾何體的表面積S= 2X 4X 2+ (2 + 4+ 2 + 4) X 2 2 + 1x 2 nX . 12+( 2 2) 2- nX 12= 24.2 + 16 + 2 兀故選D.5. （經(jīng)典題，5分）如圖33-32所示，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為 1（表示1 cm）,圖 中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ）4 n17A.275B.5答案：C10 1C.27D.3解

43、析：由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓柱構成的組合體，其體積為+ nX 32X 2 = 34Mcm3).又圓柱體毛坯的體積 V= nX 3冬 6= 54 Xcm3), 則切削掉部分的體積 V2= V Vt= 54 n- 34 n= 20n(cm3),V = nX 22X 4故切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為V2V20 n 1054 n= 27.故選C.6. (經(jīng)典題，5分)已知某一多面體內(nèi)接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖 表面積是.33 33所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的圖 33 33答案：12 n 1 解析：由三視圖可知，該多面體為棱

44、長為 2的正方體，則其外接球的半徑為 r = 2X，3 X?=3,球的表面積為 4 n2 = 4 nX (.3)2= 12 n7. (經(jīng)典題，5分)某四面體的三視圖如圖33 34所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為()圖 33 34答案：C如圖所示,解析：由三視圖可知，四面體的六條棱為棱長為 1的正方體六個面的對角線, 則該四面體的外接球即為此正方體的外接球.& （2018山東、湖北部分重點中學高考沖刺（二），5分）一個幾何體的三視圖如圖33 35所示，正視圖與俯視圖外框為全等的長與寬分別為2, 1的長方形，側(cè)視圖為正方形，則這個幾何體的體積為（

45、）圖 33 3515A.3B.5C.-D. 2答案：B解析：由三視圖可知該幾何體是長方體截去-個三棱錐后剩余的部分,如圖所示.長方體的體積為1 x 1 X 2= 2，三棱錐的體積為3X 2X 1 x 1 x 2 = 3，所以幾何體的體積為 2 "3=：故選B.課后提分練33空間幾何體的表面積與體積A組（鞏固提升）1. （經(jīng)典題，5分）一個幾何體的三視圖如圖 33 1所示，則該幾何體的體積為 （）A . 5B . 6C . 7答案：A解析：由三視圖可知，該幾何體為一個橫放的五棱柱,D. 8底面為側(cè)視圖所示的五邊形，高15h= 2，底面面積S= 2 X 1 +1X 1 = 5故該幾何體的

46、體積為5V = Sh= 2X 2 = 5.故選 A*2. （2018湖南師大附中一模，5分）某幾何體的三視圖如圖33- 2所示，則該幾何體的表面積為（）圖 33 2A . 8（卄 4）B . 8（卄 8）C . 16（卄 4）D . 16（卄 8）答案：B解析：由三視圖可知該幾何體是棱長為4的正方體挖去兩個相切的半圓柱后剩余的部分,如圖所示，兩個半圓柱的半徑均為2,高均為4.所以該幾何體的表面積為8）.故選B.2X 4X 4 + 2 X 2nX 4 + 2X (4X 4 nX 22) = 64+ 8 n= 8( n+3. （2018山東濰坊模擬，5分）已知 PAD所在的平面與矩形 ABCD所在

47、的平面相互垂直，且PA= PD = AB= 2,Z APD = 60°若點P, A, B, C, D都在同一個球面上，則此球的表面積為（)25 nA. 328 nB. 3C警nD雪n答案：B解析：因為FA= PD = 2,/ APD = 60°,所以 PAD為等邊三角形，所以 AD = 2在矩形 ABCD 中，AB= AD = 2，所以 BD =4 + 4= 2 2.設 ACA BD = E,貝U BE= 2.設該球的球心為 O,半徑為R, PAD的中心為H，連接OE, OB , OH，如圖所示.0因為點P, A, B, C, D都在同一個球面上，所以 OB= R, OE丄

48、平面 ABCD , OH丄平 面 FAD.連接PH，并延長交 AD于點M，連接EM.易證四邊形 OEMH為矩形，所以 OE = HM = £pM =_3，33S= 4 泯2= 4 nX £=晉33所以 r2= OB2= OE2+ BE2= 于 （ 2）2 =3，所以此球的表面積 故選B.4. （經(jīng)典題，5分）如圖33- 3所示，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為2,動點E, F在棱 AiBi上,動點 P, Q 分別在棱 AD, CD 上,若 EF = 1 , AiE= x, DQ = y, DP = z（x, y, z大于零），則四面體PQEF的體積（）圖 33 3

49、/rB .與x有關，與y, z無關D .與z有關，與x, y無關A .與x, y, z都有關C.與y有關，與x, z無關答案：D解析：設P點到平面A1B1CD的距離為h. A1B1 / DC , Q到EF的距離為定值2.2.又 EF = 1 ,二 Saqef= 2X 1 X 2 2 =2.1J2-V四面體pqef = V三棱錐pqef = §Saqef h = h，即四面體的體積只與點P到平面AiBiCD的距離有關，四面體的體積與 z有關，與x, y無關.5. (經(jīng)典題，5分)圓臺的一個底面周長是另外一個底面周長的3倍，母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84 n,則圓臺較小底面半徑為 .答案

50、：7解析：由題意，設較小底面半徑為r，則該底面周長為 2 n,則另一個底面周長為6 n.1母線長為 3,.圓臺側(cè)面積 S= 2X (2 n + 6 n)x 3 = 12 nr = 84 n, r = 7.33 4所示陰影部分裁下,P為頂點，加工成一個如圖cm36. (經(jīng)典題，5分)一塊邊長為10 cm的正方形切片按如圖后用余下的四個全等的等腰三角形做側(cè)面，以它們的公共頂點 所示的正四棱錐形容器當 x = 6 cm時，該容器的容積為圖 33 4答案：48解析：如圖，設底面中心為 0,連接0P，過點P作PE丄AB,垂足為E,連接0E.由題意可知，在等腰厶 PAB中，AB = x= 6 cm,斜高PE = 5 cm,四棱錐的高 PO = PE2 EO2= 52 32= 4(cm),為 48cm3.四棱錐P ABCD的體積為23X 4= 48(cm )，即該容器的容積7. (經(jīng)典題，5分)如圖33 5所示，在三棱柱 A1B1C1 ABC中，D , E, F分別是AB,AC, AA1的中點，設三棱錐 F ADE的體積為 V，三棱柱 A1B1C1 ABC的體積為 V?,則V1 : V2=.答案：1 : 24解析：設三棱柱的高為h, / F是AA1的中點，.三棱錐 F ADE的高為D, E分另U1 1是 AB , AC 的中點Ssde=4Ss